💡 10. Sınıf Matematik: Denklem ve eşitsizlikler Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz:

• Problemi adım adım analiz edelim: "Bir sayının 3 katı" ifadesini \( 3x \) olarak temsil edelim, burada \( x \) bilinmeyen sayıdır.
• "5 fazlası" demek, \( 3x \) ifadesine 5 eklemek demektir: \( 3x + 5 \).
• Bu ifadenin 23'e eşit olduğu söyleniyor: \( 3x + 5 = 23 \).
• Şimdi bu denklemi \( x \) için çözelim:
• Önce her iki taraftan 5 çıkaralım: \( 3x + 5 - 5 = 23 - 5 \), bu da \( 3x = 18 \) eder.
• Sonra her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{18}{3} \), bu da \( x = 6 \) eder.

Bulduğumuz sayı 6'dır. ✅

Bu problemi de denklem kurarak çözeceğiz:

• Ayşe'nin yaşına \( x \) diyelim.
• Annesinin yaşı Ayşe'nin yaşının 2 katı olduğundan, annesinin yaşı \( 2x \) olur.
• Annesi Ayşe'den 24 yaş büyük olduğuna göre, annesinin yaşı aynı zamanda \( x + 24 \) olarak da ifade edilebilir.
• Şimdi bu iki ifadeyi eşitleyerek bir denklem oluşturalım: \( 2x = x + 24 \).
• Denklemi \( x \) için çözelim:
• Her iki taraftan \( x \) çıkaralım: \( 2x - x = x + 24 - x \), bu da \( x = 24 \) eder.

Ayşe 24 yaşındadır. 💡

Bu problemde iki bilinmeyenli bir durum var gibi görünse de, birini diğerine bağlayarak tek bilinmeyenli denkleme indirgeyebiliriz:

• Armutların sayısına \( x \) diyelim.
• Elmaların sayısı, armutların sayısının 2 katından 5 eksik olduğundan, elmaların sayısı \( 2x - 5 \) olur.
• Sepette toplam 19 meyve olduğuna göre, elmaların sayısı ile armutların sayısının toplamı 19'dur: \( (2x - 5) + x = 19 \).
• Denklemi \( x \) için çözelim:
• Terimleri birleştirelim: \( 3x - 5 = 19 \).
• Her iki tarafa 5 ekleyelim: \( 3x - 5 + 5 = 19 + 5 \), bu da \( 3x = 24 \) eder.
• Her iki tarafı 3'e bölelim: \( \frac{3x}{3} = \frac{24}{3} \), bu da \( x = 8 \) eder.

Bu \( x \) değeri armutların sayısıdır. Bize elmaların sayısı soruluyor. Elmaların sayısı \( 2x - 5 \) idi.

• Elmaların sayısını hesaplayalım: \( 2 \times 8 - 5 = 16 - 5 = 11 \).

Sepette 11 elma vardır. ✅

Bu tür yüzdelik işlemler, adım adım çözülmelidir:

• Pantolonun ilk fiyatına \( P \) diyelim.
• Önce %20 indirim yapılıyor. İndirim miktarı \( P \times \frac{20}{100} = 0.20P \) olur.
• İndirimli fiyat: \( P - 0.20P = 0.80P \).
• Ardından indirimli fiyat üzerinden %10 ek zam yapılıyor. Zam miktarı \( (0.80P) \times \frac{10}{100} = 0.08P \) olur.
• Son fiyat: İndirimli fiyat + Zam miktarı = \( 0.80P + 0.08P = 0.88P \).
• Son fiyatın 144 TL olduğu verilmiş: \( 0.88P = 144 \).
• Şimdi \( P \) değerini bulalım:
• Her iki tarafı 0.88'e bölelim: \( P = \frac{144}{0.88} \).
• Bu işlemi yaparsak: \( P = 163.6363... \) TL.

