💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanırız.
Formül: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
\( x_1 = 3, y_1 = 5 \)
\( x_2 = 7, y_2 = 9 \)

Adım 2: Formülde yerine koyalım.
\( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} \)

Adım 3: İşlemleri yapalım.
\( d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \)
\( d = \sqrt{16 + 16} \)
\( d = \sqrt{32} \)

Adım 4: Karekökü sadeleştirelim.
\( d = \sqrt{16 \times 2} \)
\( d = 4\sqrt{2} \)

Sonuç: A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. ✅

İki noktanın orta noktasının koordinatları, bu noktaların x ve y koordinatlarının ayrı ayrı ortalaması alınarak bulunur.
Orta Nokta Formülü: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \)

Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
\( x_1 = -2, y_1 = 4 \)
\( x_2 = 6, y_2 = -2 \)

Adım 2: Orta noktanın x koordinatını hesaplayalım.
\( x_M = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Adım 3: Orta noktanın y koordinatını hesaplayalım.
\( y_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Sonuç: C ve D noktalarının orta noktasının koordinatları (2, 1)'dir. 📌

İki noktadan geçen doğrunun eğimi, y koordinatları farkının x koordinatları farkına bölünmesiyle bulunur.
Eğim Formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
\( x_1 = 1, y_1 = 2 \)
\( x_2 = 5, y_2 = 6 \)

Adım 2: Formülde yerine koyalım.
\( m = \frac{6 - 2}{5 - 1} \)

Adım 3: İşlemleri yapalım.
\( m = \frac{4}{4} \)
\( m = 1 \)

Sonuç: E ve F noktalarından geçen doğrunun eğimi 1'dir. 👍

Üçgenin çevresini hesaplamak için kenar uzunluklarını bulmamız gerekir. Kenar uzunlukları için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız.
Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Adım 1: PQ kenarının uzunluğunu hesaplayalım.
P(2, 3), Q(8, 3)
\( d_{PQ} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \)

Adım 2: QR kenarının uzunluğunu hesaplayalım.
Q(8, 3), R(5, 7)
\( d_{QR} = \sqrt{(5 - 8)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Adım 3: RP kenarının uzunluğunu hesaplayalım.
R(5, 7), P(2, 3)
\( d_{RP} = \sqrt{(2 - 5)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

Adım 4: Çevreyi hesaplayalım.
Çevre = \( d_{PQ} + d_{QR} + d_{RP} = 6 + 5 + 5 = 16 \)

Sonuç: Üçgenin çevresi 16 birimdir. 🥳

Bu tür durumlarda, harita üzerindeki iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeyi bulmak için uzaklık formülünü kullanırız.
Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
Ev (A): \( x_1 = 1, y_1 = 2 \)
Market (B): \( x_2 = 7, y_2 = 10 \)

Adım 2: Formülde yerine koyalım.
\( d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} \)

Adım 3: İşlemleri yapalım.
\( d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
\( d = \sqrt{36 + 64} \)
\( d = \sqrt{100} \)
\( d = 10 \)

Sonuç: Ev ile market arasındaki kuş uçuşu mesafe 10 birimdir. Bu birimler haritanın ölçeğine göre gerçek mesafeye karşılık gelir. 🏠➡️🛒

Robotun her bir hareketinin uzunluğunu, başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki uzaklık formülü ile hesaplayabiliriz.
Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Adım 1: İlk hareketin uzunluğunu hesaplayalım.
Başlangıç noktası (varsayılan olarak (0,0) kabul edilebilir veya ilk nokta olarak verilmeli, burada (0,0) kabul edelim) ve ilk hedef (4, 3).
\( d_1 = \sqrt{(4 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)

Adım 2: İkinci hareketin uzunluğunu hesaplayalım.
İlk hedef (4, 3) ve ikinci hedef (-2, 7).
\( d_2 = \sqrt{(-2 - 4)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \)

Adım 3: Karekökü sadeleştirelim.
\( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \)

Adım 4: Toplam hareket uzunluğunu bulalım.
Toplam Uzunluk = \( d_1 + d_2 = 5 + 2\sqrt{13} \)

Sonuç: Robotun toplam hareket uzunluğu \( 5 + 2\sqrt{13} \) birimdir. 🚀

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bilinmeyen 'a' değerini bulabiliriz.
Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
Verilenler: \( d = \sqrt{37} \), A(a, 2), B(5, 8)

Adım 1: Formülde verilenleri yerine koyalım.
\( \sqrt{37} = \sqrt{(5 - a)^2 + (8 - 2)^2} \)

Adım 2: Kareköklerden kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım.
\( 37 = (5 - a)^2 + (6)^2 \)
\( 37 = (5 - a)^2 + 36 \)

Adım 3: \( (5 - a)^2 \) ifadesini yalnız bırakalım.
\( (5 - a)^2 = 37 - 36 \)
\( (5 - a)^2 = 1 \)

Adım 4: Her iki tarafın karekökünü alarak 'a' için olası değerleri bulalım.
Olasılık 1: \( 5 - a = 1 \)
\( a = 5 - 1 \)
\( a = 4 \)

Olasılık 2: \( 5 - a = -1 \)
\( a = 5 - (-1) \)
\( a = 5 + 1 \)
\( a = 6 \)

Sonuç: 'a' değerinin olası iki değeri vardır: 4 ve 6. 💡

Bu soruda, iki farklı doğru parçasının eğimlerinin eşit olduğu bilgisi kullanılarak bilinmeyen 'x' değeri bulunacaktır.
Eğim Formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Adım 1: K ve L noktalarından geçen doğrunun eğimini (m) hesaplayalım.
K(3, -1), L(-5, 7)
\( m_{KL} = \frac{7 - (-1)}{-5 - 3} = \frac{7 + 1}{-8} = \frac{8}{-8} = -1 \)
Yani, \( m = -1 \)

Adım 2: M ve N noktalarından geçen doğrunun eğimini 'x' cinsinden ifade edelim.
M(1, 2), N(x, -4)
\( m_{MN} = \frac{-4 - 2}{x - 1} = \frac{-6}{x - 1} \)

Adım 3: İki eğimin birbirine eşit olduğunu belirterek 'x' değerini bulalım.
\( m_{KL} = m_{MN} \)
\( -1 = \frac{-6}{x - 1} \)

Adım 4: Denklemi çözelim.
\( -1 \times (x - 1) = -6 \)
\( -x + 1 = -6 \)
\( -x = -6 - 1 \)
\( -x = -7 \)
\( x = 7 \)

Sonuç: 'x' değeri 7'dir. 💯