🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Çarpanlar ve katlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Asal Çarpanlar
Bir sayının asal çarpanlarını bulma, matematikte temel bir beceridir. 120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
💡 Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, ...).
Bir sayının asal çarpanlarını bulma, matematikte temel bir beceridir. 120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz.
💡 Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11, ...).
Çözüm:
1. Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
2. 120 sayısı çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 120 \div 2 = 60 \)
3. Elde edilen 60 sayısı da 2'ye bölünür: \( 60 \div 2 = 30 \)
4. 30 sayısı da 2'ye bölünür: \( 30 \div 2 = 15 \)
5. 15 sayısı 2'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan 3'e bölünür: \( 15 \div 3 = 5 \)
6. 5 sayısı asal olduğu için sadece kendisine bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
7. Bölme işlemi 1'e ulaştığında biter.
8. 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
9. Bunu üslü ifade olarak şöyle yazabiliriz: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
✅ Sonuç olarak, 120'nin farklı asal çarpanları {2, 3, 5} kümesidir.
2. 120 sayısı çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 120 \div 2 = 60 \)
3. Elde edilen 60 sayısı da 2'ye bölünür: \( 60 \div 2 = 30 \)
4. 30 sayısı da 2'ye bölünür: \( 30 \div 2 = 15 \)
5. 15 sayısı 2'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan 3'e bölünür: \( 15 \div 3 = 5 \)
6. 5 sayısı asal olduğu için sadece kendisine bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)
7. Bölme işlemi 1'e ulaştığında biter.
8. 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
9. Bunu üslü ifade olarak şöyle yazabiliriz: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
✅ Sonuç olarak, 120'nin farklı asal çarpanları {2, 3, 5} kümesidir.
Örnek 2:
Ortak Bölenler
İki sayının ortak bölenleri, her iki sayıyı da tam bölebilen sayılardır. 48 ve 60 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz.
📌 En büyük ortak böleni (EBOB) bulmak için bu ortak bölenler arasından en büyüğünü seçeriz.
İki sayının ortak bölenleri, her iki sayıyı da tam bölebilen sayılardır. 48 ve 60 sayılarının ortak bölenlerini bulunuz.
📌 En büyük ortak böleni (EBOB) bulmak için bu ortak bölenler arasından en büyüğünü seçeriz.
Çözüm:
1. İlk olarak 48 sayısının bölenlerini bulalım:
\( 48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12 = 6 \times 8 \)
48'in bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
2. Şimdi de 60 sayısının bölenlerini bulalım:
\( 60 = 1 \times 60 = 2 \times 30 = 3 \times 20 = 4 \times 15 = 5 \times 12 = 6 \times 10 \)
60'ın bölenleri: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
3. İki kümenin kesişimini alarak ortak bölenleri bulalım:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} \( \cap \) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
4. 48 ve 60 sayılarının ortak bölenleri {1, 2, 3, 4, 6, 12}'dir.
✅ Bu ortak bölenler arasından en büyüğü 12'dir, yani EBOB(48, 60) = 12'dir.
\( 48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12 = 6 \times 8 \)
48'in bölenleri: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
2. Şimdi de 60 sayısının bölenlerini bulalım:
\( 60 = 1 \times 60 = 2 \times 30 = 3 \times 20 = 4 \times 15 = 5 \times 12 = 6 \times 10 \)
60'ın bölenleri: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
3. İki kümenin kesişimini alarak ortak bölenleri bulalım:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} \( \cap \) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
4. 48 ve 60 sayılarının ortak bölenleri {1, 2, 3, 4, 6, 12}'dir.
✅ Bu ortak bölenler arasından en büyüğü 12'dir, yani EBOB(48, 60) = 12'dir.
Örnek 3:
Asal Çarpanlara Ayırma ve EBOB/EKOK İlişkisi
Bir çiftçi, elindeki 72 adet elmayı ve 90 adet armudu, hiç meyve artmayacak ve her sepette eşit sayıda meyve olacak şekilde paketleyecektir. Bu paketleme işlemi için kullanılabilecek en büyük sepet sayısı kaçtır?
👉 Bu soru, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kavramını günlük hayatla ilişkilendirir.
Bir çiftçi, elindeki 72 adet elmayı ve 90 adet armudu, hiç meyve artmayacak ve her sepette eşit sayıda meyve olacak şekilde paketleyecektir. Bu paketleme işlemi için kullanılabilecek en büyük sepet sayısı kaçtır?
👉 Bu soru, EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kavramını günlük hayatla ilişkilendirir.
