🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sistemine Doğrunun Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sistemine Doğrunun Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
A\( (1, 3) \) ve B\( (5, 6) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) şeklindedir.
- 👉 Burada A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (1, 3) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (5, 6) \).
- Değerleri formülde yerine yazalım: \[ AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 3)^2} \] \[ AB = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \] \[ AB = \sqrt{16 + 9} \] \[ AB = \sqrt{25} \] \[ AB = 5 \]
- ✅ Yani, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.
Örnek 2:
Köşe koordinatları A\( (-2, 5) \) ve B\( (4, -1) \) olan AB doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları \( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) formülü ile bulunur.
- 👉 Burada A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (-2, 5) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (4, -1) \).
- x koordinatını hesaplayalım: \[ x_{orta} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
- y koordinatını hesaplayalım: \[ y_{orta} = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
- ✅ Buna göre, AB doğru parçasının orta noktası \( (1, 2) \) koordinatlarına sahiptir.
Örnek 3:
A\( (2, 7) \) ve B\( (-1, 1) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. ✍️
Çözüm:
- Öncelikle doğrunun eğimini (m) bulalım. Eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) şeklindedir.
- 👉 \( (x_1, y_1) = (2, 7) \) ve \( (x_2, y_2) = (-1, 1) \).
- Eğim hesaplaması: \[ m = \frac{1 - 7}{-1 - 2} = \frac{-6}{-3} = 2 \]
- Şimdi, eğimi \( m = 2 \) olan ve A\( (2, 7) \) noktasından geçen doğrunun denklemini \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile yazalım.
- Denklemi oluşturalım: \[ y - 7 = 2(x - 2) \] \[ y - 7 = 2x - 4 \] \[ y = 2x - 4 + 7 \] \[ y = 2x + 3 \]
- ✅ Bu doğrunun denklemi \( y = 2x + 3 \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Eğimi \( m = -3 \) olan ve P\( (4, -2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. 📝
Çözüm:
- Eğimi \( m \) ve bir noktası \( (x_1, y_1) \) bilinen doğrunun denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile bulunur.
- 👉 Burada \( m = -3 \) ve \( (x_1, y_1) = (4, -2) \).
- Değerleri formülde yerine yazalım: \[ y - (-2) = -3(x - 4) \] \[ y + 2 = -3x + 12 \] \[ y = -3x + 12 - 2 \] \[ y = -3x + 10 \]
- ✅ Doğrunun denklemi \( y = -3x + 10 \)'dur.
Örnek 5:
\( d_1: 2x - 3y + 5 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve A\( (1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. 🛤️
Çözüm:
- Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. İlk olarak \( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım.
- \( 2x - 3y + 5 = 0 \) denklemini \( y = mx + n \) formuna getirelim: \[ -3y = -2x - 5 \] \[ y = \frac{-2x - 5}{-3} \] \[ y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \]
- 👉 Bu durumda \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = \frac{2}{3} \) 'tür.
- Aradığımız doğru \( d_1 \) doğrusuna paralel olduğu için onun da eğimi \( m_2 = \frac{2}{3} \) olacaktır.
- Şimdi, eğimi \( m_2 = \frac{2}{3} \) olan ve A\( (1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 4 = \frac{2}{3}(x - 1) \]
- Denklemi düzenleyelim (her iki tarafı 3 ile çarpalım): \[ 3(y - 4) = 2(x - 1) \] \[ 3y - 12 = 2x - 2 \] \[ 3y = 2x - 2 + 12 \] \[ 3y = 2x + 10 \] \[ 2x - 3y + 10 = 0 \]
- ✅ Aranan doğrunun denklemi \( 2x - 3y + 10 = 0 \)'dır.
Örnek 6:
\( d_1: y = 2x - 1 \) doğrusuna dik olan ve B\( (3, 5) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \)'dir. İlk olarak \( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım.
- \( y = 2x - 1 \) denkleminden \( d_1 \) doğrusunun eğimi \( m_1 = 2 \) 'dir.
