🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde B açısının ölçüsü \(90^\circ\) dir.
\(|AB| = 6\) cm ve \(|BC| = 8\) cm olduğuna göre, A açısının sinüs (\(\sin A\)) ve kosinüs (\(\cos A\)) değerlerini bulunuz. 📐
\(|AB| = 6\) cm ve \(|BC| = 8\) cm olduğuna göre, A açısının sinüs (\(\sin A\)) ve kosinüs (\(\cos A\)) değerlerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Öncelikle hipotenüs uzunluğunu bulmalıyız. Pisagor teoremini uygulayalım: \[|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2\] \[|AC|^2 = 6^2 + 8^2\] \[|AC|^2 = 36 + 64 = 100\] \[|AC| = 10 \text{ cm}\] (Bu üçgen aynı zamanda 3-4-5 özel üçgeninin 2 katı olan 6-8-10 üçgenidir.)
- 2. Adım: A açısının sinüs değerini hesaplayalım. Sinüs, karşı dik kenar bölü hipotenüs oranıdır: \[\sin A = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\]
- 3. Adım: A açısının kosinüs değerini hesaplayalım. Kosinüs, komşu dik kenar bölü hipotenüs oranıdır: \[\cos A = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
Örnek 2:
Bir KLM dik üçgeninde L açısının ölçüsü \(90^\circ\) dir.
\(|KL| = 5\) cm ve \(|KM| = 13\) cm olduğuna göre, M açısının tanjant (\(\tan M\)) ve kotanjant (\(\cot M\)) değerlerini bulunuz. 🔍
\(|KL| = 5\) cm ve \(|KM| = 13\) cm olduğuna göre, M açısının tanjant (\(\tan M\)) ve kotanjant (\(\cot M\)) değerlerini bulunuz. 🔍
Çözüm:
Çözüm adımları şu şekildedir:
- 1. Adım: Verilmeyen dik kenar olan \(|LM|\) uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanalım: \[|KL|^2 + |LM|^2 = |KM|^2\] \[5^2 + |LM|^2 = 13^2\] \[25 + |LM|^2 = 169\] \[|LM|^2 = 144 \implies |LM| = 12 \text{ cm}\] (Bu üçgen 5-12-13 özel dik üçgenidir.)
- 2. Adım: M açısının tanjant değerini bulalım. Tanjant, karşı dik kenar bölü komşu dik kenar oranıdır: \[\tan M = \frac{|KL|}{|LM|} = \frac{5}{12}\]
- 3. Adım: M açısının kotanjant değerini bulalım. Kotanjant, komşu dik kenar bölü karşı dik kenar oranıdır: \[\cot M = \frac{|LM|}{|KL|} = \frac{12}{5}\]
Örnek 3:
Dar açılı bir x açısı için \(\sin x = \frac{8}{17}\) olduğuna göre, \(\tan x + \cos x\) toplamının değerini hesaplayınız. 🧮
Çözüm:
Bu tür sorularda verilen orana uygun bir dik üçgen çizmek en pratik yoldur:
- 1. Adım: Bir dik üçgen hayal edelim ve bu üçgendeki dar açılardan birine x diyelim.
\(\sin x = \frac{8}{17}\) olduğuna göre:
- x açısının karşı dik kenarı = 8 birim
- Hipotenüs = 17 birim
- 2. Adım: Komşu dik kenarı bulmak için Pisagor teoremini uygulayalım (veya 8-15-17 özel üçgenini hatırlayalım): \[a^2 + 8^2 = 17^2 \implies a^2 + 64 = 289 \implies a^2 = 225 \implies a = 15\] Böylece komşu dik kenarımız 15 birim bulunur.
- 3. Adım: İstenen diğer trigonometrik oranları yazalım: \[\tan x = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{8}{15}\] \[\cos x = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{15}{17}\]
- 4. Adım: Bu iki değeri toplayalım: \[\tan x + \cos x = \frac{8}{15} + \frac{15}{17}\] Paydaları 15 ve 17 ile genişleterek eşitleyelim: \[\frac{8 \cdot 17 + 15 \cdot 15}{15 \cdot 17} = \frac{136 + 225}{255} = \frac{361}{255}\]
Örnek 4:
Bir ABC ikizkenar üçgeninde \(|AB| = |AC| = 10\) cm ve \(|BC| = 12\) cm'dir.
A açısının açıortayının [BC] kenarını kestiği nokta D olsun. Buna göre, \(\sin(DAC)\) değerini bulunuz. 📐
A açısının açıortayının [BC] kenarını kestiği nokta D olsun. Buna göre, \(\sin(DAC)\) değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
İkizkenar üçgenin özelliklerini kullanarak çözüme ulaşalım:
- 1. Adım: İkizkenar üçgende tepe noktasından (A) tabana (BC) indirilen dikme (yükseklik), hem kenarortay hem de açıortaydır. Bu dikme ayağına D noktası diyelim. Bu durumda [AD] hem yükseklik hem de kenarortay olur: \[|BD| = |DC| = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}\]
- 2. Adım: ADC dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak yüksekliği (\(|AD|\)) bulalım: \[|AD|^2 + |DC|^2 = |AC|^2\] \[|AD|^2 + 6^2 = 10^2 \implies |AD|^2 + 36 = 100 \implies |AD|^2 = 64 \implies |AD| = 8 \text{ cm}\] (Bu üçgen 6-8-10 özel üçgenidir.)
