🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Deltoid Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Deltoid Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir deltoidin köşegenleri dik kesişir. Bu köşegenlerden biri 10 cm, diğeri ise 8 cm uzunluğundadır. Bu deltoidin alanı kaç santimetrekaredir? 📐
Çözüm:
Deltoidin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.
- Köşegen uzunlukları: \( d_1 = 10 \) cm ve \( d_2 = 8 \) cm
- Deltoidin alanı formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( A = \frac{10 \times 8}{2} \)
- Hesaplama: \( A = \frac{80}{2} \)
- Sonuç: \( A = 40 \) cm²
Örnek 2:
Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm, 7 cm ve 7 cm olan bir deltoidin çevresi kaç santimetredir? 📏
Çözüm:
Deltoidin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Deltoidde karşılıklı olmayan ikişer kenar birbirine eşittir.
- Kenar uzunlukları: 5 cm, 5 cm, 7 cm, 7 cm
- Çevre formülü: \( Ç = a + a + b + b = 2a + 2b \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( Ç = 2 \times 5 + 2 \times 7 \)
- Hesaplama: \( Ç = 10 + 14 \)
- Sonuç: \( Ç = 24 \) cm
Örnek 3:
Bir deltoidin uzun köşegeni 12 cm'dir. Kısa köşegenin uzunluğu, uzun köşegenin uzunluğunun yarısı kadardır. Bu deltoidin alanı kaç santimetrekaredir? 🤔
Çözüm:
Öncelikle kısa köşegenin uzunluğunu bulmalıyız.
- Uzun köşegen: \( d_1 = 12 \) cm
- Kısa köşegen: \( d_2 = \frac{d_1}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) cm
- Deltoidin alanı formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( A = \frac{12 \times 6}{2} \)
- Hesaplama: \( A = \frac{72}{2} \)
- Sonuç: \( A = 36 \) cm²
Örnek 4:
Bir deltoidin köşegenleri E ve F noktalarında kesişmektedir. Köşegenlerden biri 15 cm, diğeri ise 10 cm uzunluğundadır. Deltoidin alanı kaç santimetrekaredir? 💡
Çözüm:
Deltoidin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısıdır.
- Köşegen uzunlukları: \( d_1 = 15 \) cm ve \( d_2 = 10 \) cm
- Alan formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( A = \frac{15 \times 10}{2} \)
- Hesaplama: \( A = \frac{150}{2} \)
- Sonuç: \( A = 75 \) cm²
Örnek 5:
Kenar uzunlukları 5 cm, 5 cm, \( \sqrt{41} \) cm ve \( \sqrt{41} \) cm olan bir deltoidin uzun köşegeninin uzunluğu 8 cm'dir. Bu deltoidin kısa köşegeninin uzunluğu kaç santimetredir? 🧐
Çözüm:
Deltoidin alanı, köşegen uzunluklarının çarpımının yarısıdır. Ayrıca, köşegenler dik kesiştiği için bu kesişim noktası, köşegenleri parçalara ayırır ve Pisagor teoremi kullanılabilir.
- Kenar uzunlukları: 5 cm, 5 cm, \( \sqrt{41} \) cm, \( \sqrt{41} \) cm
- Uzun köşegen: \( d_1 = 8 \) cm
- Kısa köşegen: \( d_2 = ? \)
- Deltoidin alanı formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Uzun köşegen 8 cm ise, iki parçaya ayrılır: 4 cm ve 4 cm.
- Kısa köşegen \( d_2 \) iki parçaya ayrılır: \( x \) ve \( y \), yani \( d_2 = x + y \).