- Aradığımız doğru \( d_1 \) doğrusuna dik olduğu için eğimi \( m_2 \) olmak üzere: \[ m_1 \cdot m_2 = -1 \] \[ 2 \cdot m_2 = -1 \] \[ m_2 = -\frac{1}{2} \]
- Şimdi, eğimi \( m_2 = -\frac{1}{2} \) olan ve B\( (3, 5) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazalım: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 3) \]
- Denklemi düzenleyelim (her iki tarafı 2 ile çarpalım): \[ 2(y - 5) = -(x - 3) \] \[ 2y - 10 = -x + 3 \] \[ x + 2y - 10 - 3 = 0 \] \[ x + 2y - 13 = 0 \]
- ✅ Aranan doğrunun denklemi \( x + 2y - 13 = 0 \)'dır.
Örnek 7:
Bir mühendis, üç farklı sensörü koordinat düzleminde A\( (1, 2) \), B\( (4, 8) \) ve C\( (x, 14) \) noktalarına yerleştirmiştir. Eğer bu üç sensörün aynı doğru üzerinde (doğrusal) olması gerekiyorsa, \( x \) değeri kaç olmalıdır? 💡
Çözüm:
- Üç noktanın doğrusal olması için, herhangi iki noktadan hesaplanan eğimlerin birbirine eşit olması gerekir.
- Öncelikle A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimini \( m_{AB} \) bulalım: \[ m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]
- Şimdi, B ve C noktalarından geçen doğrunun eğimini \( m_{BC} \) bulalım: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{14 - 8}{x - 4} = \frac{6}{x - 4} \]
- Noktaların doğrusal olması için \( m_{AB} = m_{BC} \) olmalıdır: \[ 2 = \frac{6}{x - 4} \]
- Denklemi çözelim: \[ 2(x - 4) = 6 \] \[ 2x - 8 = 6 \] \[ 2x = 6 + 8 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = \frac{14}{2} \] \[ x = 7 \]
- ✅ Üç sensörün doğrusal olması için \( x \) değeri 7 olmalıdır.
Örnek 8:
Bir bisikletçi, düz bir zeminden başlayarak bir yokuşu tırmanıyor. Bisikletçinin başlangıç noktası koordinat düzleminde orijin \( (0, 0) \) olarak kabul edilirse, 10 metre yatay ilerlediğinde 3 metre yükseldiğini fark ediyor. Bu yokuşun eğimini ve yokuşun temsil ettiği doğrunun denklemini bulunuz. 🚴♀️⛰️
Çözüm:
- Bu problemde, bisikletçinin hareketi bir doğrunun eğimi ile modellenebilir.
- Başlangıç noktası \( P_1 = (0, 0) \) (orijin).
- Bisikletçi 10 metre yatay ilerlediğinde (x ekseni boyunca) ve 3 metre yükseldiğinde (y ekseni boyunca) ulaştığı ikinci nokta \( P_2 = (10, 3) \) olur.
- 1. Yokuşun Eğimini Bulalım:
- Eğim formülü \( m = \frac{\text{dikey değişim (y)}}{\text{yatay değişim (x)}} \) veya \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) şeklindedir.
- \[ m = \frac{3 - 0}{10 - 0} = \frac{3}{10} \]
- 👉 Bu yokuşun eğimi \( \frac{3}{10} \)'dur. Eğim genellikle yüzde olarak da ifade edilebilir: \( \frac{3}{10} \times 100% = 30% \). Yani yokuş %30 eğime sahiptir.
- 2. Yokuşu Temsil Eden Doğrunun Denklemini Bulalım:
- Eğimi \( m = \frac{3}{10} \) olan ve orijinden \( (0, 0) \) geçen doğrunun denklemini \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile yazalım.
- \[ y - 0 = \frac{3}{10}(x - 0) \]
- \[ y = \frac{3}{10}x \]
- ✅ Bu yokuşun eğimi \( \frac{3}{10} \) ve yokuşu temsil eden doğrunun denklemi \( y = \frac{3}{10}x \) 'tir. Bu denklem, bisikletçinin herhangi bir yatay mesafede ne kadar yükseldiğini hesaplamamızı sağlar.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sistemine-dogrunun-ozellikleri/sorular