🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik koordinat sistemi ve uzaklık Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik koordinat sistemi ve uzaklık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Dik koordinat sisteminde verilen \( A(m-4, n+5) \) noktası, koordinat sisteminin 2. bölgesinde olduğuna göre, \( m \) ve \( n \) tam sayılarının alabileceği en büyük değerlerin toplamı kaçtır?
💡 İpucu: 2. bölgede bir noktanın apsisi negatif, ordinatı ise pozitiftir.
Çözüm:
2. bölgedeki bir \( P(x, y) \) noktası için \( x < 0 \) ve \( y > 0 \) olmalıdır.
- Apsis incelemesi: \( m - 4 < 0 \) ise \( m < 4 \) olur. Bu durumda \( m \) tam sayısının alabileceği en büyük değer \( 3 \) olur.
- Ordinat incelemesi: \( n + 5 > 0 \) ise \( n > -5 \) olur. Bu durumda \( n \) tam sayısının alabileceği en büyük değer için bir üst sınır yoktur. Ancak soruda bölge şartı verildiği için \( n \) herhangi bir pozitif değer alabilir.
- \( m = 3 \)
- \( n = -1 \) (En büyük negatif tam sayı)
- Toplam: \( 3 + (-1) = 2 \) olur.
Örnek 2:
Analitik düzlemde \( P(-6, 8) \) noktasının eksenlere olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?
📌 Not: Bir noktanın eksenlere uzaklığı, koordinatlarının mutlak değerine eşittir.
Çözüm:
Bir \( A(x, y) \) noktasının:
- \( x \) eksenine uzaklığı: \( |y| \) birimdir.
- \( y \) eksenine uzaklığı: \( |x| \) birimdir.
- \( x \) eksenine uzaklık \( = |8| = 8 \) birim.
- \( y \) eksenine uzaklık \( = |-6| = 6 \) birim.
- Toplam Uzaklık: \( 8 + 6 = 14 \) birim olarak bulunur.
Örnek 3:
Dik koordinat sisteminde \( A(2, -3) \) ve \( B(5, 1) \) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
📏 Formül: İki nokta arası uzaklık \( \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) formülü ile hesaplanır.
Çözüm:
Verilen noktaları formülde yerine koyalım:
- \( x_1 = 2, y_1 = -3 \)
- \( x_2 = 5, y_2 = 1 \)
- Apsisler farkı: \( 5 - 2 = 3 \)
- Ordinatlar farkı: \( 1 - (-3) = 1 + 3 = 4 \)
- Kareler toplamı: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
- Karekök alma: \( \sqrt{25} = 5 \) birim.
Örnek 4:
Uç noktaları \( A(-4, 10) \) ve \( B(2, -2) \) olan \( [AB] \) doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Orta nokta \( C(x, y) \), uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
- Orta noktanın apsisi: \( x = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
- Orta noktanın ordinatı: \( y = \frac{10 + (-2)}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
Örnek 5:
\( A(1, 2) \) ve \( B(5, 2) \) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve \( x \) ekseni üzerinde olan noktanın apsisi kaçtır?
Çözüm:
Aranan nokta \( x \) ekseni üzerinde olduğu için ordinatı \( 0 \) olmalıdır. Bu noktaya \( P(x, 0) \) diyelim.
- \( |PA| = |PB| \) olmalıdır.
- \( |PA|^2 = |PB|^2 \) (İşlem kolaylığı için karelerini alalım).
- \( (x-1)^2 + (0-2)^2 = (x-5)^2 + (0-2)^2 \)
- \( (x-1)^2 + 4 = (x-5)^2 + 4 \)
- \( (x-1)^2 = (x-5)^2 \)
- \( x^2 - 2x + 1 = x^2 - 10x + 25 \)
- \( 8x = 24 \)
- \( x = 3 \)
Örnek 6:
Bir tablet uygulamasında kareli bir zemin üzerinde modelleme yapılmaktadır. Bu zeminde her bir birim kare gerçekte \( 2 \) km mesafeye karşılık gelmektedir.
Uygulamada Okul \( A(-1, 2) \) ve Kütüphane \( B(2, 6) \) noktalarında modellendiğine göre, bu iki yer arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir?
Uygulamada Okul \( A(-1, 2) \) ve Kütüphane \( B(2, 6) \) noktalarında modellendiğine göre, bu iki yer arasındaki gerçek mesafe kaç kilometredir?
Çözüm:
Öncelikle koordinat sistemindeki birim cinsinden uzaklığı bulalım:
- Apsisler farkı: \( 2 - (-1) = 3 \)
- Ordinatlar farkı: \( 6 - 2 = 4 \)
- Uzaklık \( = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Her birim \( 2 \) km olduğuna göre;
- Gerçek mesafe \( = 5 \times 2 = 10 \) km olur.
Örnek 7:
Bir radar ekranında bir yolcu uçağı \( O(0, 0) \) başlangıç noktasından harekete geçerek doğrusal bir rota izleyip \( K(12, 5) \) noktasına ulaşıyor. Radar ekranındaki her birim \( 100 \) metreyi temsil ettiğine göre, uçak kaç metre yol almıştır?
Çözüm:
Uçağın radar üzerindeki hareket mesafesini hesaplayalım:
- Başlangıç noktası: \( (0, 0) \)
- Varış noktası: \( (12, 5) \)
- Uzaklık \( = \sqrt{(12-0)^2 + (5-0)^2} \)
- Uzaklık \( = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \) birim.
- 1 birim \( = 100 \) metre.
- Toplam yol \( = 13 \times 100 = 1300 \) metre.
Örnek 8:
Köşe noktaları \( O(0, 0) \), \( A(8, 0) \) ve \( B(0, 6) \) olan bir üçgenin çevresi kaç birimdir?
Çözüm:
Üçgenin kenar uzunluklarını tek tek hesaplayalım:
- OA kenarı: \( x \) ekseni üzerindedir. Uzunluğu \( |8 - 0| = 8 \) birimdir.
- OB kenarı: \( y \) ekseni üzerindedir. Uzunluğu \( |6 - 0| = 6 \) birimdir.
- AB kenarı (Hipotenüs): İki nokta arası uzaklık formülünden;
- \( |AB| = \sqrt{(8-0)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- Çevre \( = 8 + 6 + 10 = 24 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sistemi-ve-uzaklik/sorular