Burada bir hata yapmış olabiliriz, çünkü genellikle bu tür sorularda tam sayılar beklenir. Soruyu tekrar kontrol edelim. Ah, soruda bir basım hatası olabilir veya tam tersi bir işlem sorulmuş olabilir. Eğer %10 zamdan sonra %20 indirim olsaydı veya tam tersi bir durum olsaydı sonuç değişebilirdi. Ancak verilen bilgilere göre işlem bu şekilde olmalı. Eğer soruda "ilk fiyatı üzerinden %20 indirim ve sonra %10 zam" şeklinde anladıysak, sonuç budur. Bir de diğer olasılığı düşünelim: Eğer ilk fiyat P ise, %20 indirimle 0.80P olur. Sonra bu fiyat üzerinden %10 zamla \( 0.80P \times 1.10 = 0.88P \) olur. Bu yine aynı sonucu verir. Sorunun tam tersi sorulduğunu varsayalım: Pantolonun ilk fiyatı \( P \) olsun. Önce %10 zam yapılıyor, yani \( 1.10P \). Sonra bu fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor, yani \( 1.10P \times 0.80 = 0.88P \). Yine aynı sonuç. Sorudaki 144 TL rakamı ile ilk fiyatın tam sayı olması için bir ilişki olmalı. Eğer pantolonun ilk fiyatı \( P \) ise, %20 indirimli fiyatı \( P \times (1 - \frac{20}{100}) = P \times 0.80 \) olur. Bu fiyat üzerinden %10 zam yapıldığında son fiyat \( (P \times 0.80) \times (1 + \frac{10}{100}) = (P \times 0.80) \times 1.10 = P \times 0.88 \) olur. Son fiyat 144 TL ise, \( P \times 0.88 = 144 \) olmalıdır. \( P = \frac{144}{0.88} = \frac{14400}{88} = \frac{1800}{11} \approx 163.64 \) TL. Bu sorunun orijinalinde rakamların farklı olması muhtemeldir. Ancak verilenlere göre çözüm budur. Eğer soruda "son fiyatı 144 TL olan bir ürün, önce %10 zam görmüş, sonra %20 indirim yapılmıştı" denseydi, o zaman şöyle olurdu: Son fiyat = İlk Fiyat (1.10) (0.80) = İlk Fiyat * 0.88 144 = İlk Fiyat * 0.88 İlk Fiyat = 144 / 0.88 = 163.64 TL. Sorunun mantığı bu şekilde. Rakamlar tam sayı çıkmıyor. Eğer soruda şöyle olsaydı: "Bir pantolonun fiyatı üzerinden önce %10 indirim yapılıyor, ardından indirimli fiyat üzerinden %20 ek zam yapılıyor. Pantolonun son fiyatı 132 TL olduğuna göre, pantolonun ilk fiyatı kaç TL idi?" İlk fiyat P olsun. %10 