🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Düzleminde Doğrunun Özellikleri ve Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Düzleminde Doğrunun Özellikleri ve Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, 5) ve B(7, 1) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. 💡
Çözüm:
- İki nokta arasındaki eğim formülü \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) şeklindedir.
- Verilen noktalar A(3, 5) ve B(7, 1) olduğundan, \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 1 \) olur.
- Bu değerleri formülde yerine koyalım:
- \( m = \frac{1 - 5}{7 - 3} \)
- \( m = \frac{-4}{4} \)
- \( m = -1 \)
- Sonuç olarak, doğrunun eğimi -1'dir. ✅
Örnek 2:
Eğim açısı 135 derece olan bir doğrunun eğimini hesaplayınız. 📈
Çözüm:
- Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, eğimi \( m = \tan(\alpha) \) formülü ile bulunur.
- Soruda eğim açısı 135 derece olarak verilmiş, yani \( \alpha = 135^\circ \).
- \( m = \tan(135^\circ) \)
- \( \tan(135^\circ) \) değeri, birim çemberde 135 derecenin tanjantına eşittir ve \( -1 \) olarak bulunur.
- Dolayısıyla, doğrunun eğimi \( -1 \)'dir. 📌
Örnek 3:
\( y = 3x - 2 \) doğrusunun eğimini ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz. 🎯
Çözüm:
- Bir doğrunun \( y = mx + n \) şeklindeki denkleminde, \( m \) doğrunun eğimini, \( n \) ise y-eksenini kestiği noktanın ordinatını (y değerini) verir.
- Verilen denklem \( y = 3x - 2 \).
- Bu denklem \( y = mx + n \) formatındadır.
- Buradan \( m = 3 \) ve \( n = -2 \) olarak bulunur.
- Yani, doğrunun eğimi 3'tür.
- Doğru, y-eksenini (0, -2) noktasında keser. 👉
Örnek 4:
Orijinden geçen ve eğimi \( \frac{2}{3} \) olan doğrunun denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
- Orijinden geçen doğruların denklemleri \( y = mx \) şeklindedir, burada \( m \) doğrunun eğimidir.
- Soruda doğrunun eğimi \( m = \frac{2}{3} \) olarak verilmiş.
- Bu değeri denklemde yerine koyarsak:
- \( y = \frac{2}{3}x \)
- Doğrunun denklemi \( y = \frac{2}{3}x \) olur.
- Alternatif olarak, denklemi \( 3y = 2x \) veya \( 2x - 3y = 0 \) şeklinde de yazabiliriz. ✅
Örnek 5:
Bir araç, sabit bir hızla hareket etmektedir. Hareketin başlangıcında (t=0 anında) aracın konumu 10 km'dir. 2 saat sonra aracın konumu 130 km'ye ulaşmıştır. Aracın konumunu zamana bağlı olarak gösteren doğrunun denklemini bulunuz. 🚗💨
Çözüm:
- Bu durumu analitik düzlemde modelleyebiliriz. Zamanı x-ekseni (saat), konumu ise y-ekseni (km) olarak alalım.
- Verilen bilgilerle iki nokta elde ederiz:
- Başlangıç noktası: (0, 10)
- 2 saat sonraki nokta: (2, 130)
- Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini bulalım:
- \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{130 - 10}{2 - 0} = \frac{120}{2} = 60 \)
- Doğrunun eğimi 60'tır.
- Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) formundadır.
- Noktalardan biri (0, 10) olduğundan, bu nokta y-eksenini kestiği noktayı verir, yani \( n = 10 \).
- Denklem \( y = 60x + 10 \) olur.
- Bu denklem, aracın konumunu zamana bağlı olarak gösterir. 💡
Örnek 6:
\( 2x + y - 5 = 0 \) doğrusuna paralel olan ve A(1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz. 📏
Çözüm:
- Paralel doğruların eğimleri eşittir.
