📄 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan 2 ise, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
Sayıdaki rakamların toplamı: \(2+1+a+4+b+5 = 12+a+b\).
Bu toplamın 9 ile bölümünden kalan 2 ise, \(12+a+b \equiv 2 \pmod{9}\) olmalıdır.
Bu durumda \(12+a+b-2\) yani \(10+a+b\) sayısı 9'un tam katı olmalıdır.
\(a\) ve \(b\) birer rakam olduğundan, \(0 \le a \le 9\) ve \(0 \le b \le 9\) eşitsizlikleri geçerlidir.
Bu durumda \(a+b\) toplamı en az \(0+0=0\) ve en çok \(9+9=18\) olabilir.
\(10+a+b\) ifadesinin alabileceği değerler aralığı \(10+0=10\) ile \(10+18=28\) arasındadır.
Bu aralıkta 9'un katı olan sayılar 18 ve 27'dir.

Durum 1: \(10+a+b = 18\) ise \(a+b=8\).
Bu, \(a\) ve \(b\) rakamları için mümkündür (örneğin \(a=0, b=8\) veya \(a=1, b=7\) vb.). Bu, \(a+b\)'nin alabileceği en küçük değerdir.

Durum 2: \(10+a+b = 27\) ise \(a+b=17\).
Bu da \(a\) ve \(b\) rakamları için mümkündür (örneğin \(a=8, b=9\) veya \(a=9, b=8\)). Bu, \(a+b\)'nin alabileceği en büyük değerdir.

Sonuç olarak, \(a+b\) toplamının alabileceği en küçük değer 8, en büyük değer 17'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayı 12 ile tam bölünebiliyorsa, hem 3 hem de 4 ile tam bölünmelidir. Çünkü 3 ve 4 aralarında asal sayılardır ve çarpımları 12'dir.

1. 4 ile bölünebilme kuralı: Sayının son iki basamağının oluşturduğu \(y4\) sayısı 4'ün tam katı olmalıdır.
Buna göre \(y\) yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamları yazılabilir.

2. 3 ile bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamı \(x+3+y+4 = x+y+7\) 3'ün tam katı olmalıdır.

Şimdi \(y\)'nin alabileceği değerlere göre \(x\)'i inceleyelim:

* Eğer \(y=0\) ise, \(x+0+7 = x+7\) 3'ün katı olmalı. \(x\) için 2, 5, 8 değerleri yazılabilir.
* Eğer \(y=2\) ise, \(x+2+7 = x+9\) 3'ün katı olmalı. \(x\) için 0, 3, 6, 9 değerleri yazılabilir. Ancak \(x\) dört basamaklı sayının ilk basamağı olduğu için 0 olamaz. Dolayısıyla \(x\) için 3, 6, 9 değerleri yazılabilir.
* Eğer \(y=4\) ise, \(x+4+7 = x+11\) 3'ün katı olmalı. \(x\) için 1, 4, 7 değerleri yazılabilir.
* Eğer \(y=6\) ise, \(x+6+7 = x+13\) 3'ün katı olmalı. \(x\) için 2, 5, 8 değerleri yazılabilir.
* Eğer \(y=8\) ise, \(x+8+7 = x+15\) 3'ün katı olmalı. \(x\) için 0, 3, 6, 9 değerleri yazılabilir. Ancak \(x\) ilk basamak olduğu için 0 olamaz. Dolayısıyla \(x\) için 3, 6, 9 değerleri yazılabilir.

\(x\)'in alabileceği tüm farklı değerler kümesi: \({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}\).
Bu değerlerin toplamı: \(1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45\).

💡 Çözüm Adımları:

Bir doğal sayının 36 ile tam bölünebilmesi için hem 4 ile hem de 9 ile tam bölünmesi gerekir. Bu kural, 4 ve 9'un aralarında asal olması ve çarpımlarının 36 olması nedeniyle geçerlidir.

Verilen sayı \(8A2B\) dört basamaklı bir sayıdır.

1. 4 ile bölünebilme kuralı: Sayının son iki basamağının oluşturduğu \(2B\) sayısı 4'ün tam katı olmalıdır. Buna göre \(B\) yerine 0, 4, 8 rakamları yazılabilir.

2. 9 ile bölünebilme kuralı: Sayının rakamları toplamı \(8+A+2+B = 10+A+B\) 9'un tam katı olmalıdır.

Şimdi \(B\)'nin alabileceği değerlere göre \(A\)'yı inceleyelim:

* Durum 1: \(B=0\)
Rakamlar toplamı \(10+A+0 = 10+A\). Bu toplam 9'un katı olmalıdır.
\(10+A = 18\) olabilir (çünkü \(A\) bir rakamdır ve \(A \ge 0\)).
Buradan \(A=8\) bulunur.

* Durum 2: \(B=4\)
Rakamlar toplamı \(10+A+4 = 14+A\). Bu toplam 9'un katı olmalıdır.
\(14+A = 18\) olabilir.
Buradan \(A=4\) bulunur.

* Durum 3: \(B=8\)
Rakamlar toplamı \(10+A+8 = 18+A\). Bu toplam 9'un katı olmalıdır.
\(18+A = 18\) olabilir (\(A=0\) için).
\(18+A = 27\) olabilir (\(A=9\) için).
Buradan \(A=0\) veya \(A=9\) bulunur.

\(A\) yerine yazılabilecek tüm rakamlar: \({0, 4, 8, 9}\).
Bu rakamlar arasından en büyük olanı 9'dur.