💡 10. Sınıf Matematik: Denklem ve eşitsizlik çözümleri Çözümlü Örnekler

Denklemi çözmek için şu adımları takip edelim:

• 1. Adım: Denklemi \( x^2 + bx + c = 0 \) formunda incelediğimizde, çarpımları \( 12 \), toplamları ise \( -7 \) olan iki sayı bulmalıyız.
• 2. Adım: Bu sayılar \( -3 \) ve \( -4 \) sayılarıdır. Çünkü:
  \( (-3) \times (-4) = 12 \)
  \( (-3) + (-4) = -7 \)
• 3. Adım: Denklemi çarpanlarına ayrılmış şekilde yazalım:
  \( (x - 3) \times (x - 4) = 0 \)
• 4. Adım: Her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım:
  \( x - 3 = 0 \) ise \( x = 3 \)
  \( x - 4 = 0 \) ise \( x = 4 \)

✅ Çözüm Kümesi: \( \{3, 4\} \)

İkinci dereceden bir denklemde köklerin durumunu belirlemek için \( \Delta = b^2 - 4ac \) formülünü kullanırız.

• 1. Adım: Katsayıları belirleyelim:
  \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = 9 \)
• 2. Adım: Diskriminantı hesaplayalım:
  \[ \Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 \]
  \[ \Delta = 36 - 36 = 0 \]
• 3. Adım: Sonucu yorumlayalım:
  💡 Eğer \( \Delta = 0 \) ise, denklemin birbirine eşit (çakışık) iki gerçek kökü vardır.
• 4. Adım: Kökü bulalım:
  \( x = \frac{-b}{2a} \) formülünden;
  \( x = \frac{-(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

✅ Sonuç: Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır ve bu kök \( 3 \)'tür.

Bu denklem tam sayılarla kolayca çarpanlarına ayrılmadığı için genel kök formülünü kullanalım:

• 1. Adım: Katsayılar: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 2 \)
• 2. Adım: Diskriminantı bulalım:
  \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 2 = 16 - 8 = 8 \]
• 3. Adım: Kök formülünü uygulayalım:
  \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
• 4. Adım: Değerleri yerine koyalım:
  \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} \]
  \( \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \) olduğu için:
  \[ x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} \]

✅ Çözüm Kümesi: \( \{2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}\} \)

Bu tür sorularda değişken değiştirme yöntemini kullanmak işimizi kolaylaştırır.

• 1. Adım: \( x^2 - 2x = t \) dönüşümü yapalım. Bu durumda denklem şuna dönüşür:
  \[ t^2 - 11t + 24 = 0 \]
• 2. Adım: Yeni denklemi çarpanlarına ayıralım:
  \( (t - 8) \times (t - 3) = 0 \)
  Buradan \( t = 8 \) ve \( t = 3 \) bulunur.
• 3. Adım: Şimdi \( t \) yerine yazdığımız ifadeyi geri getirelim:
  Durum 1: \( x^2 - 2x = 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \)
  \( (x - 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4, x = -2 \)
  Durum 2: \( x^2 - 2x = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \)
  \( (x - 3)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3, x = -1 \)

✅ Çözüm Kümesi: \( \{-2, -1, 3, 4\} \)

Problemi matematiksel bir denkleme dökelim:

• 1. Adım: Odanın enine \( x \) diyelim. Bu durumda boyu \( x + 3 \) olur.
• 2. Adım: Dikdörtgenin alanı, eni ile boyunun çarpımıdır:
  \[ x \times (x + 3) = 40 \]
• 3. Adım: Denklemi düzenleyelim:
  \[ x^2 + 3x - 40 = 0 \]
• 4. Adım: Çarpanlara ayıralım:
  \( (x + 8) \times (x - 5) = 0 \)
• 5. Adım: Kökleri bulalım:
  \( x = -8 \) veya \( x = 5 \)
• 6. Adım: Uzunluk negatif olamayacağı için \( x = 5 \) değerini alırız.

👉 Sonuç: Odanın eni \( 5 \) metre, boyu ise \( 5 + 3 = 8 \) metredir.

Kök ve katsayı bağıntılarını hatırlayalım:

• 1. Adım: Kökler toplamı formülü: \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \)
  Bu denklem için: \( x_1 + x_2 = \frac{-(-8)}{1} = 8 \)
• 2. Adım: Bize verilen bilgiyi ve toplamı taraf tarafa toplayalım:
  \( x_1 + x_2 = 8 \)
  \( x_1 - x_2 = 2 \)
  -----------------
  \( 2x_1 = 10 \Rightarrow x_1 = 5 \)
• 3. Adım: Herhangi bir denklemde yerine yazarak diğer kökü bulalım:
  \( 5 + x_2 = 8 \Rightarrow x_2 = 3 \)
• 4. Adım: Kökler çarpımı formülü: \( x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \)
  \( 5 \times 3 = \frac{m}{1} \Rightarrow m = 15 \)

✅ Cevap: \( m = 15 \)

Adım adım ilerleyerek denklemi kuralım:

• 1. Adım: Başlangıçtaki büyük karenin alanı: \( x^2 \) birimkaredir.
• 2. Adım: Köşelerden kesilen bir küçük karenin alanı: \( 1 \times 1 = 1 \) birimkaredir.
• 3. Adım: 4 tane köşe kesildiği için toplam eksilen alan: \( 4 \times 1 = 4 \) birimkaredir.
• 4. Adım: Kalan alanın denklemi:
  \[ x^2 - 4 = 21 \]
• 5. Adım: Denklemi çözelim:
  \[ x^2 = 25 \]
  Buradan \( x = 5 \) veya \( x = -5 \) bulunur.
• 6. Adım: Kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x = 5 \) birimdir.

✅ Cevap: Başlangıçtaki kağıdın bir kenarı \( 5 \) birimdir.

Gerçek sayılar kümesinde karesi negatif olan bir sayı yoktur, ancak karmaşık sayılar kümesinde \( i^2 = -1 \) tanımını kullanırız.

• 1. Adım: Denklemi düzenleyelim:
  \[ x^2 = -16 \]
• 2. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım:
  \[ x = \pm \sqrt{-16} \]
• 3. Adım: Karekök içindeki negatif ifadeyi \( i \) cinsinden yazalım:
  \[ \sqrt{-16} = \sqrt{16 \times (-1)} = \sqrt{16} \times \sqrt{-1} = 4i \]
• 4. Adım: Kökleri yazalım:
  \( x_1 = 4i \)
  \( x_2 = -4i \)

✅ Çözüm Kümesi: \( \{-4i, 4i\} \)