🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Özellikleri Ve Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Özellikleri Ve Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde verilen A(\(-3, 5\)) ve B(\(1, 2\)) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz ve bu doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını hesaplayınız. 📌
Çözüm:
Bu soruyu adım adım çözelim:
- 1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülü:
İki nokta arasındaki uzaklık formülü \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) şeklindedir. Verilen noktalar \(A(x_1, y_1) = (-3, 5)\) ve \(B(x_2, y_2) = (1, 2)\) olduğundan, değerleri formülde yerine yazalım:
\(d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 5)^2}\)
\(d = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3)^2}\)
\(d = \sqrt{4^2 + (-3)^2}\)
\(d = \sqrt{16 + 9}\)
\(d = \sqrt{25}\)
\(d = 5\) birimdir. ✅ - 2. Orta Nokta Formülü:
Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları \(O\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\) formülüyle bulunur.
Verilen noktalar \(A(-3, 5)\) ve \(B(1, 2)\) olduğundan, değerleri formülde yerine yazalım:
\(O\left(\frac{-3 + 1}{2}, \frac{5 + 2}{2}\right)\)
\(O\left(\frac{-2}{2}, \frac{7}{2}\right)\)
\(O\left(-1, \frac{7}{2}\right)\) veya \(O(-1, 3.5)\) olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Analitik düzlemde A(\(2, -1\)) ve B(\(5, 8\)) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulunuz. 💡
Çözüm:
Doğrunun eğimini ve denklemini bulmak için şu adımları izleyelim:
- 1. Doğrunun Eğimini Bulma:
İki noktası verilen doğrunun eğimi \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) formülüyle hesaplanır.
\(A(x_1, y_1) = (2, -1)\) ve \(B(x_2, y_2) = (5, 8)\) olduğundan:
\(m = \frac{8 - (-1)}{5 - 2}\)
\(m = \frac{8 + 1}{3}\)
\(m = \frac{9}{3}\)
\(m = 3\) olarak bulunur. ✅ - 2. Doğrunun Denklemini Bulma:
Eğimi \(m\) ve bir noktası \((x_1, y_1)\) bilinen doğrunun denklemi \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazılır.
Eğim \(m = 3\) ve A noktası \((2, -1)\) kullanılarak:
\(y - (-1) = 3(x - 2)\)
\(y + 1 = 3x - 6\)
\(y = 3x - 6 - 1\)
\(y = 3x - 7\) denklemini elde ederiz. ✅
Denklemi genel formda da yazabiliriz: \(3x - y - 7 = 0\).
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(\(-1, 4\)) noktasından geçen ve \(y = 2x - 3\) doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini yazınız. 👉
Çözüm:
Paralel doğruların eğimlerinin eşit olduğu bilgisini kullanarak çözüm yapalım:
- 1. Verilen Doğrunun Eğimini Bulma:
\(y = 2x - 3\) doğrusu, \(y = mx + n\) formatında yazıldığında eğimi \(m = 2\) olur. - 2. Paralel Doğrunun Eğimini Belirleme:
İstenen doğru, verilen doğruya paralel olduğu için eğimi de aynı olacaktır. Yani, istenen doğrunun eğimi \(m_2 = m_1 = 2\) dir. - 3. Doğrunun Denklemini Yazma:
Eğimi \(m = 2\) ve A noktası \((-1, 4)\) bilinen doğrunun denklemini \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazalım:
\(y - 4 = 2(x - (-1))\)
\(y - 4 = 2(x + 1)\)
\(y - 4 = 2x + 2\)
\(y = 2x + 2 + 4\)
\(y = 2x + 6\) denklemini buluruz. ✅
Örnek 4:
Analitik düzlemde P(\(3, -2\)) noktasından geçen ve \(3x - 2y + 5 = 0\) doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Dik doğruların eğimleri çarpımının \(-1\) olduğu bilgisini kullanarak çözüm yapalım:
- 1. Verilen Doğrunun Eğimini Bulma:
\(3x - 2y + 5 = 0\) denklemini \(y = mx + n\) formatına getirelim:
\(-2y = -3x - 5\)
\(y = \frac{-3x - 5}{-2}\)
\(y = \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}\)
Bu doğrunun eğimi \(m_1 = \frac{3}{2}\) dir. - 2. Dik Doğrunun Eğimini Belirleme:
İstenen doğru, verilen doğruya dik olduğu için eğimleri çarpımı \(-1\) olmalıdır (\(m_1 \cdot m_2 = -1\)).
\(\frac{3}{2} \cdot m_2 = -1\)
\(m_2 = -\frac{2}{3}\) olarak bulunur. - 3. Doğrunun Denklemini Yazma:
Eğimi \(m = -\frac{2}{3}\) ve P noktası \((3, -2)\) bilinen doğrunun denklemini \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazalım:
\(y - (-2) = -\frac{2}{3}(x - 3)\)
\(y + 2 = -\frac{2}{3}x + (-\frac{2}{3}) \cdot (-3)\)
\(y + 2 = -\frac{2}{3}x + 2\)
\(y = -\frac{2}{3}x + 2 - 2\)
\(y = -\frac{2}{3}x\) denklemini elde ederiz. ✅
Genel formda yazarsak: \(3y = -2x \implies 2x + 3y = 0\).
