💡 10. Sınıf Matematik: Cebirsel işlemler Çözümlü Örnekler

Bu problemi cebirsel ifadelerle çözebiliriz.

• Öncelikle bilinmeyen iki sayıyı temsil edecek değişkenler belirleyelim. Küçük sayıya \(x\) diyelim.
• Soruda verilen bilgiye göre, diğer sayı (büyük olan) \(x\)'in 4 katından 5 fazladır. Yani bu sayı \(4x + 5\) olur.
• İki sayının toplamının 25 olduğu bilgisi verilmiş. Bu bilgiyi denklem olarak yazalım: \(x + (4x + 5) = 25\).
• Denklemi çözelim:
• Benzer terimleri birleştirelim: \(5x + 5 = 25\).
• Sabit terimi diğer tarafa atalım: \(5x = 25 - 5\), yani \(5x = 20\).
• \(x\)'i bulmak için her iki tarafı 5'e bölelim: \(x = \frac{20}{5}\), bu da \(x = 4\) demektir.
• Bulduğumuz \(x\) değeri küçük sayıdır. Soru bizden büyük sayıyı istiyor. Büyük sayı \(4x + 5\) idi.
• \(x\) yerine 4 koyarak büyük sayıyı hesaplayalım: \(4 \times 4 + 5 = 16 + 5 = 21\).

Demek ki bu sayılar 4 ve 21'dir. Toplamları \(4 + 21 = 25\) yapar ve 21, 4'ün 4 katından (16) 5 fazladır. ✅ Büyük sayı 21'dir.

Kare şeklindeki bir bahçenin çevresi, bir kenar uzunluğunun 4 katına eşittir.

• Bahçenin bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) cm olarak verilmiş.
• Karenin çevresi \( 4 \times (3a - 2) \) şeklinde hesaplanır.
• Dağılma özelliğini kullanarak bu ifadeyi açalım: \( 4 \times 3a - 4 \times 2 = 12a - 8 \) cm.
• Soruda bahçenin çevresi \( (24a - 8) \) cm olarak verilmiş. Bu bir hata olmalı, çünkü hesapladığımız çevre \( (12a - 8) \) cm olmalıydı. Soruyu, çevresi \( (12a - 8) \) cm olarak düzeltelim.
• Eğer soruda verilen çevre \( (12a - 8) \) ise, o zaman \( 12a - 8 = 12a - 8 \) olur ki bu da \(a\)'nın her değeri için doğrudur. Bu durumda \(a\)'nın belirli bir değeri için kenar uzunluğunu bulamayız.
• Soruyu şu şekilde revize edelim: Bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresi \( (24a - 8) \) cm olarak verilmişse, bu durum ancak bir hata olduğunu gösterir. Eğer çevrenin \( (12a - 8) \) olması gerekiyorsa, \(a\) için bir değer bulamayız.
• Varsayım: Soruda bir yazım hatası olduğunu ve çevrenin \( (12a - 8) \) olması gerektiğini düşünelim. Bu durumda \(a\) için bir değer bulamayız.
• Alternatif Varsayım: Soruda bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) değil de, çevresi \( (3a - 2) \) ve bir kenarı \( (24a - 8) \) gibi bir durum söz konusu olsaydı, bu da mantıksız olurdu.
• En Olası Hata: Soruda verilen çevre \( (24a - 8) \) ifadesinin, \(a\)'nın belirli bir değerini bulmaya yönelik olması. Eğer bir kenar \( (3a - 2) \) ise, çevre \( 4(3a - 2) = 12a - 8 \) olmalıdır. Sorudaki \( (24a - 8) \) ifadesi muhtemelen \( (12a - 8) \) olmalıydı.
• Soruyu Yeniden Yorumlama: Belki de \(a\) yerine başka bir değişken söz konusuydu veya çevre \( (24a - 8) \) ise, bir kenar \( \frac{24a - 8}{4} = 6a - 2 \) olmalıydı.
• Eğer soruyu şu şekilde anlarsak: Bir kenar uzunluğu \(x\) olan karenin çevresi \(4x\)'tir. Eğer çevre \( (24a - 8) \) ise, bir kenar \( \frac{24a - 8}{4} = 6a - 2 \) olur. Bu durumda \( (3a - 2) \) ifadesi ile \( (6a - 2) \) arasında bir ilişki kurulamaz.
• En Doğru Yaklaşım: Soruda bir kenar \( (3a - 2) \) ise, çevre \( 4(3a - 2) = 12a - 8 \) olur. Eğer soruda verilen çevre \( (24a - 8) \) ise, bu bir çelişkidir.
• Soruyu Düzeltelim: Eğer bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) cm ise ve bu bahçenin çevresi \( (12a - 8) \) cm ise, bu ifade \(a\)'nın her değeri için doğrudur.
• Eğer soru şu şekilde olsaydı: Bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresi \( (44) \) cm'dir. Bu durumda \( 12a - 8 = 44 \Rightarrow 12a = 52 \Rightarrow a = \frac{52}{12} = \frac{13}{3} \). Bir kenar uzunluğu \( 3(\frac{13}{3}) - 2 = 13 - 2 = 11 \) cm olurdu.
• Soruyu Orijinal Haliyle Çözelim ve Hatanın Nerede Olduğunu Belirtelim: Bir kenar \( (3a - 2) \) ise, çevre \( 4(3a - 2) = 12a - 8 \) olmalıdır. Soruda çevre \( (24a - 8) \) olarak verilmiş. Bu iki ifadeyi eşitlemeye çalışırsak: \( 12a - 8 = 24a - 8 \). Buradan \( 12a = 24a \Rightarrow 12a = 0 \Rightarrow a = 0 \) bulunur. Eğer \(a=0\) ise, bir kenar uzunluğu \( 3(0) - 2 = -2 \) olur ki bu mümkün değildir.

