💡 10. Sınıf Matematik: Çokgenler Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için dışbükey bir çokgenin bir iç açısı ile bir dış açısının toplamının \(180^\circ\) olduğunu hatırlayalım.

• Verilen iç açı: \(144^\circ\)
• Bir iç açı + Bir dış açı = \(180^\circ\)
• \(144^\circ\) + Bir dış açı = \(180^\circ\)
• Bir dış açı = \(180^\circ - 144^\circ = 36^\circ\)

Bir dışbükey çokgenin tüm dış açılarının toplamı her zaman \(360^\circ\)dır.

• Çokgenin kenar sayısı \(n\) olsun.
• Her bir dış açı eşit olduğundan, \(n \times (\text{bir dış açı}) = 360^\circ\)
• \(n \times 36^\circ = 360^\circ\)
• \(n = \frac{360^\circ}{36^\circ}\)
• \(n = 10\)

Sonuç olarak, bu çokgen 10 kenarlıdır. ✅

Düzgün bir altıgenin bir iç açısını bulmak için öncelikle formülü hatırlayalım.

• Bir düzgün \(n\)-genin bir iç açısının ölçüsü formülü: \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\)
• Altıgen için \(n=6\)
• İç açı = \(\frac{(6-2) \times 180^\circ}{6}\)
• İç açı = \(\frac{4 \times 180^\circ}{6}\)
• İç açı = \(\frac{720^\circ}{6}\)
• İç açı = \(120^\circ\)

Düzgün bir altıgenin bir iç açısı \(120^\circ\)dir. 💡

Çokgenlerin iç açılarının toplamını hesaplamak için bir formül kullanırız.

• Bir dışbükey \(n\)-genin iç açılarının toplamı formülü: \((n-2) \times 180^\circ\)
• Sekizgen için \(n=8\)
• İç açılar toplamı = \((8-2) \times 180^\circ\)
• İç açılar toplamı = \(6 \times 180^\circ\)
• İç açılar toplamı = \(1080^\circ\)

Bir dışbükey sekizgenin iç açılarının toplamı \(1080^\circ\)dir. 💯

Düzgün çokgenlerin dış açıları birbirine eşittir ve toplamları \(360^\circ\)dır.

• Düzgün \(n\)-genin bir dış açısının ölçüsü formülü: \(\frac{360^\circ}{n}\)
• Onikigen için \(n=12\)
• Dış açı = \(\frac{360^\circ}{12}\)
• Dış açı = \(30^\circ\)

Bir düzgün onikigenin bir dış açısı \(30^\circ\)dir. 👍

Bu problem, bir düzgün çokgenin dış açıları ile ilişkilidir.

• Oyun alanı kare şeklinde olduğu için \(n=4\) kenarlıdır.
• Kare şeklindeki bir alana yerleştirilecek bayraklar, sanki bir düzgün dörtgenin köşeleriymiş gibi düşünülebilir.
• En fazla bayrak yerleştirmek, bayrakların oluşturduğu açının en küçük olması anlamına gelir.
• Soruda verilen "bayraklar arasında oluşan açının en az \(10^\circ\) olması" durumu, aslında düzgün çokgenin dış açısı ile ilgilidir.
• Eğer bayraklar düzgün bir şekilde yerleştirilirse, her bir bayrak arasındaki açı, çokgenin dış açısına benzer bir mantıkla hesaplanır.
• Bir düzgün \(n\)-genin dış açısı \(\frac{360^\circ}{n}\) olduğundan, burada \(n\) bayrak sayısıdır.
• Bizim istediğimiz, \(\frac{360^\circ}{n} \ge 10^\circ\) olmasıdır.
• Bu eşitsizliği çözersek: \(360^\circ \ge 10^\circ \times n\)
• \(n \le \frac{360^\circ}{10^\circ}\)
• \(n \le 36\)

Yani, en fazla 36 bayrak yerleştirilebilir. Ancak bu bir kare alan olduğu için, bayrakların alanın kenarlarına eşit uzaklıkta olması ve bir düzgün çokgen mantığıyla yerleştirilmesi gerekliliği, sorunun bu şekilde yorumlanmasını sağlar. En fazla 36 bayrak yerleştirilebilir. 🏆

Mimarın pencere panellerinin iç açısını hesaplaması için düzgün çokgen formülünü kullanması gerekir.