- Pisagor teoremi ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kuralım:
- \( 4^2 + x^2 = 5^2 \Rightarrow 16 + x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \) cm
- \( 4^2 + y^2 = (\sqrt{41})^2 \Rightarrow 16 + y^2 = 41 \Rightarrow y^2 = 25 \Rightarrow y = 5 \) cm
- Kısa köşegenin uzunluğu: \( d_2 = x + y = 3 + 5 = 8 \) cm
- Alanı hesaplayalım: \( A = \frac{8 \times 8}{2} = \frac{64}{2} = 32 \) cm²
Örnek 6:
Bir deltoidin köşegenleri dik kesişmektedir. Uzun köşegenin uzunluğu 10 cm ve kısa köşegenin uzunluğu 6 cm'dir. Bu deltoidin çevresi \( 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) cm'dir. Bu deltoidin alanını, çevresini ve kenar uzunluklarını bulunuz. 🧮
Çözüm:
Deltoidin alanını ve kenar uzunluklarını bulmak için verilen bilgileri kullanacağız.
- Köşegen uzunlukları: \( d_1 = 10 \) cm ve \( d_2 = 6 \) cm
- Alan formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Alanı hesaplayalım: \( A = \frac{10 \times 6}{2} = \frac{60}{2} = 30 \) cm²
- Köşegenler dik kesiştiği için, kesişim noktası köşegenleri parçalara ayırır.
- Uzun köşegen 10 cm ise, iki parçaya ayrılır: 5 cm ve 5 cm.
- Kısa köşegen 6 cm ise, iki parçaya ayrılır: \( x \) ve \( y \), yani \( x + y = 6 \).
- Kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olsun.
- Pisagor teoremi ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kuralım:
- \( 5^2 + x^2 = a^2 \)
- \( 5^2 + y^2 = b^2 \)
- Verilen çevre bilgisi: \( Ç = 2a + 2b = 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \). Bu ifadeyi sadeleştirelim: \( 2a + 2b = 4\sqrt{13} \).
- Buradan \( a + b = 2\sqrt{13} \) elde ederiz.
- Deltoidin özelliklerinden biri, köşegenlerin kesiştiği noktadan çıkan dikmelerin kenarları eş parçalara ayırmasıdır. Ancak bu deltoid için bu durum geçerli değildir. Deltoidde iki çift eş kenar vardır.
- Köşegenlerin kesişim noktasını O noktası olarak alırsak, uzun köşegenin bir yarısı 5 cm, kısa köşegenin bir yarısı \( x \) ve diğer yarısı \( y \) olur.
- Kenar uzunlukları: \( a = \sqrt{5^2 + x^2} \) ve \( b = \sqrt{5^2 + y^2} \).
- Eğer deltoid simetrik ise, kısa köşegenin parçaları eşit olmalıdır, yani \( x = y = 3 \) cm. Bu durumda kenarlar \( a = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \) olur. Ancak bu \( 2\sqrt{13} \) ile uyuşmuyor.
- Soruda verilen çevre bilgisi \( 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) ifadesi, iki farklı kenar uzunluğunun ikişer kez toplandığını gösterir. Yani \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olamaz, çünkü bu bir kare olur.
- Sorudaki çevre bilgisi \( 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) cm yerine, örneğin \( 2a + 2b = 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) şeklinde olmalıydı. Eğer kenarlar \( a \) ve \( b \) ise, çevre \( 2a + 2b \) olur.
- Varsayalım ki kenarlar \( a \) ve \( b \) olsun, \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olamaz.
- Sorudaki çevre bilgisini \( 2a + 2b = 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) olarak alırsak, bu \( 2(a+b) = 4\sqrt{13} \) yani \( a+b = 2\sqrt{13} \) anlamına gelir.
- Eğer köşegenler 5 cm ve \( x \) ile 5 cm ve \( y \) olarak ayrılırsa, \( a = \sqrt{25+x^2} \) ve \( b = \sqrt{25+y^2} \).
- Bu durumda \( \sqrt{25+x^2} + \sqrt{25+y^2} = 2\sqrt{13} \).