Bu soruda bir hata bulunmaktadır. Bir kenar uzunluğu \( (3a - 2) \) olan bir karenin çevresi her zaman \( (12a - 8) \) olmalıdır. Soruda verilen \( (24a - 8) \) çevre değeri ile bu uyumsuzdur. ❌ Eğer soruda bir kenar uzunluğu \( (6a - 2) \) olsaydı, çevre \( 4(6a - 2) = 24a - 8 \) olurdu ve bu durumda bir kenar uzunluğu \( (6a - 2) \) olurdu.

Bu problemi adım adım çözerek mağaza sahibinin elde edeceği geliri hesaplayalım.

• Öncelikle toplam gömlek sayısını belirleyelim. Gömleklerin tanesi 100 TL olduğuna göre, toplam geliri bulmak için toplam gömlek sayısını bilmemiz gerekir. Ancak soruda toplam gömlek sayısı verilmemiş. Bu durumda, birim üzerinden hesap yapabiliriz veya varsayımsal bir sayı kullanabiliriz.
• Varsayım: Toplam 15 gömlek olduğunu varsayalım (5 ve 3'ün ortak katı olduğu için hesaplamalar kolaylaşır).
• 1. Grup Gömlekler: Gömleklerin \( \frac{2}{5} \)'i indirimli satılacak.
• \( 15 \times \frac{2}{5} = 6 \) gömlek.
• Bu gömleklerin tanesi 100 TL idi. %20 indirimle tanesi \( 100 - (100 \times \frac{20}{100}) = 100 - 20 = 80 \) TL olur.
• Bu 6 gömlekten elde edilecek gelir: \( 6 \times 80 = 480 \) TL.
• 2. Grup Gömlekler: Kalan gömleklerin \( \frac{1}{3} \)'i indirimli satılacak.
• Toplam 15 gömlekten 6'sı satıldı, geriye \( 15 - 6 = 9 \) gömlek kaldı.
• Bu 9 gömleğin \( \frac{1}{3} \)'ü indirimli satılacak: \( 9 \times \frac{1}{3} = 3 \) gömlek.
• Bu gömleklerin tanesi 100 TL idi. %10 indirimle tanesi \( 100 - (100 \times \frac{10}{100}) = 100 - 10 = 90 \) TL olur.
• Bu 3 gömlekten elde edilecek gelir: \( 3 \times 90 = 270 \) TL.
• 3. Grup Gömlekler: Geriye kalan gömlekler tam fiyattan satılacak.
• Toplam 15 gömlekten 6'sı ilk grupta, 3'ü ikinci grupta satıldı. Geriye \( 15 - 6 - 3 = 6 \) gömlek kaldı.
• Bu 6 gömlek tanesi 100 TL'den satılacak.
• Bu 6 gömlekten elde edilecek gelir: \( 6 \times 100 = 600 \) TL.
• Toplam Gelir: Elde edilen tüm gelirleri toplayalım.
• \( 480 \) TL (1. Grup) + \( 270 \) TL (2. Grup) + \( 600 \) TL (3. Grup) = \( 1350 \) TL.

Mağaza sahibi, tüm gömlekler satıldığında toplam 1350 TL gelir elde eder. 🎉

Bu ifade, iki terimin toplamının karesi özdeşliğini kullanarak açılabilir.

• İki terimin toplamının karesi formülü şöyledir: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
• Bizim ifademizde \( a = x \) ve \( b = 3 \) 'tür.
• Formülü uygulayalım:
• \( a^2 \) yerine \( x^2 \) yazılır.
• \( 2ab \) yerine \( 2 \times x \times 3 = 6x \) yazılır.
• \( b^2 \) yerine \( 3^2 = 9 \) yazılır.
• Bu terimleri birleştirdiğimizde açılımı elde ederiz: \( x^2 + 6x + 9 \).

Dolayısıyla, \( (x+3)^2 \) ifadesinin açılımı \( x^2 + 6x + 9 \)'dur. ✅

Bu çarpımı, dağılma özelliğini kullanarak adım adım yapabiliriz.

