💡 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Çözümlü Örnekler

Bu soruda, sayının 2, 5 ve 10 ile aynı anda tam bölünebilmesi isteniyor. Hadi adım adım inceleyelim:

• 👉 Bir sayının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 olması gerekir. Verilen sayıda birler basamağı zaten 0'dır. Bu durumda \( b \) rakamının değeri bu kuraldan etkilenmez.
• 👉 Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir. Sayımızın birler basamağı 0 olduğu için bu kural da sağlanır.
• 👉 Bir sayının 2 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının çift (0, 2, 4, 6, 8) olması gerekir. Sayımızın birler basamağı 0 olduğu için bu kural da sağlanır.
• ✅ Görüldüğü gibi, sayının birler basamağındaki 0 rakamı, bu üç kuralı da aynı anda sağlamaktadır. Bu durumda \( b \) rakamının 0 olması gerektiğini zaten biliyoruz.
• 📌 \( a \) rakamı ise sayının 2, 5 veya 10 ile bölünebilmesini etkilemez. Bu nedenle \( a \) yerine 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarından herhangi biri gelebilir.

Sonuç olarak, \( b = 0 \) olmalı, \( a \) ise her rakam olabilir.

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir.

• 👉 Sayımızdaki rakamları toplayalım: \( 7 + x + 2 + 4 = 13 + x \).
• 👉 Bu toplamın 3'ün katı olması gerekiyor. Yani \( 13 + x \) ifadesi 3'ün katı olmalı.
• 👉 \( x \) bir rakam olduğu için 0 ile 9 arasında değerler alabilir.
• 📌 Deneyelim:
  • Eğer \( x = 0 \) ise \( 13 + 0 = 13 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 1 \) ise \( 13 + 1 = 14 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 2 \) ise \( 13 + 2 = 15 \) (3'ün katı! ✅).
  • Eğer \( x = 3 \) ise \( 13 + 3 = 16 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 4 \) ise \( 13 + 4 = 17 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 5 \) ise \( 13 + 5 = 18 \) (3'ün katı! ✅).
  • Eğer \( x = 6 \) ise \( 13 + 6 = 19 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 7 \) ise \( 13 + 7 = 20 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( x = 8 \) ise \( 13 + 8 = 21 \) (3'ün katı! ✅).
  • Eğer \( x = 9 \) ise \( 13 + 9 = 22 \) (3'ün katı değil).
• 👉 \( x \) yerine gelebilecek rakamlar 2, 5 ve 8'dir.
• ✅ Bu rakamların toplamı: \( 2 + 5 + 8 = 15 \).

Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'ün katı olması gerekir.

• 👉 Sayımızın son iki basamağı \( b4 \) şeklindedir.
• 👉 Bu durumda \( b4 \) sayısının 4'ün katı olması gerekmektedir.
• 📌 \( b \) bir rakam olduğu için 0 ile 9 arasında değerler alabiliriz. Deneyelim:
  • \( b = 0 \) ise \( 04 = 4 \) (4'ün katı! ✅)
  • \( b = 1 \) ise \( 14 \) (4'ün katı değil)
  • \( b = 2 \) ise \( 24 \) (4'ün katı! ✅)
  • \( b = 3 \) ise \( 34 \) (4'ün katı değil)
  • \( b = 4 \) ise \( 44 \) (4'ün katı! ✅)
  • \( b = 5 \) ise \( 54 \) (4'ün katı değil)
  • \( b = 6 \) ise \( 64 \) (4'ün katı! ✅)
  • \( b = 7 \) ise \( 74 \) (4'ün katı değil)
  • \( b = 8 \) ise \( 84 \) (4'ün katı! ✅)
  • \( b = 9 \) ise \( 94 \) (4'ün katı değil)
• 👉 \( b \) yerine gelebilecek rakamlar 0, 2, 4, 6 ve 8'dir.
• ✅ Toplamda 5 farklı rakam gelebilir.

Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 3'e tam bölünebilmesi gerekir.