Örnek 5:
Analitik düzlemde A(\(1, 2\)), B(\(3, a\)) ve C(\(5, 10\)) noktaları doğrusal olduğuna göre, a değerini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Üç noktanın doğrusal olması, herhangi iki noktadan geçen doğrunun eğiminin aynı olması anlamına gelir. Bu bilgiyi kullanarak \(a\) değerini bulalım:
- 1. AB Doğrusunun Eğimini Bulma:
\(A(x_1, y_1) = (1, 2)\) ve \(B(x_2, y_2) = (3, a)\) noktaları için eğim:
\(m_{AB} = \frac{a - 2}{3 - 1} = \frac{a - 2}{2}\) - 2. BC Doğrusunun Eğimini Bulma:
\(B(x_1, y_1) = (3, a)\) ve \(C(x_2, y_2) = (5, 10)\) noktaları için eğim:
\(m_{BC} = \frac{10 - a}{5 - 3} = \frac{10 - a}{2}\) - 3. Eğimleri Eşitleme ve a Değerini Bulma:
Noktalar doğrusal olduğu için \(m_{AB} = m_{BC}\) olmalıdır.
\(\frac{a - 2}{2} = \frac{10 - a}{2}\)
Paydalar eşit olduğu için payları eşitleyebiliriz:
\(a - 2 = 10 - a\)
\(a + a = 10 + 2\)
\(2a = 12\)
\(a = 6\) olarak bulunur. ✅
Örnek 6:
Analitik düzlemde köşeleri A(\(1, 4\)), B(\(5, 1\)) ve C(\(2, -3\)) olan bir ABC üçgeninin AC kenarına ait kenarortay uzunluğunu bulunuz. (Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasıdır.) 📐
Çözüm:
AC kenarına ait kenarortay uzunluğunu bulmak için şu adımları izleyelim:
- 1. AC Kenarının Orta Noktasını Bulma:
AC kenarının orta noktası D olsun. Orta nokta formülü \(O\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\) kullanılarak:
\(A(1, 4)\) ve \(C(2, -3)\) için:
\(D\left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{4 + (-3)}{2}\right)\)
\(D\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) olarak bulunur. - 2. Kenarortay Uzunluğunu Bulma:
AC kenarına ait kenarortay, B köşesinden D noktasına çizilen doğru parçasıdır (BD). İki nokta arası uzaklık formülü \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) ile BD uzunluğunu hesaplayalım:
\(B(5, 1)\) ve \(D\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\) için:
\(BD = \sqrt{\left(5 - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2}\)
\(BD = \sqrt{\left(\frac{10 - 3}{2}\right)^2 + \left(\frac{2 - 1}{2}\right)^2}\)
\(BD = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}\)
\(BD = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{1}{4}}\)
\(BD = \sqrt{\frac{50}{4}}\)
\(BD = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}\) birimdir. ✅
Örnek 7:
Bir mühendislik projesinde, düz bir yolun başlangıç noktası analitik düzlemde P(\(10, 50\)) ve bitiş noktası R(\(160, 200\)) olarak belirlenmiştir. Bu yolun eğimini ve yolun geçtiği doğrunun denklemini bulunuz. (Koordinatlar metre cinsindendir.) 🛣️
Çözüm:
Yolun eğimini ve denklemini bulmak için şu adımları izleyelim:
- 1. Yolun Eğimini Bulma:
İki nokta arasındaki eğim formülü \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) kullanılarak:
\(P(x_1, y_1) = (10, 50)\) ve \(R(x_2, y_2) = (160, 200)\) olduğundan:
\(m = \frac{200 - 50}{160 - 10}\)
\(m = \frac{150}{150}\)
\(m = 1\) olarak bulunur. ✅ Bu, yolun her 1 birim yatayda ilerlediğinde 1 birim dikeyde yükseldiği anlamına gelir. - 2. Yolun Geçtiği Doğrunun Denklemini Bulma:
Eğimi \(m = 1\) ve P noktası \((10, 50)\) bilinen doğrunun denklemini \(y - y_1 = m(x - x_1)\) formülüyle yazalım:
\(y - 50 = 1(x - 10)\)
\(y - 50 = x - 10\)
\(y = x - 10 + 50\)
\(y = x + 40\) denklemini elde ederiz. ✅
Örnek 8:
Bir takside açılış ücreti 15 TL ve her kilometre başına 8 TL ücret alınmaktadır. Gidilen mesafeyi \(x\) (km) ve ödenecek toplam ücreti \(y\) (TL) ile gösteren doğrusal denklemi yazınız. Ayrıca, bu taksi ile 25 km yol gidildiğinde toplam ne kadar ücret ödeneceğini hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
Taksinin ücret tarifesini doğrusal bir denklemle ifade edelim:
- 1. Doğrusal Denklemi Oluşturma:
Açılış ücreti sabit bir değerdir ve denklemin \(n\) (sabit terim) kısmını oluşturur. Kilometre başına alınan ücret ise eğimi (\(m\)) temsil eder, çünkü gidilen mesafe (\(x\)) ile doğru orantılı olarak artar.
Bu durumda, \(y = mx + n\) formülüyle:
Eğim \(m = 8\) (her km için 8 TL)
Sabit terim \(n = 15\) (açılış ücreti)
Denklem: \(y = 8x + 15\) olarak yazılır. ✅ - 2. 25 km Yol İçin Ücret Hesaplama:
Denklemde \(x = 25\) km değerini yerine koyarak toplam ücreti bulalım:
\(y = 8 \cdot (25) + 15\)
\(y = 200 + 15\)
\(y = 215\) TL. ✅
Yani, 25 km yol gidildiğinde toplam 215 TL ücret ödenir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sisteminde-dogrunun-ozellikleri-ve-analitik-incelenmesi/sorular