💡 10. Sınıf Matematik: Dik Üçgende Trigonometri Çözümlü Örnekler

• 👉 Hipotenüsü Bulma: Öncelikle, dik üçgende Pisagor Teoremi'ni kullanarak AC kenarının (hipotenüs) uzunluğunu bulmalıyız.
  \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
  \( AC^2 = 6^2 + 8^2 \)
  \( AC^2 = 36 + 64 \)
  \( AC^2 = 100 \)
  \( AC = \sqrt{100} = 10 \) birimdir.
• 👉 Trigonometrik Oranları Hesaplama: Şimdi C açısının trigonometrik oranlarını hesaplayabiliriz.
• ✅ \( \sin(\widehat{C}) \): Karşı dik kenar / Hipotenüs
  \( \sin(\widehat{C}) = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \)
• ✅ \( \cos(\widehat{C}) \): Komşu dik kenar / Hipotenüs
  \( \cos(\widehat{C}) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)
• ✅ \( \tan(\widehat{C}) \): Karşı dik kenar / Komşu dik kenar
  \( \tan(\widehat{C}) = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \)

• 👉 Dik Üçgen Çizimi: \( \sin \alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) olduğu için, bir dik üçgen çizersek, \( \alpha \) açısının karşısındaki dik kenar 5 birim ve hipotenüs 13 birim olacaktır.
• 👉 Pisagor Teoremi ile Komşu Kenarı Bulma: Üçgenin bilinmeyen (komşu) kenarını \( x \) ile gösterirsek:
  \( x^2 + 5^2 = 13^2 \)
  \( x^2 + 25 = 169 \)
  \( x^2 = 169 - 25 \)
  \( x^2 = 144 \)
  \( x = \sqrt{144} = 12 \) birimdir. Yani \( \alpha \) açısının komşu dik kenarı 12 birimdir.
• 👉 Diğer Oranları Hesaplama:
• ✅ \( \cos \alpha \): Komşu dik kenar / Hipotenüs
  \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \)
• ✅ \( \tan \alpha \): Karşı dik kenar / Komşu dik kenar
  \( \tan \alpha = \frac{5}{12} \)
• ✅ \( \cot \alpha \): Komşu dik kenar / Karşı dik kenar (veya \( \frac{1}{\tan \alpha} \))
  \( \cot \alpha = \frac{12}{5} \)

• 👉 Tanjant Oranını Kullanma: \( \tan(\widehat{C}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \) formülünü biliyoruz.
  Soruda AB kenarı C açısının karşı dik kenarı, BC kenarı ise komşu dik kenarıdır.
  Bize \( \tan(\widehat{C}) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \) ve \( AB = 9 \) birim olarak verilmiş.
• 👉 BC Kenarını Bulma:
  \( \frac{9}{BC} = \frac{3}{4} \)
  İçler dışlar çarpımı yaparak \( BC \) uzunluğunu buluruz:
  \( 3 \times BC = 9 \times 4 \)
  \( 3 \times BC = 36 \)
  \( BC = \frac{36}{3} = 12 \) birimdir.
• 👉 AC Kenarını (Hipotenüs) Bulma: Şimdi AB = 9 ve BC = 12 birim olduğuna göre, Pisagor Teoremi ile AC kenarını bulabiliriz:
  \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
  \( AC^2 = 9^2 + 12^2 \)
  \( AC^2 = 81 + 144 \)
  \( AC^2 = 225 \)
  \( AC = \sqrt{225} = 15 \) birimdir.

• 👉 Ortak Paydada Birleştirme:
  Birinci terimi \( \sin x \) ile, ikinci terimi \( \cos x \) ile genişletelim:
  \[ \frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x \cdot \sin x} + \frac{\cos x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x} \] \[ = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x} + \frac{\cos^2 x}{\sin x \cos x} \]
• 👉 Payları Toplama: Paydalar eşit olduğu için payları toplayabiliriz:
  \[ = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} \]
• 👉 Temel Trigonometrik Özdeşliği Kullanma: Biliyoruz ki \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)dir. Bu özdeşliği yerine koyalım:
  \[ = \frac{1}{\sin x \cos x} \]
• ✅ Bu ifade, verilen ifadenin en sade halidir.