• 👉 İlk olarak 2 ile bölünebilme kuralına bakalım: Sayının birler basamağı çift olmalıdır. \( 4k7m0 \) sayısının birler basamağı 0 olduğu için 2 ile tam bölünebilir. Bu kural \( m \) rakamının 0 olmasını sağlar.
• 👉 Şimdi 3 ile bölünebilme kuralına bakalım: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  • Rakamları toplamı: \( 4 + k + 7 + m + 0 \)
  • \( m = 0 \) olduğu için: \( 4 + k + 7 + 0 + 0 = 11 + k \)
  • Bu toplamın 3'ün katı olması gerekir.
• 📌 \( k \) bir rakam olduğu için 0 ile 9 arasında değerler alabiliriz. \( 11 + k \) ifadesinin 3'ün katı olmasını sağlayacak en büyük \( k \) değerini arıyoruz:
  • \( k = 0 \Rightarrow 11 \) (3'ün katı değil)
  • \( k = 1 \Rightarrow 12 \) (3'ün katı! ✅)
  • \( k = 2 \Rightarrow 13 \)
  • \( k = 3 \Rightarrow 14 \)
  • \( k = 4 \Rightarrow 15 \) (3'ün katı! ✅)
  • \( k = 5 \Rightarrow 16 \)
  • \( k = 6 \Rightarrow 17 \)
  • \( k = 7 \Rightarrow 18 \) (3'ün katı! ✅)
  • \( k = 8 \Rightarrow 19 \)
  • \( k = 9 \Rightarrow 20 \)
• 👉 \( k \) yerine gelebilecek rakamlar 1, 4 ve 7'dir.
• ✅ Bu rakamlar arasında en büyüğü 7'dir.

Bir sayının 15 ile tam bölünebilmesi için hem 3'e hem de 5'e tam bölünebilmesi gerekir. Çünkü 3 ve 5, 15'in aralarında asal çarpanlarıdır.

• 👉 İlk olarak 5 ile bölünebilme kuralına bakalım: Sayının birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
  • Bu durumda \( y \) rakamı 0 veya 5 olabilir.
• 👉 Şimdi 3 ile bölünebilme kuralına bakalım: Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  • Durum 1: \( y = 0 \) olsun.
    • Rakamları toplamı: \( 5 + x + 4 + 0 = 9 + x \).
    • \( 9 + x \) ifadesi 3'ün katı olmalıdır. \( x \) bir rakamdır.
    • \( x \) yerine gelebilecek rakamlar: 0, 3, 6, 9 (çünkü \( 9+0=9 \), \( 9+3=12 \), \( 9+6=15 \), \( 9+9=18 \) hepsi 3'ün katıdır).
  • Durum 2: \( y = 5 \) olsun.
    • Rakamları toplamı: \( 5 + x + 4 + 5 = 14 + x \).
    • \( 14 + x \) ifadesi 3'ün katı olmalıdır. \( x \) bir rakamdır.
    • \( x \) yerine gelebilecek rakamlar: 1, 4, 7 (çünkü \( 14+1=15 \), \( 14+4=18 \), \( 14+7=21 \) hepsi 3'ün katıdır).
• 👉 Her iki durumda da \( x \) için uygun değerler bulduk. Bizden \( x \) yerine gelebilecek en küçük rakam isteniyor.
• 📌 Durum 1'deki en küçük \( x \) değeri 0'dır. Durum 2'deki en küçük \( x \) değeri 1'dir.
• ✅ Bu değerler arasında en küçüğü 0'dır.

Şifremiz \( A3BC \) şeklinde ve 4 basamaklıdır.

• 👉 Kural 1: İlk iki basamak (A3), son iki basamak (BC) ile tam bölünmeli.
  • Yani \( 10A + 3 \) sayısı, \( 10B + C \) sayısına tam bölünmeli.
• 👉 Kural 2: Şifrenin tamamı (A3BC) 9 ile tam bölünmeli.
  • Rakamları toplamı 9'un katı olmalı: \( A + 3 + B + C \) toplamı 9'un katı olmalı.

