💡 10. Sınıf Matematik: Cebirsel ve fonksiyonel işlemlerin algoritma yapısı Çözümlü Örnekler

Bu problemi bir denklem kurarak çözebiliriz.
1. Sayıyı Tanımlama: Bilinmeyen sayımıza \(x\) diyelim.
2. İfadeyi Kurma: "Bir sayının 3 katı" \(3x\) olur. "3 katının 5 fazlası" ise \(3x + 5\) olur.
3. Denklemi Yazma: "Sayının kendisinden 10 fazlası" \(x + 10\) olur. Bu iki ifade birbirine eşitlendiğinde denklemimiz \(3x + 5 = x + 10\) olur.
4. Denklemi Çözme:

• Her iki taraftan \(x\) çıkaralım: \(3x - x + 5 = x - x + 10\) yani \(2x + 5 = 10\).
• Her iki taraftan 5 çıkaralım: \(2x + 5 - 5 = 10 - 5\) yani \(2x = 5\).
• Her iki tarafı 2'ye bölelim: \( \frac{2x}{2} = \frac{5}{2} \) yani \(x = \frac{5}{2}\).

5. Sonuç: Bulduğumuz sayı \( \frac{5}{2} \) veya \(2.5\)'tir. ✅

Fonksiyonun kuralı bize, fonksiyona giren \(x\) değerini alıp, onu 2 ile çarpıp sonra 1 çıkaracağımızı söyler.
1. \( f(3) \) Değerini Hesaplama: Fonksiyonda \(x\) yerine 3 yazalım.
\( f(3) = 2 \times (3) - 1 \)
\( f(3) = 6 - 1 \)
\( f(3) = 5 \) ✅
2. \( f(-2) \) Değerini Hesaplama: Fonksiyonda \(x\) yerine -2 yazalım.
\( f(-2) = 2 \times (-2) - 1 \)
\( f(-2) = -4 - 1 \)
\( f(-2) = -5 \) ✅
3. Sonuç: \( f(3) = 5 \) ve \( f(-2) = -5 \) olarak bulunur. 👉

Bu problemde her gün belirli bir oranda artış gösteren bir miktar söz konusudur. Algoritmayı adım adım takip edelim.
1. Başlangıç Değeri: 0. gün sonunda kullanıcı sayısı = 100.
2. 1. Gün Sonu:

• Artış miktarı: \( 100 \times \frac{10}{100} = 10 \) kullanıcı.
• Toplam kullanıcı: \( 100 + 10 = 110 \) kullanıcı.

3. 2. Gün Sonu:

• Artış miktarı: \( 110 \times \frac{10}{100} = 11 \) kullanıcı.
• Toplam kullanıcı: \( 110 + 11 = 121 \) kullanıcı.

4. 3. Gün Sonu:

• Artış miktarı: \( 121 \times \frac{10}{100} = 12.1 \) kullanıcı.
• Toplam kullanıcı: \( 121 + 12.1 = 133.1 \) kullanıcı.

5. Sonuç: Algoritmaya göre 3. günün sonunda toplam kullanıcı sayısı yaklaşık olarak 133'tür (kullanıcı sayısı tam sayı olmalıdır, bu durumda ondalık kısım genellikle yuvarlanır veya ihmal edilir). ✅ Not: Bu tür artışlar için genel formül \( P(t) = P_0 (1 + r)^t \) şeklindedir. Burada \( P_0 = 100 \), \( r = 0.10 \) ve \( t = 3 \) olduğunda \( P(3) = 100 (1 + 0.10)^3 = 100 (1.1)^3 = 100 \times 1.331 = 133.1 \) bulunur.

Bu bir basit çarpma ve toplama işlemidir.
1. Domates Maliyeti:

• Kilogram fiyatı: 5 TL
• Alınan miktar: 3 kg
• Domatesler için ödenecek tutar: \( 5 \\times 3 = 15 \) TL

2. Salatalık Maliyeti:

• Kilogram fiyatı: 8 TL
• Alınan miktar: 2 kg
• Salatalıklar için ödenecek tutar: \( 8 \\times 2 = 16 \) TL

3. Toplam Ödeme:

• Domates tutarı + Salatalık tutarı = Toplam Tutar
• \( 15 \text{ TL} + 16 \text{ TL} = 31 \) TL