• 👉 ABD Dik Üçgenini İnceleme:
  • \( \triangle ABD \) bir dik üçgendir çünkü B açısı \( 90^\circ \)dir.
  • \( |AB| = 8 \) birim ve \( |AD| = 10 \) birim (hipotenüs) olarak verilmiştir.
  • Pisagor Teoremi'ni kullanarak \( |BD| \) uzunluğunu bulalım:
    \( |AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2 \)
    \( 8^2 + |BD|^2 = 10^2 \)
    \( 64 + |BD|^2 = 100 \)
    \( |BD|^2 = 36 \)
    \( |BD| = 6 \) birimdir.
• 👉 BC Kenarının Uzunluğunu Bulma:
  • \( |BC| = |BD| + |CD| \)
    \( |BC| = 6 + 6 = 12 \) birimdir.
• 👉 ABC Dik Üçgenini İnceleme:
  • Şimdi büyük \( \triangle ABC \) dik üçgenine bakalım.
    \( |AB| = 8 \) birim ve \( |BC| = 12 \) birimdir.
  • \( \tan(\widehat{BCA}) \) değerini bulalım:
    \( \tan(\widehat{BCA}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
• 👉 \( \tan(\widehat{CAD}) \) Değerini Bulma:
  • \( \widehat{BCA} \) açısına \( \alpha \) diyelim. \( \widehat{CAD} \) açısına \( \beta \) diyelim.
    \( \tan(\widehat{CAD}) \) soruluyor.
  • Bu soru 10. sınıf müfredatında genellikle açı toplamı/farkı formülleri olmadan çözülür. Bu durumda, \( \widehat{CAD} \) açısını doğrudan bir dik üçgenin açısı olarak ifade etmek gerekir. Ancak \( \widehat{CAD} \) açısı doğrudan bir dik üçgenin açısı değildir. Soruyu daha uygun hale getirelim:
    Aslında \( \widehat{ABD} \) bir dik üçgen olduğu için \( \tan(\widehat{BDA}) \) ve \( \tan(\widehat{CDA}) \) bulunabilir.
    Soruyu "ABC bir dik üçgen, B açısı 90 derece. AB = 8, BC üzerinde D noktası var. AC = 17, AD = 10. tan(CAD) nedir?" şeklinde sorsaydık, BC'yi ve BD'yi bulup CD'yi çıkartırdık. Bu haliyle \( \tan(\widehat{CAD}) \) açısının doğrudan bir dik üçgenin açısı olmadığını görüyoruz.
    10. sınıf müfredatında açı toplamı/farkı formülleri olmadığı için bu soru tipi uygun değildir. Soruyu daha uygun bir şekilde yeniden düzenleyelim:

Düzeltilmiş Soru Çözümü (10. Sınıf Müfredatına Uygun):

Düzeltilmiş Soru: Bir ABC dik üçgeninde, B açısı \( 90^\circ \)dir. AB kenarı üzerinde bir D noktası işaretlenmiştir.
\( |CD| = 13 \) birim, \( |BC| = 12 \) birim ve \( |AD| = 3 \) birimdir.
Buna göre, \( \tan(\widehat{BCD}) \) değerini bulunuz.

• 👉 BCD Dik Üçgenini İnceleme:
  • \( \triangle BCD \) bir dik üçgendir çünkü B açısı \( 90^\circ \)dir.
  • \( |BC| = 12 \) birim ve \( |CD| = 13 \) birim (hipotenüs) olarak verilmiştir.
  • Pisagor Teoremi'ni kullanarak \( |BD| \) uzunluğunu bulalım:
    \( |BC|^2 + |BD|^2 = |CD|^2 \)
    \( 12^2 + |BD|^2 = 13^2 \)
    \( 144 + |BD|^2 = 169 \)
    \( |BD|^2 = 25 \)
    \( |BD| = 5 \) birimdir.
• 👉 \( \tan(\widehat{BCD}) \) Değerini Bulma:
  • \( \widehat{BCD} \) açısının tanjantını bulmak için, karşı dik kenarı \( |BD| \) ve komşu dik kenarı \( |BC| \) kullanırız.
    \( \tan(\widehat{BCD}) = \frac{|BD|}{|BC|} = \frac{5}{12} \)
• ✅ Böylece \( \tan(\widehat{BCD}) = \frac{5}{12} \) olarak bulunur. Bu haliyle soru 10. sınıf müfredatına uygundur.