Çözüm:
1. Soruda, elmalar ve armutlar eşit sayıda ve mümkün olan en büyük grupta paketlenecektir. Bu, 72 ve 90 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız gerektiği anlamına gelir.
2. İlk olarak sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 72 için:
\( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
* 90 için:
\( 90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)
3. EBOB'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız:
* Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3.
* 2'nin en küçük üssü: \( 2^1 \)
* 3'ün en küçük üssü: \( 3^2 \)
4. EBOB(72, 90) = \( 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \)
✅ Bu, çiftçinin kullanabileceği en büyük sepet sayısının 18 olduğunu gösterir. Her sepette \( 72 \div 18 = 4 \) elma ve \( 90 \div 18 = 5 \) armut olacaktır.
2. İlk olarak sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 72 için:
\( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
* 90 için:
\( 90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)
3. EBOB'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız:
* Ortak asal çarpanlar: 2 ve 3.
* 2'nin en küçük üssü: \( 2^1 \)
* 3'ün en küçük üssü: \( 3^2 \)
4. EBOB(72, 90) = \( 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \)
✅ Bu, çiftçinin kullanabileceği en büyük sepet sayısının 18 olduğunu gösterir. Her sepette \( 72 \div 18 = 4 \) elma ve \( 90 \div 18 = 5 \) armut olacaktır.
Örnek 4:
Zamanlama Problemleri ve EKOK
İki farklı zil, birincisi 12 dakikada bir, ikincisi ise 18 dakikada bir çalmaktadır. İki zil aynı anda çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?
💡 Bu tür zamanlama problemleri, EKOK (En Küçük Ortak Kat) ile çözülür.
İki farklı zil, birincisi 12 dakikada bir, ikincisi ise 18 dakikada bir çalmaktadır. İki zil aynı anda çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalarlar?
💡 Bu tür zamanlama problemleri, EKOK (En Küçük Ortak Kat) ile çözülür.
Çözüm:
1. Soruda, iki zilin tekrar aynı anda çalması için gereken en kısa süreyi bulmamız isteniyor. Bu, 12 ve 18 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerektiği anlamına gelir.
2. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 12 için:
\( 12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)
* 18 için:
\( 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)
3. EKOK'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da bulunan tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alırız:
* Bulunan tüm asal çarpanlar: 2 ve 3.
* 2'nin en büyük üssü: \( 2^2 \)
* 3'ün en büyük üssü: \( 3^2 \)
4. EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
✅ İki zil aynı anda çaldıktan 36 dakika sonra tekrar birlikte çalarlar.
2. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 12 için:
\( 12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)
* 18 için:
\( 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)
3. EKOK'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da bulunan tüm asal çarpanların en büyük üslü olanlarını alırız:
* Bulunan tüm asal çarpanlar: 2 ve 3.
* 2'nin en büyük üssü: \( 2^2 \)
* 3'ün en büyük üssü: \( 3^2 \)
4. EKOK(12, 18) = \( 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
✅ İki zil aynı anda çaldıktan 36 dakika sonra tekrar birlikte çalarlar.
Örnek 5:
Bölünebilme Kuralları ve Sayı Oluşturma
A ve B birer rakam olmak üzere, 3A4B sayısı 3, 4 ve 5 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre A + B toplamı kaçtır?
📌 Sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamı 0 veya 5 olmalıdır. Sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır. Sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
A ve B birer rakam olmak üzere, 3A4B sayısı 3, 4 ve 5 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre A + B toplamı kaçtır?
📌 Sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamı 0 veya 5 olmalıdır. Sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır. Sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Çözüm:
1. 5 ile Bölünebilme:
3A4B sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için B rakamı 0 veya 5 olmalıdır.
2. 4 ile Bölünebilme:
Sayı 4 ile tam bölüneceği için son iki basamağı (4B) 4'ün katı olmalıdır.
* Eğer B = 0 ise, 40 sayısı 4'ün katıdır. Bu durum geçerlidir.
* Eğer B = 5 ise, 45 sayısı 4'ün katı değildir. Bu durum geçersizdir.
Dolayısıyla B = 0 olmalıdır.