Bizden \( A+B+C \) toplamının en küçük değeri isteniyor. \( A \) sıfırdan farklı bir rakamdır.
Önce 9 ile bölünebilme kuralını kullanalım. \( A+3+B+C \) toplamı 9'un katı olmalı.
Şifrenin ilk iki basamağı \( A3 \) (yani \( 10A+3 \)), son iki basamağı \( BC \) (yani \( 10B+C \)) ile tam bölünmelidir.
\( A \) en küçük 1 olabilir. Eğer \( A=1 \) ise ilk iki basamak 13 olur.
Eğer \( A=1 \) ise, \( 13 \) sayısı \( BC \) sayısına tam bölünmelidir. \( BC \) iki basamaklı bir sayı olmalıdır (en az 10, en fazla 99). 13 sayısı, sadece kendisinin katlarına bölünür. Bu durumda \( BC \) sayısı 13'ün kendisi veya 13'ün bir çarpanı olmalıdır. Ancak \( BC \) iki basamaklı bir sayı olduğu için, \( BC \) sayısı 13 olabilir.
Eğer \( BC = 13 \) ise, \( B=1 \) ve \( C=3 \) olur. Şimdi bu değerleri 9 ile bölünebilme kuralında yerine koyalım: \( A + 3 + B + C = 1 + 3 + 1 + 3 = 8 \). Bu toplam 9'un katı değil. Demek ki bu kombinasyon olmaz.
Başka bir ihtimal: \( A3 \) sayısı \( BC \) sayısına bölünüyorsa, \( BC \) sayısı \( A3 \)'ten küçük veya eşit olmalıdır (veya 1 olmalıdır).
En küçük \( A+B+C \) toplamını arıyoruz.
Diyelim ki \( BC = 1 \). Bu durumda \( B=0, C=1 \). Eğer \( B=0, C=1 \) ise, \( A3 \) sayısı 1'e tam bölünür (her sayı 1'e bölünür). Şimdi 9 ile bölünebilme kuralına bakalım: \( A + 3 + B + C = A + 3 + 0 + 1 = A + 4 \). Bu toplamın 9'un katı olması için \( A+4 \) ifadesinin 9 veya 18 gibi bir sayı olması gerekir.
Eğer \( A+4=9 \) ise \( A=5 \). Bu durumda \( A=5, B=0, C=1 \). Şifre: \( 5301 \). Kontrol edelim:

• İlk iki basamak (53), son iki basamağa (01 yani 1) tam bölünür mü? Evet, \( 53 \div 1 = 53 \). ✅
• Şifrenin tamamı (5301) 9 ile tam bölünür mü? Rakamları toplamı \( 5+3+0+1=9 \). Evet, 9'a tam bölünür. ✅

Bu durumda \( A=5, B=0, C=1 \) değerleri geçerlidir.
\( A+B+C \) toplamı: \( 5 + 0 + 1 = 6 \).
Daha küçük bir toplam olabilir mi? \( A \) en az 1 olabilir. Eğer \( A=1 \) olsaydı, \( BC \) sayısı 13'ün bir böleni olmalıydı. 13'ün bölenleri 1 ve 13'tür. Eğer \( BC=1 \) ise \( B=0, C=1 \). \( A+B+C = 1+0+1 = 2 \). Rakamları toplamı \( A+3+B+C = 1+3+0+1 = 5 \), 9'un katı değil. Eğer \( BC=13 \) ise \( B=1, C=3 \). \( A+B+C = 1+1+3 = 5 \). Rakamları toplamı \( A+3+B+C = 1+3+1+3 = 8 \), 9'un katı değil.
Bu durumda \( A=5, B=0, C=1 \) için \( A+B+C=6 \) en küçük değer olarak gözükmektedir.
✅ Cevap: \( A+B+C = 6 \).

Fırıncının 1200 adet simidi var.