indirimli: \( P \times 0.90 \) %20 zamlı: \( (P \times 0.90) \times 1.20 = P \times 1.08 \) Son fiyat 132 TL ise: \( P \times 1.08 = 132 \) \( P = \frac{132}{1.08} = \frac{13200}{108} = \frac{1100}{9} \approx 122.22 \) TL. Sorunun orijinalinde rakamların tam sayı çıkması için şöyle bir durum olmalıydı: Eğer ilk fiyat 100 TL olsaydı, %20 indirimle 80 TL olurdu. Sonra %10 zamla \( 80 \times 1.10 = 88 \) TL olurdu. Yani ilk fiyat \( P \) ise, son fiyat \( 0.88P \) olur. Eğer son fiyat 176 TL olsaydı, \( 0.88P = 176 \implies P = \frac{176}{0.88} = 200 \) TL olurdu. Verilen 144 TL ile tam sayı çıkması için, \( 144 / 0.88 \) işleminin tam sayı olması gerekirdi. \( 144 / 0.88 = 14400 / 88 = 1800 / 11 \). Bu tam sayı değildir. Bu durumda, soruyu olduğu gibi kabul edip çözümü bu şekilde bırakıyoruz. Pantolonun ilk fiyatı \( P \) olsun. %20 indirim sonrası fiyatı: \( P \times (1 - \frac{20}{100}) = P \times 0.80 \) Bu fiyat üzerinden %10 zam sonrası fiyatı: \( (P \times 0.80) \times (1 + \frac{10}{100}) = (P \times 0.80) \times 1.10 = P \times 0.88 \) Son fiyat 144 TL olduğuna göre: \( P \times 0.88 = 144 \) \( P = \frac{144}{0.88} = \frac{14400}{88} = \frac{1800}{11} \) TL. Bu da yaklaşık 163.64 TL'dir. Eğer soruda bir hata yoksa, cevap budur. Genellikle bu tür sorularda ilk fiyatın 100 TL gibi bir değer üzerinden gidilerek son fiyatın hesaplanması ve sonra ters işlemle ilk fiyatın bulunması daha kolay olur. Eğer ilk fiyat 100 TL olsaydı: %20 indirimle: 80 TL %10 zamla: \( 80 \times 1.10 = 88 \) TL Yani 100 TL'lik ilk fiyat 88 TL'ye düşüyor. Şimdi ters orantı kuralım: 100 TL'lik ilk fiyat --> 88 TL son fiyat \( x \) TL'lik ilk fiyat --> 144 TL son fiyat \( x \times 88 = 100 \times 144 \) \( x = \frac{100 \times 144}{88} = \frac{14400}{88} = \frac{1800}{11} \) TL. Bu da yine yaklaşık 163.64 TL'dir. Sorunun orijinalinde rakamların tam sayı çıkması için 144 yerine 176 gibi bir sayı olmalıydı. 176 TL olsaydı: \( x = \frac{100 \times 176}{88} = 200 \) TL olurdu. Ancak verilenlere göre cevap budur.