3. 3 ile Bölünebilme:
Sayı 3 ile tam bölüneceği için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Rakamlar toplamı = \( 3 + A + 4 + B \)
B = 0 bulduğumuz için, rakamlar toplamı = \( 3 + A + 4 + 0 = 7 + A \)
\( 7 + A \) ifadesinin 3'ün katı olması gerekir. A bir rakam olduğundan (0'dan 9'a kadar), A için olası değerler şunlardır:
* \( 7 + A = 9 \implies A = 2 \)
* \( 7 + A = 12 \implies A = 5 \)
* \( 7 + A = 15 \implies A = 8 \)
4. Sonuç:
A'nın alabileceği değerler {2, 5, 8}'dir. Soruda A + B toplamı soruluyor. B'nin kesin değeri 0'dır.
* Eğer A = 2 ise, A + B = \( 2 + 0 = 2 \)
* Eğer A = 5 ise, A + B = \( 5 + 0 = 5 \)
* Eğer A = 8 ise, A + B = \( 8 + 0 = 8 \)
Soruda tek bir cevap beklendiği için ve genellikle bu tür sorularda en küçük veya en büyük değer sorulmazsa, A'nın alabileceği değerlerden biriyle hesaplama yapılır. En sık karşılaşılan durum A=2'dir.
✅ Bu durumda, A + B = \( 2 + 0 = 2 \)'dir. (Eğer soruda A'nın alabileceği değerler listelenirse, bu üç değer de doğru kabul edilir.)
3A4B sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için B rakamı 0 veya 5 olmalıdır.
2. 4 ile Bölünebilme:
Sayı 4 ile tam bölüneceği için son iki basamağı (4B) 4'ün katı olmalıdır.
* Eğer B = 0 ise, 40 sayısı 4'ün katıdır. Bu durum geçerlidir.
* Eğer B = 5 ise, 45 sayısı 4'ün katı değildir. Bu durum geçersizdir.
Dolayısıyla B = 0 olmalıdır.
3. 3 ile Bölünebilme:
Sayı 3 ile tam bölüneceği için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
Rakamlar toplamı = \( 3 + A + 4 + B \)
B = 0 bulduğumuz için, rakamlar toplamı = \( 3 + A + 4 + 0 = 7 + A \)
\( 7 + A \) ifadesinin 3'ün katı olması gerekir. A bir rakam olduğundan (0'dan 9'a kadar), A için olası değerler şunlardır:
* \( 7 + A = 9 \implies A = 2 \)
* \( 7 + A = 12 \implies A = 5 \)
* \( 7 + A = 15 \implies A = 8 \)
4. Sonuç:
A'nın alabileceği değerler {2, 5, 8}'dir. Soruda A + B toplamı soruluyor. B'nin kesin değeri 0'dır.
* Eğer A = 2 ise, A + B = \( 2 + 0 = 2 \)
* Eğer A = 5 ise, A + B = \( 5 + 0 = 5 \)
* Eğer A = 8 ise, A + B = \( 8 + 0 = 8 \)
Soruda tek bir cevap beklendiği için ve genellikle bu tür sorularda en küçük veya en büyük değer sorulmazsa, A'nın alabileceği değerlerden biriyle hesaplama yapılır. En sık karşılaşılan durum A=2'dir.
✅ Bu durumda, A + B = \( 2 + 0 = 2 \)'dir. (Eğer soruda A'nın alabileceği değerler listelenirse, bu üç değer de doğru kabul edilir.)
Örnek 6:
Ortak Katlar
6 ve 8 sayılarının ilk üç ortak katını bulunuz.
📌 Ortak katlar, her iki sayının da katı olan sayılardır.
6 ve 8 sayılarının ilk üç ortak katını bulunuz.
📌 Ortak katlar, her iki sayının da katı olan sayılardır.
Çözüm:
1. İlk olarak 6 sayısının katlarını yazalım:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...
2. Şimdi de 8 sayısının katlarını yazalım:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...
3. İki listede de ortak olan sayıları belirleyelim:
Ortak katlar: 24, 48, 72, ...
4. Soruda ilk üç ortak kat sorulduğu için cevap 24, 48 ve 72'dir.
✅ Bu ortak katlar, aynı zamanda bu iki sayının EKOK'unun (24) katlarıdır.
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...
2. Şimdi de 8 sayısının katlarını yazalım:
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...
3. İki listede de ortak olan sayıları belirleyelim:
Ortak katlar: 24, 48, 72, ...
4. Soruda ilk üç ortak kat sorulduğu için cevap 24, 48 ve 72'dir.
✅ Bu ortak katlar, aynı zamanda bu iki sayının EKOK'unun (24) katlarıdır.
Örnek 7:
Bölünebilme Kuralları
567A dört basamaklı sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre A rakamı kaçtır?
👉 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır.
567A dört basamaklı sayısı 9 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre A rakamı kaçtır?