• 👉 12 adet (bir düzine) olarak paketleme:
  • Simitlerin tamamının 12'şerli paketlenebilmesi için toplam simit sayısının (1200'ün) 12 ile tam bölünebilmesi gerekir.
  • Bir sayının 12 ile tam bölünebilmesi için hem 3'e hem de 4'e tam bölünebilmesi gerekir (çünkü 3 ve 4 aralarında asal çarpanlardır).
  • 3 ile bölünebilme: 1200 sayısının rakamları toplamı \( 1+2+0+0 = 3 \). 3, 3'ün katı olduğu için 1200 sayısı 3 ile tam bölünür. ✅
  • 4 ile bölünebilme: 1200 sayısının son iki basamağı 00'dır. 00, 4'ün katı olduğu için 1200 sayısı 4 ile tam bölünür. ✅
  • Hem 3'e hem de 4'e tam bölündüğü için 1200 sayısı 12'ye tam bölünür. Yani 12'şerli paketlenebilir.
• 👉 10 adet (bir deste) olarak paketleme:
  • Simitlerin tamamının 10'arli paketlenebilmesi için toplam simit sayısının (1200'ün) 10 ile tam bölünebilmesi gerekir.
  • Bir sayının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 olması gerekir.
  • 1200 sayısının birler basamağı 0'dır. ✅
  • Bu nedenle 1200 sayısı 10 ile tam bölünür. Yani 10'arli paketlenebilir.

✅ Sonuç olarak, fırıncı 1200 adet simidi hem 12'şerli hem de 10'arli olarak hiç artmayacak şekilde paketleyebilir.

Verilen sayı \( 6x4y2 \).

• 👉 8 ile bölümünden kalan 2:
  • Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç basamağının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
  • Yani \( 4y2 \) sayısının 8 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
  • Bu durumda \( 4y2 - 2 \) sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir. Yani \( 4y0 \) sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir.
  • \( y \) yerine gelebilecek rakamları deneyelim:
    • \( y = 0 \Rightarrow 400 \) (8'e tam bölünür: \( 400 \div 8 = 50 \). ✅)
    • \( y = 1 \Rightarrow 410 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 2 \Rightarrow 420 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 3 \Rightarrow 430 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 4 \Rightarrow 440 \) (8'e tam bölünür: \( 440 \div 8 = 55 \). ✅)
    • \( y = 5 \Rightarrow 450 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 6 \Rightarrow 460 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 7 \Rightarrow 470 \) (8'e bölünmez)
    • \( y = 8 \Rightarrow 480 \) (8'e tam bölünür: \( 480 \div 8 = 60 \). ✅)
    • \( y = 9 \Rightarrow 490 \) (8'e bölünmez)
  • Demek ki, \( y \) yerine 0, 4 veya 8 rakamları gelebilir.
• 👉 3 ile tam bölünebilme:
  • Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  • Rakamları toplamı: \( 6 + x + 4 + y + 2 = 12 + x + y \).
  • Bu toplamın 3'ün katı olması gerekir.
• Şimdi \( y \) için bulduğumuz değerleri bu denklemde yerine koyalım:
  • Durum 1: \( y = 0 \) ise
    • \( 12 + x + 0 = 12 + x \). Bu ifadenin 3'ün katı olması gerekir.
    • \( x \) yerine 0, 3, 6, 9 gelebilir (çünkü \( 12+0=12 \), \( 12+3=15 \), \( 12+6=18 \), \( 12+9=21 \) hepsi 3'ün katıdır).
  • Durum 2: \( y = 4 \) ise
    • \( 12 + x + 4 = 16 + x \). Bu ifadenin 3'ün katı olması gerekir.
    • \( x \) yerine 2, 5, 8 gelebilir (çünkü \( 16+2=18 \), \( 16+5=21 \), \( 16+8=24 \) hepsi 3'ün katıdır).
  • Durum 3: \( y = 8 \) ise
    • \( 12 + x + 8 = 20 + x \). Bu ifadenin 3'ün katı olması gerekir.
    • \( x \) yerine 1, 4, 7 gelebilir (çünkü \( 20+1=21 \), \( 20+4=24 \), \( 20+7=27 \) hepsi 3'ün katıdır).
• 👉 \( x \) yerine yazılabilecek tüm farklı rakamları bir araya getirelim:
  • Durum 1'den: \( \{0, 3, 6, 9\} \)
  • Durum 2'den: \( \{2, 5, 8\} \)
  • Durum 3'ten: \( \{1, 4, 7\} \)
• ✅ Bu kümelerin birleşimi: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \). Yani \( x \) yerine 10 farklı rakam gelebilir.