Bu yeni nesil soru, oran ve yüzdeleri birleştirerek problem çözme becerisini ölçüyor.

• Çiftçinin başlangıçtaki toplam ürün miktarına \( T \) diyelim.
• Çiftçi ürünlerin %40'ını satıyor. Satılan ürün miktarı: \( 0.40T \).
• Çiftçinin elinde kalan ürün miktarı: \( T - 0.40T = 0.60T \).
• Soruda, elinde kalan ürün miktarının (0.60T), sattığı ürün miktarına (0.40T) oranının 3/2 olduğu belirtiliyor.
• Bu durumu bir denklemle ifade edelim: \( \frac{0.60T}{0.40T} = \frac{3}{2} \).
• Denklemdeki \( T \) terimleri sadeleşir (eğer \( T \neq 0 \) ise, ki bu mantıklıdır).
• \( \frac{0.60}{0.40} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
• Bu denklem bize verilen bilgilerin birbiriyle tutarlı olduğunu gösteriyor ancak başlangıçtaki toplam ürün miktarını doğrudan bulmamızı sağlamıyor.
• Soruyu tekrar dikkatli okuyalım: "elinde kalan ürün miktarının, sattığı ürün miktarına oranı 3/2 oluyor." Bu oran doğru.
• Burada bir eksiklik var gibi. Eğer "elinde kalan ürün miktarı 30 adet ve sattığı ürün miktarı 20 adet" olsaydı, toplam 50 adet olurdu. Oran da 30/20 = 3/2 olurdu.
• Soruda "başlangıçta kaç adet ürünü vardı?" diye soruluyor. Bu, \( T \) değerini bulmamızı gerektirir.
• Ancak verilen oranlar, toplam miktardan bağımsız olarak her zaman sağlanır.
• Bu tür sorularda genellikle bir ek bilgi verilir. Örneğin, "elinde kalan ürün sayısı X'tir" veya "satılan ürün sayısı Y'dir".
• Eğer soruda bir eksiklik yoksa, bu oran her zaman geçerli olacağı için başlangıç miktarını tek başına belirleyemeyiz.
• Ancak, eğer sorunun amacı "Bu oranlar verildiğinde, başlangıç miktarını nasıl bulabiliriz?" ise, o zaman bir varsayım yapmamız gerekir.
• Varsayım: Elinde kalan ürünlerin sayısı 3k, satılan ürünlerin sayısı 2k olsun. Bu durumda toplam ürün sayısı 5k olur.
• %40'ı satılmışsa: \( 0.40 \times (5k) = 2k \). Bu, satılan ürün miktarıdır.
• Kalan ürün miktarı: \( 5k - 2k = 3k \).
• Kalan ürün / Satılan ürün = \( \frac{3k}{2k} = \frac{3}{2} \). Bu oran tutuyor.
• Bu durumda, başlangıçtaki toplam ürün miktarı \( 5k \) olur.
• Soruda "kaç adet ürünü vardı?" diye sorulduğu için, \( k \) değerini bulmamız gerekir.
• Ancak \( k \) değerini bulmak için ek bir bilgiye ihtiyaç var.
• Eğer soru "Başlangıçtaki ürün miktarının yüzde kaçı satılmıştır?" diye sorulsaydı, cevap %40 olurdu.
• Eğer soru "Kalan ürünlerin satılan ürünlere oranı nedir?" diye sorulsaydı, cevap 3/2 olurdu.
• Sorunun bu haliyle, başlangıçtaki toplam ürün adedini tek bir sayı olarak bulmak mümkün değil.
• Ancak, eğer soru "Başlangıçta satılan ürün miktarı 2x, kalan ürün miktarı 3x ise, toplam ürün miktarı 5x'tir. Bu durumda başlangıçtaki ürün miktarı 5x'tir." şeklinde yorumlanırsa, cevap \( 5x \) olur.
• Büyük olasılıkla soruda bir eksiklik var veya "kaç adet" yerine "kaç katı" gibi bir ifade bekleniyordu.
• Eğer sorunun tam metni buysa ve tek bir sayı cevabı bekleniyorsa, bu soruda bir mantık hatası veya eksiklik var demektir.
• Ancak, eğer bu bir "yeni nesil" soru ise, bazen bu tür belirsizlikler üzerinden öğrencilerin düşünmesi hedeflenir.
• Bu durumda, en mantıklı yorum şudur:
• Satılan ürün miktarı \( S \), kalan ürün miktarı \( K \) olsun.
• \( \frac{K}{S} = \frac{3}{2} \)
• Toplam ürün \( T = K + S \).
• Ayrıca \( S = 0.40T \) ve \( K = 0.60T \).
• Bu oran her zaman sağlanır.
• Eğer soruda "elinde kalan ürün sayısı 30'dur" gibi bir ek bilgi olsaydı:
• \( K = 30 \)
• \( \frac{30}{S} = \frac{3}{2} \implies 3S = 60 \implies S = 20 \)
• \( T = K + S = 30 + 20 = 50 \)

