🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğruların Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde Doğruların Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru 1:
A(2, 5) ve B(-1, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda, iki noktası bilinen bir doğrunun eğimini bulma formülünü kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Noktaları belirleyelim. A noktası \( (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve B noktası \( (x_2, y_2) = (-1, 3) \).
- 👉 Adım 2: Eğim formülünü hatırlayalım. Bir doğrunun eğimi \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülü ile bulunur.
- 👉 Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım. \[ m = \frac{3 - 5}{-1 - 2} \] \[ m = \frac{-2}{-3} \] \[ m = \frac{2}{3} \]
✅ Cevap: A(2, 5) ve B(-1, 3) noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \frac{2}{3} \)tür.
Örnek 2:
💡 Soru 2:
Denklemi \( 3x - 4y + 7 = 0 \) olan doğrunun eğimi kaçtır?
Çözüm:
Bu soruda, genel denklemi verilen bir doğrunun eğimini bulma yöntemini kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Doğru denkleminin genel formunu hatırlayalım. Genel doğru denklemi \( ax + by + c = 0 \) şeklindedir. Bu denklemin eğimi \( m = -\frac{a}{b} \) formülü ile bulunur.
- 👉 Adım 2: Verilen denklemdeki katsayıları belirleyelim. \( 3x - 4y + 7 = 0 \) denkleminde \( a = 3 \), \( b = -4 \) ve \( c = 7 \) dir.
- 👉 Adım 3: Eğim formülünde yerine koyalım. \[ m = -\frac{a}{b} = -\frac{3}{-4} \] \[ m = \frac{3}{4} \]
✅ Cevap: Denklemi \( 3x - 4y + 7 = 0 \) olan doğrunun eğimi \( \frac{3}{4} \)tür.
Örnek 3:
📌 Soru 3:
Eğimi \( -2 \) olan ve P(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini bulma formülünü kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Verilen bilgileri not edelim. Eğim \( m = -2 \) ve nokta \( (x_1, y_1) = (1, 4) \).
- 👉 Adım 2: Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü hatırlayalım. Doğru denklemi \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile bulunur.
- 👉 Adım 3: Değerleri formülde yerine koyalım ve denklemi düzenleyelim. \[ y - 4 = -2(x - 1) \] Parantezi dağıtalım: \[ y - 4 = -2x + 2 \] Terimleri bir tarafta toplayalım: \[ y = -2x + 2 + 4 \] \[ y = -2x + 6 \] Veya tüm terimleri sol tarafa alarak genel denklem formunda yazabiliriz: \[ 2x + y - 6 = 0 \]
✅ Cevap: Eğimi \( -2 \) olan ve P(1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemi \( y = -2x + 6 \) veya \( 2x + y - 6 = 0 \) şeklindedir.
Örnek 4:
💡 Soru 4:
A(3, 1) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, iki noktası bilinen doğrunun denklemini bulmak için önce eğimi bulup, ardından eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanacağız.
- 👉 Adım 1: Doğrunun eğimini hesaplayalım. A noktası \( (x_1, y_1) = (3, 1) \) ve B noktası \( (x_2, y_2) = (5, 7) \). \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 1}{5 - 3} = \frac{6}{2} = 3 \] Doğrunun eğimi \( m = 3 \)tür.
- 👉 Adım 2: Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi formülünü kullanalım. Eğim \( m = 3 \) ve A(3, 1) noktasını kullanalım (B noktasını da kullanabilirdik). Formül: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) \[ y - 1 = 3(x - 3) \]
- 👉 Adım 3: Denklemi düzenleyelim. \[ y - 1 = 3x - 9 \] \[ y = 3x - 9 + 1 \] \[ y = 3x - 8 \]
✅ Cevap: A(3, 1) ve B(5, 7) noktalarından geçen doğrunun denklemi \( y = 3x - 8 \)dir.
Örnek 5:
📌 Soru 5:
\( d_1 \) doğrusunun denklemi \( 2x - y + 5 = 0 \) ve \( d_2 \) doğrusu A(1, 3) noktasından geçmektedir. Eğer \( d_1 \) ve \( d_2 \) doğruları paralel ise, \( d_2 \) doğrusunun denklemi nedir?
Çözüm:
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Bu bilgiyi kullanarak \( d_2 \) doğrusunun denklemini bulacağız.
- 👉 Adım 1: \( d_1 \) doğrusunun eğimini bulalım. \( d_1 \) doğrusunun denklemi \( 2x - y + 5 = 0 \). Genel denklem \( ax + by + c = 0 \) ise eğim \( m = -\frac{a}{b} \) dir. \[ m_1 = -\frac{2}{-1} = 2 \]
- 👉 Adım 2: \( d_2 \) doğrusunun eğimini belirleyelim. \( d_1 \) ve \( d_2 \) paralel olduğu için eğimleri eşittir: \( m_2 = m_1 = 2 \).