- Önce verilen \( 2x + y - 5 = 0 \) doğrusunun eğimini bulalım. Denklemi \( y = -2x + 5 \) şeklinde yazabiliriz.
- Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -2 \)'dir.
- Paralel olan yeni doğrunun eğimi de \( m_2 = -2 \) olmalıdır.
- Yeni doğrunun denklemi \( y = m_2 x + n \) yani \( y = -2x + n \) şeklindedir.
- Bu doğru A(1, 3) noktasından geçtiği için, bu noktayı denklemde yerine koyarak \( n \) değerini bulabiliriz:
- \( 3 = -2(1) + n \)
- \( 3 = -2 + n \)
- \( n = 5 \)
- Dolayısıyla, yeni doğrunun denklemi \( y = -2x + 5 \)'tir.
- Bu denklem \( 2x + y - 5 = 0 \) şeklinde de yazılabilir. ✅
Örnek 7:
\( x + 2y - 4 = 0 \) ve \( 3x - y + 7 = 0 \) doğrularının kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz. ✖️
Çözüm:
- İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklemlerini ortak olarak çözmemiz gerekir.
- Denklem 1: \( x + 2y - 4 = 0 \)
- Denklem 2: \( 3x - y + 7 = 0 \)
- İlk denklemi \( x \) için çözelim: \( x = 4 - 2y \).
- Bu ifadeyi ikinci denklemde \( x \) yerine koyalım:
- \( 3(4 - 2y) - y + 7 = 0 \)
- \( 12 - 6y - y + 7 = 0 \)
- \( 19 - 7y = 0 \)
- \( 7y = 19 \)
- \( y = \frac{19}{7} \)
- Şimdi \( y \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım:
- \( x = 4 - 2y = 4 - 2(\frac{19}{7}) \)
- \( x = 4 - \frac{38}{7} \)
- \( x = \frac{28}{7} - \frac{38}{7} \)
- \( x = -\frac{10}{7} \)
- Kesişim noktasının koordinatları \( (-\frac{10}{7}, \frac{19}{7}) \)'dir. 📌
Örnek 8:
Bir inşaat firması, belirli bir projede kullanılan beton miktarını (y) ve harcanan işçi saatini (x) takip etmektedir. Başlangıçta 50 birim beton kullanılmış ve 100 işçi saati harcanmıştır (x=100, y=50). Projenin ilerleyen aşamalarında 300 birim beton kullanıldığında, toplam harcanan işçi saati 500'e ulaşmıştır (x=500, y=300). Bu ilişkiyi veren doğrunun denklemini bulunuz. 🏗️
Çözüm:
- Bu durumu analitik düzlemde modelleyelim. İşçi saatini x-ekseni, beton miktarını ise y-ekseni olarak alalım.
- Verilen bilgilerle iki nokta elde ederiz: (100, 50) ve (500, 300).
- Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimini hesaplayalım:
- \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{300 - 50}{500 - 100} = \frac{250}{400} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} \)
- Doğrunun eğimi \( m = \frac{5}{8} \)'dir.
- Doğrunun denklemi \( y = mx + n \) formundadır.
- Noktalardan birini (örneğin (100, 50)) denklemde yerine koyarak \( n \) değerini bulalım:
- \( 50 = \frac{5}{8}(100) + n \)
- \( 50 = \frac{500}{8} + n \)
- \( 50 = \frac{125}{2} + n \)
- \( n = 50 - \frac{125}{2} \)
- \( n = \frac{100}{2} - \frac{125}{2} \)
- \( n = -\frac{25}{2} \)
- Dolayısıyla, beton miktarı ile işçi saati arasındaki ilişkiyi veren doğrunun denklemi \( y = \frac{5}{8}x - \frac{25}{2} \)'dir.
- Bu denklem, projedeki beton kullanımı ve işçi saati arasındaki doğrusal ilişkiyi gösterir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-duzleminde-dogrunun-ozellikleri-ve-analitik-incelenmesi/sorular