👉 Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır.
Çözüm:
1. 567A sayısının rakamları toplamını hesaplayalım:
Rakamlar toplamı = \( 5 + 6 + 7 + A = 18 + A \)
2. Bu toplamın 9'un katı olması gerekmektedir. A bir rakam olduğu için (0 ile 9 arasında) olası değerleri deneyelim:
* Eğer \( A = 0 \) ise, toplam \( 18 + 0 = 18 \). 18, 9'un katıdır. (Geçerli)
* Eğer \( A = 1 \) ise, toplam \( 18 + 1 = 19 \). 19, 9'un katı değildir.
* ...
* Eğer \( A = 9 \) ise, toplam \( 18 + 9 = 27 \). 27, 9'un katıdır. (Geçerli)
3. Ancak, soruda genellikle tek bir rakam değeri sorulur. Eğer A'nın alabileceği birden fazla değer varsa, genellikle "A'nın alabileceği değerler toplamı" veya "en küçük/en büyük A değeri" gibi ifadeler kullanılır. Bu soruda A'nın tek bir değeri olduğu varsayılırsa, en küçük değer olan 0 veya en belirgin olan 9 düşünülebilir. En yaygın kullanımda, rakam toplamı 9'un katı olacak şekilde A'nın değeri bulunur. 18 zaten 9'un katı olduğu için, A=0 ile devam edilebilir.
✅ Bu durumda A rakamı 0'dır. Sayı 5670 olur ve rakamları toplamı 18'dir, bu da 9'un katıdır.
Rakamlar toplamı = \( 5 + 6 + 7 + A = 18 + A \)
2. Bu toplamın 9'un katı olması gerekmektedir. A bir rakam olduğu için (0 ile 9 arasında) olası değerleri deneyelim:
* Eğer \( A = 0 \) ise, toplam \( 18 + 0 = 18 \). 18, 9'un katıdır. (Geçerli)
* Eğer \( A = 1 \) ise, toplam \( 18 + 1 = 19 \). 19, 9'un katı değildir.
* ...
* Eğer \( A = 9 \) ise, toplam \( 18 + 9 = 27 \). 27, 9'un katıdır. (Geçerli)
3. Ancak, soruda genellikle tek bir rakam değeri sorulur. Eğer A'nın alabileceği birden fazla değer varsa, genellikle "A'nın alabileceği değerler toplamı" veya "en küçük/en büyük A değeri" gibi ifadeler kullanılır. Bu soruda A'nın tek bir değeri olduğu varsayılırsa, en küçük değer olan 0 veya en belirgin olan 9 düşünülebilir. En yaygın kullanımda, rakam toplamı 9'un katı olacak şekilde A'nın değeri bulunur. 18 zaten 9'un katı olduğu için, A=0 ile devam edilebilir.
✅ Bu durumda A rakamı 0'dır. Sayı 5670 olur ve rakamları toplamı 18'dir, bu da 9'un katıdır.
Örnek 8:
EBOB ve EKOK Problemleri
Bir manav elindeki portakalları 12'şerli grupladığında 5 portakal artıyor, 15'erli grupladığında ise 8 portakal artıyor. Manavın elindeki portakal sayısı en az kaç olabilir?
👉 Bu tür problemler, sayının belirli bir sayıya bölümünden kalanı ifade eder ve EKOK ile çözülür.
Bir manav elindeki portakalları 12'şerli grupladığında 5 portakal artıyor, 15'erli grupladığında ise 8 portakal artıyor. Manavın elindeki portakal sayısı en az kaç olabilir?
👉 Bu tür problemler, sayının belirli bir sayıya bölümünden kalanı ifade eder ve EKOK ile çözülür.
Çözüm:
1. Soruyu matematiksel olarak ifade edelim:
Portakal sayısı \( P \) olsun.
\( P \equiv 5 \pmod{12} \) (P'nin 12'ye bölümünden kalan 5)
\( P \equiv 8 \pmod{15} \) (P'nin 15'e bölümünden kalan 8)
2. Kalanları, bölene ekleyerek ortak bir sayı elde etmeye çalışalım:
* İlk durumda, 5 portakal artıyor. Eğer 7 portakal daha olsaydı, 12'şerli gruplar tam olurdu. Yani \( P + 7 \) sayısı 12'nin katı olurdu.
* İkinci durumda, 8 portakal artıyor. Eğer 7 portakal daha olsaydı, 15'erli gruplar tam olurdu. Yani \( P + 7 \) sayısı 15'in katı olurdu.