- Eğer \( x=2 \) ve \( y=4 \) olursa, \( a = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \) ve \( b = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} \). Bu da \( \sqrt{29} + \sqrt{41} \neq 2\sqrt{13} \).
- Soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Ancak, eğer kenarlar \( a \) ve \( b \) ise ve \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olsaydı, bu bir kare olurdu ve köşegenler eşit olurdu.
- Soruyu şu şekilde düzelterek devam edelim: Kenar uzunlukları \( a \) ve \( b \) olsun, \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olamaz.
- Varsayalım ki kenarlar \( a \) ve \( b \) olsun ve \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olamaz.
- Eğer köşegenler 5 ve \( x \), 5 ve \( y \) olarak ayrılırsa, \( a = \sqrt{25+x^2} \) ve \( b = \sqrt{25+y^2} \).
- Eğer \( x=2 \) ve \( y=4 \) olursa, \( a = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \) ve \( b = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} \).
- Sorudaki çevre bilgisi \( 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) ifadesi iki adet \( \sqrt{13} \) kenar uzunluğunun ikişer kez toplandığını gösterir.
- Eğer kenarlar \( a \) ve \( b \) ise, çevre \( 2a + 2b \) olur.
- Eğer \( a = \sqrt{13} \) ve \( b = \sqrt{13} \) olsaydı, bu bir kare olurdu.
- Sorudaki çevre bilgisini \( 2a + 2b = 2\sqrt{13} + 2\sqrt{13} \) olarak alırsak, \( 2(a+b) = 4\sqrt{13} \), yani \( a+b = 2\sqrt{13} \).
- Eğer \( x=2 \) ve \( y=4 \) olursa, \( a = \sqrt{25+4} = \sqrt{29} \) ve \( b = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} \).
- Bu soruda çevre bilgisiyle kenar uzunlukları arasında bir tutarsızlık bulunmaktadır. Ancak, alan ve köşegen uzunlukları net bir şekilde hesaplanabilir.
- Alan: \( A = 30 \) cm²
- Köşegenler: \( d_1 = 10 \) cm, \( d_2 = 6 \) cm
- Kenar Uzunlukları: Soruda verilen çevre bilgisiyle tutarlı kenar uzunlukları hesaplanamamaktadır.
Örnek 7:
Bir mimar, bir parkın zeminini deltoid şeklinde tasarlamıştır. Bu deltoidin köşegenlerinin uzunlukları 12 metre ve 16 metredir. Parkın zeminini kaplamak için kaç metrekarelik çim gereklidir? 🌳
Çözüm:
Parkın zemini deltoid şeklinde olduğu için, gereken çim miktarı deltoidin alanına eşittir.
- Deltoidin köşegen uzunlukları: \( d_1 = 12 \) m ve \( d_2 = 16 \) m
- Deltoidin alanı formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( A = \frac{12 \times 16}{2} \)
- Hesaplama: \( A = \frac{192}{2} \)
- Sonuç: \( A = 96 \) m²
Örnek 8:
Bir uçurtma üreticisi, yeni bir uçurtma modeli tasarlıyor. Uçurtmanın iskeleti, iki farklı uzunlukta çubuk kullanılarak deltoid şeklinde oluşturuluyor. Bu çubukların uzunlukları 70 cm ve 50 cm'dir. Üreticinin bu uçurtma için kullanacağı kumaşın alanı kaç santimetrekaredir? 🪁
Çözüm:
Uçurtmanın kumaş alanı, deltoid şeklindeki iskeletinin alanına eşittir.
- Deltoid şeklindeki iskeletin köşegen uzunlukları: \( d_1 = 70 \) cm ve \( d_2 = 50 \) cm
- Deltoidin alanı formülü: \( A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \)
- Değerleri formülde yerine koyalım: \( A = \frac{70 \times 50}{2} \)
- Hesaplama: \( A = \frac{3500}{2} \)
- Sonuç: \( A = 1750 \) cm²
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-deltoid/sorular