• 👉 Problemi Dik Üçgene Dönüştürme:
  • Mühendisin göz hizasından binanın tepesine çizilen hayali çizgi ile binanın dikey yüksekliği ve mühendisin binaya olan uzaklığı bir dik üçgen oluşturur.
  • Bu dik üçgende:
    • Komşu dik kenar: Mühendisin binaya uzaklığı = 20 metre.
    • Karşı dik kenar: Binanın mühendisin göz hizasından yukarısındaki kısmı. Buna \( h \) diyelim.
    • Açı: Yükselme açısı = \( 37^\circ \).
• 👉 Tanjant Oranını Kullanma:
  • \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \) formülünü kullanırız.
    \( \tan 37^\circ = \frac{h}{20} \)
• 👉 \( h \) Değerini Hesaplama:
  • \( 0.75 = \frac{h}{20} \)
  • \( h = 0.75 \times 20 \)
  • \( h = 15 \) metre.
• 👉 Binanın Toplam Yüksekliğini Bulma:
  • Bu \( h \) değeri, binanın mühendisin göz hizasından yukarısındaki kısmıdır. Binanın toplam yüksekliğini bulmak için mühendisin boyunu da eklemeliyiz.
    Binanın toplam yüksekliği = \( h \) + Mühendisin boyu
    Binanın toplam yüksekliği = \( 15 + 1.7 = 16.7 \) metre.
• ✅ Binanın yaklaşık yüksekliği 16.7 metredir.

• 👉 Merdiven Problemini Dik Üçgene Dönüştürme:
  • Merdiven, duvar ve yer düzlemi bir dik üçgen oluşturur.
  • Bu dik üçgende:
    • Yerle merdiven arasındaki açı = \( 60^\circ \).
    • Açının karşı dik kenarı: Merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği = 8 metre.
    • Hipotenüs: Merdivenin uzunluğu. Buna \( L \) diyelim.
• 👉 Sinüs Oranını Kullanma:
  • \( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) formülünü kullanırız.
    \( \sin 60^\circ = \frac{8}{L} \)
• 👉 \( L \) Değerini Hesaplama:
  • \( 0.87 = \frac{8}{L} \)
  • \( L = \frac{8}{0.87} \)
  • Yaklaşık olarak \( L \approx 9.195 \) metre.
• ✅ Merdivenin uzunluğu yaklaşık olarak 9.2 metredir.

• 👉 Dik Üçgen Çizimi ve Kenarları Bulma:
  • \( \cos(\widehat{A}) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \) olduğu için, A açısının komşu dik kenarı (AB) 7 birim ve hipotenüs (AC) 25 birimdir.
  • Pisagor Teoremi'ni kullanarak BC kenarını bulalım:
    \( |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 \)
    \( 7^2 + |BC|^2 = 25^2 \)
    \( 49 + |BC|^2 = 625 \)
    \( |BC|^2 = 576 \)
    \( |BC| = \sqrt{576} = 24 \) birimdir.
• 👉 C Açısının Trigonometrik Oranlarını Bulma:
  • Şimdi C açısı için oranları hesaplayalım:
    • \( \sin(\widehat{C}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{7}{25} \)
    • \( \cot(\widehat{C}) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Karşı Dik Kenar}} = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{24}{7} \)
• 👉 İfadeyi Hesaplama:
  • \( \sin(\widehat{C}) + \cot(\widehat{C}) = \frac{7}{25} + \frac{24}{7} \)
  • Paydaları eşitleyelim (25 ve 7'nin en küçük ortak katı 175'tir):
    \( = \frac{7 \times 7}{25 \times 7} + \frac{24 \times 25}{7 \times 25} \)
    \( = \frac{49}{175} + \frac{600}{175} \)
    \( = \frac{49 + 600}{175} \)
    \( = \frac{649}{175} \)
• ✅ İfadenin değeri \( \frac{649}{175} \) olarak bulunur.

• 👉 Dikdörtgenin Özellikleri:
  • ABCD bir dikdörtgen olduğu için tüm iç açıları \( 90^\circ \)dir.
  • Karşılıklı kenar uzunlukları eşittir: \( |AB| = |DC| = 12 \) birim ve \( |BC| = |AD| = 5 \) birimdir.
• 👉 Dik Üçgeni Belirleme:
  • \( \widehat{DBC} \) açısını içeren bir dik üçgen oluşturmak için B köşesinden D köşesine bir köşegen çizildiğinde, \( \triangle BCD \) bir dik üçgen olur (C açısı \( 90^\circ \)dir).
  • Bu \( \triangle BCD \) dik üçgeninde:
    • \( \widehat{DBC} \) açısının karşı dik kenarı \( |DC| = 12 \) birimdir.
    • \( \widehat{DBC} \) açısının komşu dik kenarı \( |BC| = 5 \) birimdir.
• 👉 Tanjant Değerini Hesaplama:
  • \( \tan(\widehat{DBC}) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \) formülünü kullanırız.
    \( \tan(\widehat{DBC}) = \frac{|DC|}{|BC|} = \frac{12}{5} \)
• ✅ \( \tan(\widehat{DBC}) = \frac{12}{5} \) olarak bulunur.