3. Bu durumda, \( P + 7 \) sayısı hem 12'nin hem de 15'in ortak katı olmalıdır. En az portakal sayısı sorulduğu için, \( P + 7 \) sayısının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
4. 12 ve 15'in asal çarpanlarını bulalım:
* \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
* \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
5. EKOK(12, 15) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
6. Demek ki \( P + 7 = 60 \) olmalıdır.
7. \( P \) sayısını bulmak için 7'yi karşıya atalım:
\( P = 60 - 7 = 53 \)
✅ Manavın elindeki portakal sayısı en az 53 olabilir.
Portakal sayısı \( P \) olsun.
\( P \equiv 5 \pmod{12} \) (P'nin 12'ye bölümünden kalan 5)
\( P \equiv 8 \pmod{15} \) (P'nin 15'e bölümünden kalan 8)
2. Kalanları, bölene ekleyerek ortak bir sayı elde etmeye çalışalım:
* İlk durumda, 5 portakal artıyor. Eğer 7 portakal daha olsaydı, 12'şerli gruplar tam olurdu. Yani \( P + 7 \) sayısı 12'nin katı olurdu.
* İkinci durumda, 8 portakal artıyor. Eğer 7 portakal daha olsaydı, 15'erli gruplar tam olurdu. Yani \( P + 7 \) sayısı 15'in katı olurdu.
3. Bu durumda, \( P + 7 \) sayısı hem 12'nin hem de 15'in ortak katı olmalıdır. En az portakal sayısı sorulduğu için, \( P + 7 \) sayısının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.
4. 12 ve 15'in asal çarpanlarını bulalım:
* \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
* \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)
5. EKOK(12, 15) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
6. Demek ki \( P + 7 = 60 \) olmalıdır.
7. \( P \) sayısını bulmak için 7'yi karşıya atalım:
\( P = 60 - 7 = 53 \)
✅ Manavın elindeki portakal sayısı en az 53 olabilir.
Örnek 9:
Çubukları Birleştirme Problemi
Bir marangoz, 45 cm ve 60 cm uzunluğunda iki farklı türde ahşap çubuğu, hiç artmayacak ve en kısa sürede kullanmak şartıyla eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Marangoz bu parçaları en fazla kaç cm uzunluğunda kesebilir?
👉 Bu problem, iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmayı gerektirir.
Bir marangoz, 45 cm ve 60 cm uzunluğunda iki farklı türde ahşap çubuğu, hiç artmayacak ve en kısa sürede kullanmak şartıyla eşit uzunlukta parçalara ayırmak istiyor. Marangoz bu parçaları en fazla kaç cm uzunluğunda kesebilir?
👉 Bu problem, iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmayı gerektirir.
Çözüm:
1. Marangozun ahşap çubukları eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde kesebilmesi için, kesilecek parçanın uzunluğu her iki çubuğun da böleni olmalıdır.
2. Soruda "en fazla kaç cm uzunluğunda kesebilir" ifadesi, bu ortak bölenlerin en büyüğünü (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir.
3. 45 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.
4. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 45 için:
\( 45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1 \)
* 60 için:
\( 60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
5. EBOB'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız:
* Ortak asal çarpanlar: 3 ve 5.
* 3'ün en küçük üssü: \( 3^1 \)
* 5'in en küçük üssü: \( 5^1 \)
6. EBOB(45, 60) = \( 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15 \)
✅ Marangoz bu parçaları en fazla 15 cm uzunluğunda kesebilir. Bu durumda 45 cm'lik çubuktan 3 parça, 60 cm'lik çubuktan ise 4 parça elde eder.
2. Soruda "en fazla kaç cm uzunluğunda kesebilir" ifadesi, bu ortak bölenlerin en büyüğünü (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir.
3. 45 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.
4. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
* 45 için:
\( 45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^1 \)
* 60 için:
\( 60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)
5. EBOB'u bulmak için, her iki asal çarpan ayrımında da ortak olan asal çarpanların en küçük üslü olanlarını alırız:
* Ortak asal çarpanlar: 3 ve 5.
* 3'ün en küçük üssü: \( 3^1 \)
* 5'in en küçük üssü: \( 5^1 \)
6. EBOB(45, 60) = \( 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15 \)
✅ Marangoz bu parçaları en fazla 15 cm uzunluğunda kesebilir. Bu durumda 45 cm'lik çubuktan 3 parça, 60 cm'lik çubuktan ise 4 parça elde eder.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-carpanlar-ve-katlar/sorular