🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 9) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. 💡
Çözüm:
- İki nokta arasındaki eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) ile bulunur.
- Burada \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( (x_2, y_2) = (5, 9) \) olarak alabiliriz.
- Formülde yerine koyarsak: \( m = \frac{9 - 3}{5 - 2} \)
- İşlemleri yaparsak: \( m = \frac{6}{3} \)
- Sonuç olarak doğrunun eğimi \( m = 2 \) olur. ✅
Örnek 2:
Eğimi \( -3 \) olan ve \( P(1, -2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
- Bir noktanın ve eğimin verildiği durumda doğru denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile bulunur.
- Burada \( m = -3 \) ve \( (x_1, y_1) = (1, -2) \) olarak verilmiştir.
- Formülde yerine koyarsak: \( y - (-2) = -3(x - 1) \)
- Denklemi düzenlersek: \( y + 2 = -3x + 3 \)
- Sabit terimleri bir araya getirirsek: \( y + 2 - 3 = -3x \)
- Sonuç olarak doğrunun denklemi \( y = -3x + 1 \) veya \( 3x + y - 1 = 0 \) şeklinde yazılabilir. 📌
Örnek 3:
\( y = 2x + 5 \) doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Bir doğrunun y-eksenini kestiği nokta, x koordinatının 0 olduğu noktadır.
- Verilen doğru denkleminde \( x = 0 \) yazılır.
- \( y = 2(0) + 5 \)
- Bu durumda \( y = 5 \) bulunur.
- Yani doğrunun y-eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (0, 5) \) olur. 👍
Örnek 4:
\( 4x - y + 8 = 0 \) doğrusunun x-eksenini kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz. ↔️
Çözüm:
- Bir doğrunun x-eksenini kestiği nokta, y koordinatının 0 olduğu noktadır.
- Verilen doğru denkleminde \( y = 0 \) yazılır.
- \( 4x - 0 + 8 = 0 \)
- Denklemi çözersek: \( 4x = -8 \)
- \( x = \frac{-8}{4} \)
- \( x = -2 \) bulunur.
- Yani doğrunun x-eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (-2, 0) \) olur. 💯
Örnek 5:
\( y = 3x - 7 \) ve \( y = -x + 5 \) doğrularının kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz. ➕
Çözüm:
- İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemlerini ortak çözmeliyiz.
- Her iki denklemde de y yalnız bırakıldığı için eşitleyebiliriz: \( 3x - 7 = -x + 5 \)
- x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \( 3x + x = 5 + 7 \)
- \( 4x = 12 \)
- x değerini bulalım: \( x = \frac{12}{4} \)
- \( x = 3 \)
- Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine (örneğin ilkine) yerine koyarak y'yi bulalım: \( y = 3(3) - 7 \)
- \( y = 9 - 7 \)
- \( y = 2 \)
- Kesişim noktasının koordinatları \( (3, 2) \) olur. 🌟
Örnek 6:
Bir araç, doğrusal bir yolda sabit hızla ilerlemektedir. Aracın aldığı yol (y) ile geçen süre (x) arasındaki ilişki \( y = 15x \) denklemi ile ifade edilmektedir. Bu araç 3 saatte kaç kilometre yol alır? 🚗💨
Çözüm:
- Soruda aracın aldığı yol ile geçen süre arasındaki ilişki \( y = 15x \) olarak verilmiş.
- Burada y alınan yolu (km), x ise geçen süreyi (saat) temsil etmektedir.
- Araç 3 saatte ne kadar yol aldığını bulmak için denklemde \( x = 3 \) değerini yerine koymalıyız.
- \( y = 15 \times 3 \)
- \( y = 45 \)
- Yani araç 3 saatte 45 kilometre yol alır. 🛣️
Örnek 7:
Bir taksicinin açılış ücreti 10 TL'dir ve kilometre başına 5 TL almaktadır. Gidilen mesafeyi (x) kilometre, toplam ücreti (y) TL olarak alırsak, bu durumu ifade eden doğru denklemini yazınız ve 8 kilometre gidildiğinde ödenecek ücreti hesaplayınız. 🚕
Çözüm:
- Açılış ücreti sabit bir değer olduğu için bu, y-keseni olacaktır. Yani \( y \)-eksenini kestiği nokta \( (0, 10) \) olur.
- Kilometre başına alınan ücret ise doğrunun eğimidir. Yani \( m = 5 \).
- Doğru denklemi \( y = mx + n \) formunda yazılır. Burada \( m \) eğim, \( n \) ise y-kesenidir.
- Denklemimiz: \( y = 5x + 10 \) olur.
- Şimdi 8 kilometre gidildiğinde ödenecek ücreti bulmak için denklemde \( x = 8 \) yazarız:
- \( y = 5(8) + 10 \)
- \( y = 40 + 10 \)
- \( y = 50 \)
- 8 kilometre gidildiğinde ödenecek ücret 50 TL'dir. 💰
Örnek 8:
\( x + 2y - 6 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve \( A(1, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız. 📐
Çözüm:
- Paralel doğruların eğimleri eşittir. İlk olarak verilen \( x + 2y - 6 = 0 \) doğrusunun eğimini bulalım.
- Denklemi \( y \) yalnız bırakacak şekilde düzenleyelim: \( 2y = -x + 6 \)
- \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \)
- Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -\frac{1}{2} \) olur.
- Paralel olan doğrunun eğimi de \( m_2 = -\frac{1}{2} \) olmalıdır.
- Şimdi \( A(1, 4) \) noktasından geçen ve eğimi \( -\frac{1}{2} \) olan doğrunun denklemini yazalım.
- \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülünü kullanırız.
- \( y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 2(y - 4) = -(x - 1) \)
- \( 2y - 8 = -x + 1 \)
- \( x + 2y - 8 - 1 = 0 \)
- Paralel doğrunun denklemi \( x + 2y - 9 = 0 \) olur. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sisteminde-dogrunun-analitik-incelenmesi/sorular