- 3. Adım: Bizden \(\sin(DAC)\) değeri istenmektedir. DAC dik üçgeninde DAC açısının karşı kenarı [DC], hipotenüsü ise [AC]'dir: \[\sin(DAC) = \frac{|DC|}{|AC|} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
Örnek 5:
Bir dar açı olan x açısı için,
\[\frac{\sin x \cdot \cot x}{1 - \sin^2 x}\]
ifadesinin en sade halini bulunuz. 💡
Çözüm:
Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak ifadeyi adım adım sadeleştirelim:
- 1. Adım: Kotanjant fonksiyonunun tanımını hatırlayalım: \[\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\]
- 2. Adım: Bu ifadeyi pay kısmında yerine yazalım: \[\sin x \cdot \cot x = \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x\]
- 3. Adım: Temel trigonometrik özdeşliğimizi hatırlayalım: \[\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies 1 - \sin^2 x = \cos^2 x\]
- 4. Adım: Bulduğumuz bu değerleri ana kesirde yerlerine koyalım: \[\frac{\cos x}{\cos^2 x}\]
- 5. Adım: Pay ve paydayı \(\cos x\) ile sadeleştirelim: \[\frac{1}{\cos x}\]
Örnek 6:
Bir parktaki kaydırağın merdiven uzunluğu 5 metre, kaydırağın tepe noktasının yerden yüksekliği ise 3 metredir.
Merdivenin zeminle yaptığı dar açının kosinüs değerini bulunuz. 🧗
Merdivenin zeminle yaptığı dar açının kosinüs değerini bulunuz. 🧗
Çözüm:
Günlük hayat durumunu matematiksel bir modele dönüştürelim:
- 1. Adım: Merdiven, zemin ve dikey yükseklik bir dik üçgen oluşturur.
- Hipotenüs (merdivenin kendisi) = 5 metre
- Karşı dik kenar (yerden yükseklik) = 3 metre
- 2. Adım: Merdivenin zeminle yaptığı açıya x diyelim. Bu açının komşu dik kenarını (merdivenin ayaklarının kaydırağın dik izdüşümüne olan uzaklığını) bulmak için Pisagor teoremini uygulayalım: \[\text{Komşu}^2 + 3^2 = 5^2 \implies \text{Komşu}^2 + 9 = 25 \implies \text{Komşu}^2 = 16 \implies \text{Komşu} = 4 \text{ metre}\]
- 3. Adım: Bizden istenen kosinüs değerini hesaplayalım: \[\cos x = \frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{4}{5}\]
Örnek 7:
Engelli rampalarının eğimi (tanjant değeri) güvenlik standartlarına göre en fazla %8 olmalıdır.
Bir okul girişine yapılacak olan rampanın dikey yüksekliği 40 cm'dir. Bu rampanın zeminle yaptığı açının tanjant değerinin en fazla 0,08 (%8) olması istendiğine göre, rampanın zemin üzerindeki yatay uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? ♿
Bir okul girişine yapılacak olan rampanın dikey yüksekliği 40 cm'dir. Bu rampanın zeminle yaptığı açının tanjant değerinin en fazla 0,08 (%8) olması istendiğine göre, rampanın zemin üzerindeki yatay uzunluğu en az kaç metre olmalıdır? ♿
Çözüm:
Rampanın eğimini dik üçgen yardımıyla modelleyelim:
- 1. Adım: Rampanın dikey yüksekliği karşı dik kenardır. \[\text{Karşı Kenar} = 40 \text{ cm} = 0,4 \text{ metre}\]
- 2. Adım: Rampanın zemin üzerindeki yatay uzunluğu komşu dik kenardır. Bu uzunluğa x metre diyelim.
- 3. Adım: Rampanın eğimi, zeminle yaptığı açının tanjantıdır: \[\tan a = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{0,4}{x}\]
- 4. Adım: Bu eğimin en fazla %8 (yani 0,08) olması istenmektedir: \[\frac{0,4}{x} \le 0,08\] \[\frac{0,4}{x} \le \frac{8}{100}\] İçler dışlar çarpımı yapalım (x pozitif bir uzunluk olduğundan eşitsizlik yön değiştirmez): \[0,4 \cdot 100 \le 8 \cdot x\] \[40 \le 8x \implies x \ge 5 \text{ metre}\]
Örnek 8:
Bir ABC dik üçgeninde A açısının ölçüsü \(90^\circ\) dir. [AD] yüksekliği [BC] hipotenüsüne inmektedir.
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, ACB açısının tanjant değerini bulunuz. 📐
\(|BD| = 4\) cm ve \(|DC| = 9\) cm olduğuna göre, ACB açısının tanjant değerini bulunuz. 📐
Çözüm:
Öklid teoremi ve trigonometrik oranları bir arada kullanarak çözelim:
- 1. Adım: Dik açılı üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir (Öklid Teoremi): \[|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|\] \[|AD|^2 = 4 \cdot 9 = 36 \implies |AD| = 6 \text{ cm}\]
- 2. Adım: Bizden istenen ACB açısına C açısı diyelim. ADC dik üçgenine odaklanalım:
- C açısının karşı dik kenarı = [AD] = 6 cm
- C açısının komşu dik kenarı = [DC] = 9 cm
- 3. Adım: C açısının tanjant değerini hesaplayalım: \[\tan C = \frac{|AD|}{|DC|} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-ucgende-trigonometri/sorular