4. Sonuç: Ayşe Hanım toplam 31 TL ödeme yapmalıdır. 💰

Bu problemde iki bilinmeyenli iki denklem kurmamız gerekmektedir.
1. Sayıları Tanımlama: Küçük sayıya \(x\) diyelim. Diğer sayı, \(x\)'in 4 katından 5 eksik olduğu için \(4x - 5\) olur.
2. Birinci Denklemi Kurma (Toplamları): İki sayının toplamı 25'tir.
\( x + (4x - 5) = 25 \)
3. Denklemi Çözme:

• Benzer terimleri birleştirme: \( 5x - 5 = 25 \)
• Her iki tarafa 5 ekleme: \( 5x - 5 + 5 = 25 + 5 \) yani \( 5x = 30 \)
• Her iki tarafı 5'e bölme: \( \frac{5x}{5} = \frac{30}{5} \) yani \( x = 6 \)

4. İkinci Sayıyı Bulma: Küçük sayı \(x = 6\) ise, diğer sayı \(4x - 5\) idi.
\( 4 \times (6) - 5 = 24 - 5 = 19 \)
5. Kontrol: Sayılar 6 ve 19'dur. Toplamları \( 6 + 19 = 25 \) ve 19 sayısı, 6'nın 4 katından (24) 5 eksiktir (\( 24 - 5 = 19 \)). ✅ 6. Sonuç: Sayılar 6 ve 19'dur. 👉

Bu problemi denklem kurarak çözebiliriz.
1. Meyveleri Tanımlama: Armut sayısına \(a\) diyelim. Elma sayısı, armut sayısının 2 katından 3 fazla olduğu için \(2a + 3\) olur.
2. Denklemi Kurma: Toplam meyve sayısı 15'tir.
\( a + (2a + 3) = 15 \)
3. Denklemi Çözme:

• Benzer terimleri birleştirme: \( 3a + 3 = 15 \)
• Her iki taraftan 3 çıkarma: \( 3a + 3 - 3 = 15 - 3 \) yani \( 3a = 12 \)
• Her iki tarafı 3'e bölme: \( \frac{3a}{3} = \frac{12}{3} \) yani \( a = 4 \)

4. Meyve Sayılarını Bulma:

• Armut sayısı (\(a\)): 4
• Elma sayısı (\(2a + 3\)): \( 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11 \)

5. Kontrol: Toplam meyve sayısı \( 4 + 11 = 15 \). Elma sayısı (11), armut sayısının (4) 2 katından (8) 3 fazladır (\( 8 + 3 = 11 \)). ✅ 6. Sonuç: Sepette 11 elma ve 4 armut vardır. 👉

Bu basit bir çarpma işlemi ile çözülebilir.
1. Maliyet Birimi: Kilometre başına yakıt maliyeti = 0.5 TL.
2. Gidilecek Mesafe: 200 km.
3. Toplam Maliyeti Hesaplama:

• Toplam Maliyet = Kilometre Başına Maliyet \( \times \) Gidilecek Mesafe
• Toplam Maliyet = \( 0.5 \\times 200 \) TL
• Toplam Maliyet = \( 100 \) TL

4. Sonuç: Otobüs 200 km yol yaparsa, toplam yakıt maliyeti 100 TL olur. 💸

Bu problem, cebirsel ifadeler ve denklem kurma becerilerini gerektirir.
1. Başlangıç Sayısını Tanımlama: Öğretmenin aklındaki sayıyı \(x\) ile gösterelim.
2. İlk İşlem Adımını İfade Etme: "Seçilen sayının önce 2 katı alınır, sonra bu sonuçtan 7 çıkarılır." Bu ifadeyi cebirsel olarak \(2x - 7\) şeklinde yazarız.
3. İkinci İşlem Adımını İfade Etme: "Elde edilen sonuç ise başlangıçtaki sayının 3 katından 1 eksiktir." Bu ifadeyi cebirsel olarak \(3x - 1\) şeklinde yazarız.
4. Denklemi Kurma: İlk işlem sonucu ile ikinci işlem sonucu birbirine eşittir.
\( 2x - 7 = 3x - 1 \)
5. Denklemi Çözme:

• Her iki taraftan \(2x\) çıkaralım: \( 2x - 2x - 7 = 3x - 2x - 1 \) yani \( -7 = x - 1 \)
• Her iki tarafa 1 ekleyelim: \( -7 + 1 = x - 1 + 1 \) yani \( -6 = x \)

6. Sonuç: Öğretmenin aklındaki sayı \( -6 \) 'dır. ✅ Kontrol: Sayı -6 ise, 2 katı -12, 7 çıkarırsak -19 olur. Başlangıç sayısının 3 katı -18, 1 eksik ise -19 olur. Sonuçlar eşittir. 👉