Sorunun bu haliyle, tek bir sayısal cevap vermek mümkün değildir. Ancak, eğer soru "Başlangıçtaki ürün miktarı, satılan ürün miktarının kaç katıdır?" diye sorulsaydı, cevap \( \frac{T}{S} = \frac{1}{0.40} = 2.5 \) olurdu. Eğer soru "Başlangıçtaki ürün miktarı, kalan ürün miktarının kaç katıdır?" diye sorulsaydı, cevap \( \frac{T}{K} = \frac{1}{0.60} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \) olurdu. Sorunun orijinal metni bu şekilde ise, cevap "Başlangıçtaki ürün miktarı, satılan ürün miktarının 2.5 katıdır." veya "Başlangıçtaki ürün miktarı, kalan ürün miktarının 5/3 katıdır." şeklinde verilebilir. Ancak "kaç adet" sorusu için bu yeterli değil. Varsayımsal olarak, eğer soruda bir tam sayı cevabı bekleniyorsa, en küçük tam sayı değerlerini alabiliriz. Satılan: 2 birim, Kalan: 3 birim. Toplam: 5 birim. %40'ı satılmışsa: \( 0.40 \times 5 = 2 \). Bu tutuyor. Bu durumda başlangıçta 5 birim ürün vardı diyebiliriz. Ancak "adet" sorusu için bu birimler belirtilmemiş. Bu tür sorularda, genellikle en küçük tam sayı değerleri üzerinden gidilir. Satılan ürün miktarı \( 2x \), kalan ürün miktarı \( 3x \) ise, toplam ürün miktarı \( 5x \) olur. Soruda "kaç adet" dendiği için, \( x \) yerine bir sayı gelmesi gerekir. Eğer \( x=1 \) alırsak, satılan 2, kalan 3, toplam 5 olur. Eğer \( x=10 \) alırsak, satılan 20, kalan 30, toplam 50 olur. Bu durumda, soruda bir eksiklik var. En küçük tam sayı değerleriyle, başlangıçta 5 adet ürün vardı diyebiliriz, ancak bu bir varsayımdır. Eğer sorunun amacı, bu oranın her zaman geçerli olduğunu göstermekse, o zaman cevap "Bu oran her zaman geçerlidir, başlangıç miktarını tek başına belirlemek için ek bilgi gereklidir." olmalıdır. Ancak, eğer bir sayısal cevap bekleniyorsa, en küçük tam sayı değerlerinden yola çıkarak: Satılan: 2 birim, Kalan: 3 birim. Bu durumda toplam 5 birimdir. %40'ı satılmışsa, yani 2 birim satılmışsa, toplam 5 birim olmalıdır. \( \frac{2}{5} = 0.40 = %40 \). Bu oran tutuyor. Bu durumda, başlangıçta 5 birim ürün vardı. Ancak "adet" sorusu için bu birimler netleştirilmemiş. Eğer soruda "başlangıçta satılan ürün miktarı 20 adet ise" gibi bir ek bilgi olsaydı, cevap 50 adet olurdu. Bu haliyle, en küçük tam sayı değerleriyle 5 adet diyebiliriz. [SOLUTION] Bu soru, yüzdeler ve oranlar arasındaki ilişkiyi anlamayı gerektirir.

• Çiftçinin başlangıçtaki toplam ürün miktarına \( T \) diyelim.
• Çiftçi ürünlerin %40'ını satıyor. Bu durumda satılan ürün miktarı \( S = 0.40T \) olur.
• Çiftçinin elinde kalan ürün miktarı ise \( K = T - S = T - 0.40T = 0.60T \) olur.
• Soruda verilen bilgiye göre, elinde kalan ürün miktarının (K) sattığı ürün miktarına (S) oranı 3/2'dir.
• Yani, \( \frac{K}{S} = \frac{3}{2} \) denklemini kurabiliriz.
• Bu denklemde \( K \) ve \( S \) yerine \( T \) cinsinden ifadelerini yazalım:
• \( \frac{0.60T}{0.40T} = \frac{3}{2} \)
• \( T \) terimleri sadeleşir: \( \frac{0.60}{0.40} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \).
• Bu denklem, verilen yüzdelerin ve oranın birbiriyle tutarlı olduğunu gösterir. Ancak, \( T \) değerini tek başına bulmak için yeterli değildir.
• Bu tür sorularda, genellikle en küçük tam sayı değerlerini kullanarak bir oran kurmak en etkili yoldur.
• Eğer kalan ürünlerin sayısının sattığı ürünlerin sayısına oranı 3/2 ise, kalan ürünleri 3 birim, sattığı ürünleri ise 2 birim olarak düşünebiliriz.
• Bu durumda, toplam ürün miktarı = Kalan ürünler + Satılan ürünler = 3 birim + 2 birim = 5 birim olur.
• Şimdi bu durumu başlangıçtaki %40 satış bilgisiyle kontrol edelim:
• Toplam ürünün %40'ı satılmış olmalı.
• Eğer toplam ürün 5 birim ise, satılan ürün miktarı \( 5 \times \frac{40}{100} = 5 \times 0.40 = 2 \) birim olmalıdır.
• Bu, daha önce belirlediğimiz satılan ürün miktarı (2 birim) ile uyumludur.
• Bu durumda, başlangıçta toplam 5 birim ürün vardı diyebiliriz.
• Soruda "kaç adet" diye sorulduğu için, bu birimlerin somut bir adede karşılık gelmesi gerekir. Ancak soruda ek bir bilgi (örneğin, satılan ürün sayısı veya kalan ürün sayısı) verilmediği için, başlangıçtaki tam adedi belirleyemeyiz.
• Ancak, eğer sorunun amacı en küçük tam sayı değerleriyle bir oran bulmaksa, o zaman başlangıçta 5 adet ürün olduğunu varsayabiliriz.

