🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Denklem yazma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Denklem yazma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Kökleri \( x_1 = 3 \) ve \( x_2 = 5 \) olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi kurunuz.
Not: Kökleri bilinen bir denklem \[ x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 \] formülü ile yazılır.
Çözüm:
Kökleri verilen denklemi yazmak için şu adımları takip ederiz:
- Adım 1: Köklerin toplamını (T) bulalım.
T = \( x_1 + x_2 = 3 + 5 = 8 \) - Adım 2: Köklerin çarpımını (Ç) bulalım.
Ç = \( x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 5 = 15 \) - Adım 3: Bulduğumuz değerleri genel denklem formülünde yerine yazalım.
Genel formül: \( x^2 - Tx + Ç = 0 \)
Örnek 2:
Çözüm kümesi \( ÇK = \{ -2, 4 \} \) olan ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm:
Denklemin kökleri \( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 4 \) olarak verilmiştir.
- Kökler Toplamı (T):
T = \( -2 + 4 = 2 \) - Kökler Çarpımı (Ç):
Ç = \( (-2) \cdot 4 = -8 \) - Denklem Kurulumu:
\( x^2 - Tx + Ç = 0 \) formülünü kullanalım.
\( x^2 - (2)x + (-8) = 0 \)
Örnek 3:
Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri \( x_1 = 3 - \sqrt{2} \) olduğuna göre, bu denklemi yazınız.
💡 İpucu: Rasyonel katsayılı denklemlerde kökler birbirinin eşleniğidir.
Çözüm:
Eğer denklemin katsayıları rasyonel ise ve bir kök köklü bir ifade içeriyorsa, diğer kök bu ifadenin eşleniği olmalıdır.
- Kökleri Belirleme:
\( x_1 = 3 - \sqrt{2} \) ise
\( x_2 = 3 + \sqrt{2} \) olur. - Kökler Toplamı (T):
T = \( (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 3 + 3 = 6 \) - Kökler Çarpımı (Ç):
Ç = \( (3 - \sqrt{2}) \cdot (3 + \sqrt{2}) \)
Burada iki kare farkı özdeşliğini kullanalım: \( a^2 - b^2 \)
Ç = \( 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7 \) - Denklemi Yazma:
\( x^2 - Tx + Ç = 0 \)
Örnek 4:
Kökleri \( x_1 = \frac{1}{2} \) ve \( x_2 = -3 \) olan ikinci dereceden denklemi, katsayıları tam sayı olacak şekilde yazınız.
Çözüm:
Önce standart formülü uygulayalım, sonra katsayıları tam sayıya çevirelim.
- Kökler Toplamı (T):
T = \( \frac{1}{2} + (-3) = \frac{1}{2} - \frac{6}{2} = -\frac{5}{2} \) - Kökler Çarpımı (Ç):
Ç = \( \frac{1}{2} \cdot (-3) = -\frac{3}{2} \) - Denklemi Kurma:
\( x^2 - (-\frac{5}{2})x + (-\frac{3}{2}) = 0 \)
\( x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{3}{2} = 0 \) - Tam Sayıya Çevirme:
Denklemin her iki tarafını 2 ile genişletelim:
Örnek 5:
\( x^2 - 4x + 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( x_1 \) ve \( x_2 \)'dir.
Kökleri \( (x_1 + 1) \) ve \( (x_2 + 1) \) olan yeni ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm:
Verilen denklemin kökler bağıntılarını kullanarak yeni denklemi oluşturalım.
- Eski Denklemden Gelen Bilgiler:
\( x_1 + x_2 = -(-4)/1 = 4 \)
\( x_1 \cdot x_2 = 1/1 = 1 \) - Yeni Denklemin Kökler Toplamı (T_yeni):
T_yeni = \( (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + x_2) + 2 \)
T_yeni = \( 4 + 2 = 6 \) - Yeni Denklemin Kökler Çarpımı (Ç_yeni):
Ç_yeni = \( (x_1 + 1) \cdot (x_2 + 1) = x_1 \cdot x_2 + x_1 + x_2 + 1 \)
Ç_yeni = \( 1 + 4 + 1 = 6 \) - Yeni Denklemi Yazma:
\( x^2 - (T_{yeni})x + Ç_{yeni} = 0 \)
Örnek 6:
Bir dikdörtgen şeklindeki bahçenin çevresi 24 metre ve alanı 35 metrekaredir. Bu bahçenin kenar uzunluklarını kök kabul eden ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm:
Bahçenin kenar uzunluklarına \( x_1 \) ve \( x_2 \) diyelim.
- Çevre Bilgisi:
Çevre = \( 2 \cdot (x_1 + x_2) = 24 \) ise
\( x_1 + x_2 = 12 \) (Bu bizim kökler toplamımızdır, T = 12) - Alan Bilgisi:
Alan = \( x_1 \cdot x_2 = 35 \) (Bu bizim kökler çarpımımızdır, Ç = 35) - Denklem Kurulumu:
\( x^2 - Tx + Ç = 0 \) formülünü uygulayalım.
Örnek 7:
Bir marangoz, alanı \( x^2 + 7x + 10 = 0 \) denkleminin köklerinin mutlak değerce 2'şer fazlası olan bir dikdörtgen levha tasarlamak istiyor.
Eski denklemin kökleri negatif ise, yeni levhanın kenar uzunluklarını kök kabul eden denklemi oluşturunuz.
Çözüm:
Önce mevcut denklemin köklerini bulalım:
- Mevcut Denklem: \( x^2 + 7x + 10 = 0 \)
Çarpanlarına ayıralım: \( (x + 5)(x + 2) = 0 \)
Kökler: \( x_1 = -5 \) ve \( x_2 = -2 \) - Yeni Kenar Uzunlukları:
Köklerin mutlak değerlerinin 2 fazlası istendiği için:
Yeni kök 1 = \( |-5| + 2 = 5 + 2 = 7 \)
Yeni kök 2 = \( |-2| + 2 = 2 + 2 = 4 \) - Yeni Denklem İçin T ve Ç:
T = \( 7 + 4 = 11 \)
Ç = \( 7 \cdot 4 = 28 \)
Örnek 8:
Karmaşık sayılar kümesinde köklerinden biri \( x_1 = 2 + i \) olan gerçek katsayılı ikinci dereceden denklemi yazınız.
Çözüm:
Gerçek katsayılı bir denklemin bir kökü karmaşık sayı ise, diğer kökü onun eşleniğidir.
- Kökleri Belirleme:
\( x_1 = 2 + i \)
\( x_2 = 2 - i \) - Kökler Toplamı (T):
T = \( (2 + i) + (2 - i) = 4 \) - Kökler Çarpımı (Ç):
Ç = \( (2 + i) \cdot (2 - i) \)
Karmaşık sayılarda eşlenik çarpımı: \( a^2 + b^2 \) kuralından;
Ç = \( 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 \) - Denklemi Kurma:
\( x^2 - Tx + Ç = 0 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-denklem-yazma/sorular