• Panel düzgün bir ongen olduğuna göre, \(n=10\)
• Düzgün bir \(n\)-genin bir iç açısının ölçüsü formülü: \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\)
• İç açı = \(\frac{(10-2) \times 180^\circ}{10}\)
• İç açı = \(\frac{8 \times 180^\circ}{10}\)
• İç açı = \(\frac{1440^\circ}{10}\)
• İç açı = \(144^\circ\)

Bu pencere panellerinin her bir köşesindeki iç açı \(144^\circ\) olmalıdır. 📐

Bu soruda, çokgenin kenar sayısının en az kaç olabileceğini bulmak için dış açıları kullanacağız.

• Verilen iç açılar: \(120^\circ\), \(130^\circ\), \(140^\circ\)
• Bu iç açılara karşılık gelen dış açılar:
• \(180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\)
• \(180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\)
• \(180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\)

Bir dışbükey çokgenin tüm dış açılarının toplamı \(360^\circ\)dır.
Bu üç dış açının toplamı \(60^\circ + 50^\circ + 40^\circ = 150^\circ\)dır.
Geriye kalan dış açılarının toplamı \(360^\circ - 150^\circ = 210^\circ\) olmalıdır.
Çokgenin kenar sayısının en az olması için, kalan dış açılarının her birinin mümkün olan en büyük değerde olması gerekir. Bir dışbükey çokgenin bir dış açısı en fazla \(180^\circ\) olabilir (ancak bu durum iç açının \(0^\circ\) olması anlamına gelir ki bu mümkün değildir). Pratikte, bir dış açının \(180^\circ\)den küçük olması gerekir.
Eğer çokgenin kenar sayısı \(n\) ise, bu \(n\) kenarın \(3\) tanesi verilmiş demektir. Geriye \(n-3\) kenar kalır.
Bu \(n-3\) kenarın dış açıları toplamı \(210^\circ\) olmalıdır.
Bu \(n-3\) dış açının her biri en fazla \(180^\circ\) olacağından, \( (n-3) \times 180^\circ \ge 210^\circ \) olmalıdır.
Ancak, biz kenar sayısını en az tutmak istiyoruz. Bu durumda, kalan dış açıların mümkün olduğunca büyük olması gerekir. En büyük dış açı \(180^\circ\)den küçük olmalıdır. En küçük kenar sayısı için, kalan dış açıların mümkün olduğunca az sayıda ve büyük değerlerde olması gerekir.
Eğer kalan dış açılar \(180^\circ\)den küçük ve pozitif ise, en az sayıda kenar için bu \(210^\circ\)yı oluşturmalıyız.
Eğer bir dış açı \(180^\circ\) olsaydı, bu \(n-3\) kenar için \(210^\circ\)yı tamamlamak için tek bir açı yeterli olurdu. Ancak dış açı \(180^\circ\) olamaz.
Eğer kalan dış açılar \(100^\circ\) ve \(110^\circ\) olursa, toplamları \(210^\circ\) olur. Bu durumda 2 kenar daha eklenir. Toplam kenar sayısı \(3 + 2 = 5\) olur.
Eğer kalan dış açılar \(105^\circ\) ve \(105^\circ\) olursa, toplamları \(210^\circ\) olur. Bu durumda 2 kenar daha eklenir. Toplam kenar sayısı \(3 + 2 = 5\) olur.
Eğer kalan dış açılar \(70^\circ\), \(70^\circ\), \(70^\circ\) olursa, toplamları \(210^\circ\) olur. Bu durumda 3 kenar daha eklenir. Toplam kenar sayısı \(3 + 3 = 6\) olur.
En az kenar sayısı için, kalan dış açıların mümkün olan en büyük değerlerde olması gerekir. En fazla 2 dış açı ile \(210^\circ\) elde edilebilir (örneğin \(105^\circ\) + \(105^\circ\)).
Bu durumda, çokgenin toplam kenar sayısı \(3\) (verilenler) + \(2\) (kalanlar) = \(5\) olabilir. ✅

Mozaik ustasının kullanacağı seramiklerin açısını hesaplamak için düzgün çokgen formülünü kullanması gerekir.

• Seramikler düzgün bir dokuzgen olduğuna göre, \(n=9\)
• Düzgün bir \(n\)-genin bir iç açısının ölçüsü formülü: \(\frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}\)
• İç açı = \(\frac{(9-2) \times 180^\circ}{9}\)
• İç açı = \(\frac{7 \times 180^\circ}{9}\)
• İç açı = \(7 \times 20^\circ\)
• İç açı = \(140^\circ\)

Bu seramiklerin her bir kenarının birleştiği köşedeki açı \(140^\circ\) olmalıdır. 💎