Bu tür sorularda, eğer tam sayı bir cevap bekleniyorsa, genellikle en küçük tam sayı oranları üzerinden gidilir. Bu durumda, başlangıçta 5 adet ürün olduğu varsayılabilir. Ancak, matematiksel olarak, başlangıçtaki tam adedi belirlemek için ek bilgiye ihtiyaç vardır.

Bu bir ters orantı problemidir ve günlük hayatta sıkça karşımıza çıkar.

• İşçi sayısı ile işin bitme süresi arasında ters orantı vardır. Yani, işçi sayısı azaldıkça işin bitme süresi artar.
• Bu ilişkiyi bir denklemle ifade edebiliriz: İşçi Sayısı \( \times \) Süre = Sabit (Toplam İş Miktarı).
• Başlangıçtaki durumu ele alalım: 12 işçi, işi \( x \) sürede bitirsin.
• Toplam iş miktarı = \( 12 \times x \).
• Şimdi işçi sayısı 8'e düştüğünde, işin bitme süresini bulalım. Bu süreye \( y \) diyelim.
• Toplam iş miktarı yine aynı kalacaktır: \( 8 \times y \).
• Bu iki ifadeyi eşitleyerek bir denklem kurabiliriz:
• \( 12 \times x = 8 \times y \)
• Soruda, 12 işçiyle işin ne kadar sürede bittiği belirtilmemiş. Bu durumda, 12 işçiyle işin bitme süresini birim olarak alabiliriz. Örneğin, 12 işçi işi 1 birim sürede bitirsin.
• Eğer 12 işçi işi 1 birim sürede bitiriyorsa, toplam iş miktarı \( 12 \times 1 = 12 \) birim-iş olur.
• Şimdi 8 işçiyle bu işin ne kadar sürede biteceğini bulalım:
• \( 8 \times y = 12 \)
• \( y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \) birim-iş.

Yani, işçi sayısı 12'den 8'e düştüğünde, işin bitme süresi 1 birimden 1.5 birime çıkar. Bu da sürenin %50 arttığı anlamına gelir. Eğer soruda 12 işçiyle işin 30 günde bittiği belirtilseydi:

• Toplam iş = \( 12 \text{ işçi} \times 30 \text{ gün} = 360 \text{ işçi-gün} \).
• 8 işçiyle bitme süresi \( y \) gün olsun:
• \( 8 \times y = 360 \)
• \( y = \frac{360}{8} = 45 \) gün.

Bu durumda, işçi sayısı azaldığında işin bitme süresi artar. [SOLUTION] Bu, ters orantı prensibine dayanan bir problemdir. İşçi sayısı ile işin tamamlanma süresi arasında ters orantı vardır.

• Başlangıçta 12 işçi var ve işin bitme süresi \( t_1 \) olsun.
• Son durumda 8 işçi var ve işin bitme süresi \( t_2 \) olsun.
• Ters orantı gereği: İşçi Sayısı \( \times \) Süre = Sabit
• Yani, \( 12 \times t_1 = 8 \times t_2 \)
• Soruda 12 işçiyle işin ne kadar sürede bittiği belirtilmemiş. Bu durumda, \( t_1 \) yerine bir referans değeri kullanabiliriz. Örneğin, 12 işçi işi 1 birim sürede bitirsin.
• Bu durumda, \( t_1 = 1 \) birim.
• Denklemimiz şöyle olur: \( 12 \times 1 = 8 \times t_2 \)
• \( 12 = 8 \times t_2 \)
• \( t_2 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5 \) birim.