• İlk terimdeki her bir ifadeyi, ikinci terimdeki her bir ifadeyle çarpacağız.
• \( (2y - 1) \) ifadesini \( (y + 4) \) ile çarpıyoruz:
• \( 2y \) ile \( y \) çarpılır: \( 2y \times y = 2y^2 \).
• \( 2y \) ile \( +4 \) çarpılır: \( 2y \times 4 = 8y \).
• \( -1 \) ile \( y \) çarpılır: \( -1 \times y = -y \).
• \( -1 \) ile \( +4 \) çarpılır: \( -1 \times 4 = -4 \).
• Şimdi elde ettiğimiz tüm terimleri bir araya getirelim: \( 2y^2 + 8y - y - 4 \).
• Benzer terimleri (yani \(y\) 'li terimleri) birleştirelim: \( 8y - y = 7y \).
• Sonuç olarak çarpımın açılımı: \( 2y^2 + 7y - 4 \) olur.

Bu çarpımın sonucu \( 2y^2 + 7y - 4 \)'tür. 👍

Bu problemi, verilen cebirsel ifadeleri kullanarak ve \(x\) değerini yerine koyarak çözebiliriz.

• Verilen kesit alanı \( (x^2 - 9) \) metrekaredir.
• Bu alanın boyutları \( (x-3) \) metre ve \( (x+3) \) metredir.
• Bu iki boyutun çarpımı alanı verir: \( (x-3)(x+3) \). Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğidir ve \( x^2 - 3^2 = x^2 - 9 \) olarak açılır. Bu, verilen alanla uyumludur.
• Soruda \( x = 5 \) olarak verilmiş.
• Kolonun boyutlarını \(x=5\) için hesaplayalım:
• Bir boyut: \( x - 3 = 5 - 3 = 2 \) metre.
• Diğer boyut: \( x + 3 = 5 + 3 = 8 \) metre.
• Kolonun kesit alanı \( 2 \times 8 = 16 \) metrekaredir.
• Ayrıca, \( x^2 - 9 \) ifadesinde \( x=5 \) koyarsak: \( 5^2 - 9 = 25 - 9 = 16 \) metrekare olur. Bu da uyumludur.
• Kolonun çevresi, dikdörtgenin çevresi formülü ile bulunur: \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \).
• Hesaplanan boyutlarla çevreyi bulalım: \( 2 \times (8 + 2) = 2 \times 10 = 20 \) metre.

Bu kolonun çevresi 20 metre'dir. 👷‍♂️

Bu tür ifadeleri sadeleştirmek için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Payın Çarpanlara Ayrılması: Pay \( a^2 - 4 \) ifadesi, iki kare farkı özdeşliğine uyar: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
• Burada \( b^2 = 4 \) olduğu için \( b = 2 \) olur.
• Dolayısıyla, \( a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \).
• Paydanın Çarpanlara Ayrılması: Payda \( a^2 - 5a + 6 \) ifadesi, ikinci dereceden bir denklemdir. Çarpımları +6, toplamları -5 olan iki sayı bulmalıyız.
• Bu sayılar -2 ve -3'tür. Çünkü \( (-2) \times (-3) = 6 \) ve \( (-2) + (-3) = -5 \).
• Dolayısıyla, \( a^2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) \).
• İfadeyi Yeniden Yazma: Şimdi sadeleştirme için çarpanlarına ayrılmış hallerini kullanalım.
• \( \frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)(a-3)} \)
• Sadeleştirme: Pay ve paydada ortak olan \( (a-2) \) çarpanını sadeleştirebiliriz.
• Bu sadeleştirme, \( a \neq 2 \) koşuluyla geçerlidir.
• Sadeleştirme sonrası ifade: \( \frac{a+2}{a-3} \).

Bu cebirsel ifadenin en sade hali \( \frac{a+2}{a-3} \)'tür. (Burada \( a \neq 2 \) ve \( a \neq 3 \) olmalıdır.) ✅

Bu soruda, iki kare farkı özdeşliği ve ardından benzer terimlerin sadeleştirilmesi adımları izlenecektir.

• Öğrencinin kullandığı yöntem iki kare farkı özdeşliğidir: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
• Burada \( a = (3x+y) \) ve \( b = (3x-y) \) olarak alınmıştır.
• Öğrencinin çarpanlara ayırma adımı doğrudur: \( (3x+y - (3x-y))(3x+y + (3x-y)) \).
• Şimdi her bir parantez içindeki ifadeyi ayrı ayrı sadeleştirelim:
• Birinci Parantez: \( (3x+y - (3x-y)) \)
• Parantezi açarken işaretlere dikkat edelim: \( 3x + y - 3x + y \).
• Benzer terimleri birleştirelim: \( (3x - 3x) + (y + y) = 0 + 2y = 2y \).
• İkinci Parantez: \( (3x+y + (3x-y)) \)
• Parantezi açarken işaretler aynı kalır: \( 3x + y + 3x - y \).
• Benzer terimleri birleştirelim: \( (3x + 3x) + (y - y) = 6x + 0 = 6x \).
• Şimdi sadeleştirilmiş parantez ifadelerini çarpalım: \( (2y) \times (6x) \).
• Çarpım sonucu: \( 12xy \).

Bu sadeleştirme sonucunda elde edilen doğru ifade \( 12xy \)'dir. ✨