- 👉 Adım 3: Eğimi ve bir noktası bilinen \( d_2 \) doğrusunun denklemini yazalım. \( d_2 \) doğrusunun eğimi \( m_2 = 2 \) ve geçtiği nokta A(1, 3)tür. Formül: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) \[ y - 3 = 2(x - 1) \]
- 👉 Adım 4: Denklemi düzenleyelim. \[ y - 3 = 2x - 2 \] \[ y = 2x - 2 + 3 \] \[ y = 2x + 1 \]
✅ Cevap: \( d_2 \) doğrusunun denklemi \( y = 2x + 1 \)dir.
Örnek 6:
💡 Soru 6:
\( y = \frac{1}{3}x + 4 \) doğrusuna dik olan ve B(2, -1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) dir. Bu bilgiyi kullanarak yeni doğrunun denklemini bulacağız.
- 👉 Adım 1: Verilen doğrunun eğimini bulalım. Denklem \( y = \frac{1}{3}x + 4 \) formunda olduğu için eğim \( m_1 = \frac{1}{3} \)tür.
- 👉 Adım 2: Dik olan doğrunun eğimini hesaplayalım. Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) olduğu için: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \). \[ \frac{1}{3} \cdot m_2 = -1 \] \[ m_2 = -3 \]
- 👉 Adım 3: Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazalım. Yeni doğrunun eğimi \( m_2 = -3 \) ve geçtiği nokta B(2, -1)dir. Formül: \( y - y_1 = m(x - x_1) \) \[ y - (-1) = -3(x - 2) \] \[ y + 1 = -3x + 6 \]
- 👉 Adım 4: Denklemi düzenleyelim. \[ y = -3x + 6 - 1 \] \[ y = -3x + 5 \]
✅ Cevap: Verilen doğruya dik olan ve B(2, -1) noktasından geçen doğrunun denklemi \( y = -3x + 5 \)tir.
Örnek 7:
📈 Soru 7:
Dik koordinat sisteminde, bir ABCD dikdörtgeninin köşeleri sırasıyla A(1, 4), B(5, 4), C(5, 1) ve D(1, 1) noktalarıdır. Bu dikdörtgenin köşegenlerinden biri olan AC doğrusunun eğimi kaçtır?
Çözüm:
Bu yeni nesil soruda, geometrik bir şekil üzerinden koordinat ve doğru özelliklerini birleştiriyoruz. Dikdörtgenin köşegeninin eğimini bulmak için, köşeleri verilen iki nokta arasındaki eğim formülünü kullanacağız.
- 👉 Adım 1: AC köşegeninin uç noktalarını belirleyelim. A noktası \( (x_1, y_1) = (1, 4) \) ve C noktası \( (x_2, y_2) = (5, 1) \).
- 👉 Adım 2: İki noktası bilinen doğrunun eğim formülünü uygulayalım. Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) formülünü kullanacağız. \[ m_{AC} = \frac{1 - 4}{5 - 1} \] \[ m_{AC} = \frac{-3}{4} \]
✅ Cevap: ABCD dikdörtgeninin AC köşegeninin eğimi \( -\frac{3}{4} \)tür.
Örnek 8:
🛣️ Soru 8:
Bir şehirde taksi ücretleri, açılış ücreti 15 TL ve her kilometre başına ek 5 TL olarak belirlenmiştir. Bu durumu gösteren doğrusal denklemi yazınız ve denklemin eğimini günlük hayat bağlamında açıklayınız. (Yolculuk mesafesi \( x \) kilometre, toplam ücret \( y \) TL olsun.)
Çözüm:
Bu soruda, günlük hayattaki bir durumu doğrusal bir modelle ifade edeceğiz ve eğimin ne anlama geldiğini yorumlayacağız.
- 👉 Adım 1: Doğrusal denklemi oluşturalım. Toplam ücret \( y \) TL, yolculuk mesafesi \( x \) kilometre. Açılış ücreti sabit bir değerdir: 15 TL. Her kilometre başına ek ücret, mesafeyle doğru orantılıdır: \( 5x \) TL. Toplam ücret bu iki değerin toplamıdır: \[ y = 5x + 15 \]
- 👉 Adım 2: Denklemin eğimini belirleyelim. Doğrusal denklem \( y = mx + n \) formunda olduğunda, eğim \( m \) katsayısıdır. Bizim denklemimizde \( y = 5x + 15 \) olduğu için eğim \( m = 5 \)tir.
- 👉 Adım 3: Eğimin günlük hayat bağlamındaki anlamını açıklayalım. Eğim, \( y \) değerindeki değişimin \( x \) değerindeki değişime oranıdır. Bu durumda, eğim \( 5 \), her 1 kilometrelik mesafe artışı için toplam ücretin 5 TL arttığını gösterir. Yani, taksi ücret tarifesindeki kilometre başına ücret eğimi temsil eder. Bu değer ne kadar büyük olursa, mesafe arttıkça ücret o kadar hızlı artar.
✅ Cevap: Doğrusal denklem \( y = 5x + 15 \)tir. Denklemin eğimi \( 5 \)tir ve bu, taksi ücretlendirmesinde her bir kilometre için alınan ek ücreti (5 TL) ifade eder.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sisteminde-dogrularin-ozellikleri/sorular