Bu, işçi sayısı 12'den 8'e düştüğünde, işin bitme süresinin 1 birimden 1.5 birime çıkacağı anlamına gelir. Yani, işin bitme süresi %50 artar. Eğer 12 işçi işi 6 günde bitiriyorsa:

• Toplam iş = \( 12 \text{ işçi} \times 6 \text{ gün} = 72 \text{ işçi-gün} \).
• 8 işçiyle bitme süresi \( t_2 \) gün olsun:
• \( 8 \times t_2 = 72 \)
• \( t_2 = \frac{72}{8} = 9 \) gün.

Bu durumda, işin süresi 6 günden 9 güne çıkar. ✅

Bu problem, basit bir lineer denklem kurularak çözülebilir.

• Bilinmeyen sayımıza \( x \) diyelim.
• "Bir sayının 2 katı" ifadesi \( 2x \) olarak yazılır.
• "Aynı sayının 3 katı" ifadesi \( 3x \) olarak yazılır.
• Bu iki ifadenin toplamı 35'e eşittir: \( 2x + 3x = 35 \).
• Denklemi \( x \) için çözelim:
• Terimleri birleştirelim: \( 5x = 35 \).
• Her iki tarafı 5'e bölelim: \( \frac{5x}{5} = \frac{35}{5} \).
• Bu da \( x = 7 \) eder.

Aradığımız sayı 7'dir. ✅

Bu problemde iki farklı ürünün miktarı arasındaki ilişkiyi ve toplam miktarı kullanarak denklem kuracağız.

• Depodaki pirinç miktarına \( p \) diyelim.
• Un miktarı, pirinç miktarının 3 katından 10 kg fazla olduğuna göre, un miktarı \( 3p + 10 \) olur.
• Depoda toplam 150 kg un ve pirinç olduğuna göre, bu iki miktarın toplamı 150 kg'dır:
• \( p + (3p + 10) = 150 \)
• Şimdi bu denklemi \( p \) için çözelim:
• Terimleri birleştirelim: \( 4p + 10 = 150 \).
• Her iki taraftan 10 çıkaralım: \( 4p + 10 - 10 = 150 - 10 \), bu da \( 4p = 140 \) eder.
• Her iki tarafı 4'e bölelim: \( \frac{4p}{4} = \frac{140}{4} \), bu da \( p = 35 \) eder.

Depoda 35 kg pirinç vardır. 💡

Bu tür problemler, oranları ve denklem kurma becerisini bir arada kullanmayı gerektirir.

• Başlangıçta sınıftaki kız öğrencilerin sayısına \( 2k \), erkek öğrencilerin sayısına \( 3k \) diyelim. (Oran 2/3 olduğu için bu şekilde temsil etmek denklemleri kolaylaştırır.)
• Burada \( k \) bir orantı sabitidir.
• Eğer sınıfa 5 kız öğrenci daha gelirse, kız öğrencilerin sayısı \( 2k + 5 \) olur.
• Erkek öğrencilerin sayısı değişmez, yani \( 3k \) kalır.
• Yeni durumda kızların sayısının erkeklerin sayısına oranı 1/1 (yani eşit) oluyor.
• Bu durumu bir denklemle ifade edelim:
• \( \frac{2k + 5}{3k} = \frac{1}{1} \)
• Denklemi çözelim:
• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \times (2k + 5) = 1 \times 3k \)
• \( 2k + 5 = 3k \)
• Her iki taraftan \( 2k \) çıkaralım: \( 5 = 3k - 2k \)
• \( 5 = k \)

Bizden başlangıçtaki erkek öğrenci sayısı soruluyor. Başlangıçtaki erkek öğrenci sayısı \( 3k \) idi.

• Erkek öğrenci sayısı = \( 3 \times k = 3 \times 5 = 15 \) öğrenci.

Başlangıçta sınıfta 15 erkek öğrenci vardı. ✅