Dar açıların trigonometri oranları Ders Notu

Bir dik üçgende, bir dar açının kenar uzunlukları arasındaki oranlara trigonometrik oranlar denir. 10. sınıf matematik müfredatında dik üçgen üzerindeki dar açıların sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerleri temel kavramlar arasında yer alır.

📐 1. Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir \( ABC \) dik üçgeninde, \( C \) açısının ölçüsü \( 90^\circ \) olsun. \( A \) dar açısına göre trigonometrik oranlar şu şekilde tanımlanır:

• Sinüs (\(\sin A\)): Karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \[ \sin A = \frac{a}{c} \]
• Kosinüs (\(\cos A\)): Komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. \[ \cos A = \frac{b}{c} \]
• Tanjant (\(\tan A\)): Karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır. \[ \tan A = \frac{a}{b} \]
• Kotanjant (\(\cot A\)): Komşu dik kenar uzunluğunun karşı dik kenar uzunluğuna oranıdır. \[ \cot A = \frac{b}{a} \]

💡 Önemli Not: Tanjant ve kotanjant oranları birbirinin çarpmaya göre tersidir. Yanlışsız bir şekilde \[ \tan A \times \cot A = 1 \] eşitliği sağlanır.

🔗 2. Tümler Açıların Trigonometrik Oranları

Ölçüleri toplamı \( 90^\circ \) olan iki açıya tümler açılar denir. Birbirini \( 90^\circ \)'ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjanti ise diğerinin kotanjantına eşittir.

Eğer \( x + y = 90^\circ \) ise:

• \( \sin x = \cos y \)
• \( \cos x = \sin y \)
• \( \tan x = \cot y \)
• \( \cot x = \tan y \)

⭐ 3. Özel Açıların Trigonometrik Oranları (\( 30^\circ \), \( 45^\circ \), \( 60^\circ \))

Sıkça karşılaşılan özel açıların değerleri aşağıdaki tabloda özetlenmiştir:

Açı (\( x \))	\( 30^\circ \)	\( 45^\circ \)	\( 60^\circ \)
\(\sin x\)	\( \frac{1}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\cos x\)	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)
\(\tan x\)	\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)	\( 1 \)	\( \sqrt{3} \)
\(\cot x\)	\( \sqrt{3} \)	\( 1 \)	\( \frac{\sqrt{3}}{3} \)

✏️ 4. Çözümlü Örnek Sorular

Örnek 1

Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( B \) açısının ölçüsü \( 90^\circ \)'dir. Dik kenar uzunlukları \( |AB| = 5 \text{ cm} \) ve \( |BC| = 12 \text{ cm} \)'dir. Buna göre, \( C \) dar açısının sinüs ve kosinüs değerlerini bulunuz.

Çözüm:

Öncelikle Pisagor bağıntısı ile hipotenüs uzunluğunu hesaplayalım:

\[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \] \[ |AC|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ |AC| = 13 \text{ cm} \]

\( C \) açısına göre karşı kenar \( 5 \text{ cm} \), komşu kenar \( 12 \text{ cm} \) ve hipotenüs \( 13 \text{ cm} \)'dir.

• \( \sin C = \frac{5}{13} \)
• \( \cos C = \frac{12}{13} \)

Örnek 2

İfadenin değerini hesaplayınız: \[ \frac{\sin 30^\circ + \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ} \]

Çözüm:

Tablo değerlerini yerine yazalım:

• \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \)
• \( \tan 45^\circ = 1 \)

İfadeyi oluşturalım:

\[ \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{1} = 1 \]