💡 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Testi Çözümlü Örnekler

Bir sayının 2 ile tam bölünüp bölünmediğini anlamak için sadece birler basamağına bakarız.

• 123 sayısının birler basamağı 3'tür (tek rakam). Bu yüzden 2 ile tam bölünmez.
• 456 sayısının birler basamağı 6'dır (çift rakam). Bu yüzden 2 ile tam bölünür. ✅
• 789 sayısının birler basamağı 9'dur (tek rakam). Bu yüzden 2 ile tam bölünmez.
• 101 sayısının birler basamağı 1'dir (tek rakam). Bu yüzden 2 ile tam bölünmez.

Sonuç olarak, 456 sayısı 2 ile tam bölünür. 💡

5 ile bölünebilme kuralı için sayının birler basamağına odaklanmalıyız.

• 345 sayısının birler basamağı 5'tir. Bu yüzden 5 ile tam bölünür. ✅
• 678 sayısının birler basamağı 8'dir. Bu yüzden 5 ile tam bölünmez.
• 1000 sayısının birler basamağı 0'dır. Bu yüzden 5 ile tam bölünür. ✅
• 995 sayısının birler basamağı 5'tir. Bu yüzden 5 ile tam bölünür. ✅

Toplamda 3 tane sayı 5 ile tam bölünür. 👉

Soruda verilen \( 7A \) sayısının 10 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 olması gerektiğini biliyoruz. Bu durumda A = 0 olmalıdır. 💡

Oluşan sayı 70'tir. \( 70 \) sayısı 10 ile tam bölünür.

Şimdi \( AB \) sayısını oluşturacağız. Burada A'nın 0 olduğunu bulduk. B ise iki basamaklı farklı doğal sayılar olduğu için B'nin alabileceği en büyük değeri bulmalıyız.

• İki basamaklı sayılar 10'dan başlar ve 99'da biter.
• A'nın 0 olduğunu biliyoruz.
• B'nin, A'dan farklı olması gerekiyor.
• Bu durumda B'nin alabileceği en büyük değer 9'dur. (Çünkü B bir rakamdır ve \( AB \) iki basamaklı bir sayıdır.)

Yani, \( AB \) sayısı \( 70 \) olamaz çünkü A ve B farklı olmalıydı. Aslında soru \( AB \) şeklinde değil, \( A \) ve \( B \) rakamları ile oluşan iki basamaklı bir sayı olarak düşünülmeli. Ancak sorunun yazımında bir hata olabilir. Eğer \( 7A \) sayısı 10 ile bölünüyorsa, A=0'dır. \( AB \) iki basamaklı bir sayı ise ve A=0 ise, bu sayı 0B olur ki bu da tek basamaklı bir sayıdır. Soruyu şu şekilde revize edelim: "7A iki basamaklı sayısı 10 ile tam bölünebilmektedir. B ise 0'dan farklı bir rakamdır. Oluşturulabilecek en büyük 7B sayısını bulunuz."

Eğer 7A sayısı 10 ile tam bölünüyorsa, A=0'dır. Sayı 70 olur. ✅

B, 0'dan farklı bir rakam olduğuna göre, B'nin alabileceği en büyük değer 9'dur. 💡

Oluşturulacak en büyük 7B sayısı 79'dur. 👉

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerektiğini biliyoruz. 💡

\( 4x7 \) sayısının rakamları toplamı: \( 4 + x + 7 = 11 + x \)

Bu toplamın 3'ün katı olması gerekiyor. x bir rakam olduğu için 0 ile 9 arasında değer alabilir.

• Eğer \( 11 + x = 12 \) ise, \( x = 1 \) olur. (12, 3'ün katıdır) ✅
• Eğer \( 11 + x = 15 \) ise, \( x = 4 \) olur. (15, 3'ün katıdır) ✅
• Eğer \( 11 + x = 18 \) ise, \( x = 7 \) olur. (18, 3'ün katıdır) ✅
• Eğer \( 11 + x = 21 \) ise, \( x = 10 \) olur. (Ancak x bir rakam olmalı, bu yüzden bu olamaz.)

Dolayısıyla, x'in alabileceği değerler 1, 4 ve 7'dir. 👉

Bu değerlerin toplamı: \( 1 + 4 + 7 = 12 \)'dir. 💯

9 ile bölünebilme kuralı, 3 ile bölünebilme kuralına benzer. Sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır. 💡

\( 5y2 \) sayısının rakamları toplamı: \( 5 + y + 2 = 7 + y \)

Bu toplamın 9'un katı olması gerekiyor. y bir rakamdır (0-9 arası).

• Eğer \( 7 + y = 9 \) ise, \( y = 2 \) olur. (9, 9'un katıdır) ✅
• Eğer \( 7 + y = 18 \) ise, \( y = 11 \) olur. (Ancak y bir rakam olmalı, bu yüzden bu olamaz.)

Dolayısıyla, y'nin alabileceği tek değer 2'dir. 👉

4 ile bölünebilme kuralı için sayının son iki basamağına bakmamız yeterlidir. Bu iki basamaklı sayının 4'ün katı olup olmadığını kontrol edeceğiz. 💯

• 3456: Son iki basamak 56'dır. \( 56 \div 4 = 14 \). Yani 56, 4'ün katıdır. Bu sayı 4 ile tam bölünür. ✅
• 7890: Son iki basamak 90'dır. \( 90 \div 4 = 22 \) kalan 2. Yani 90, 4'ün katı değildir. Bu sayı 4 ile tam bölünmez.
• 1234: Son iki basamak 34'tür. \( 34 \div 4 = 8 \) kalan 2. Yani 34, 4'ün katı değildir. Bu sayı 4 ile tam bölünmez.
• 5672: Son iki basamak 72'dir. \( 72 \div 4 = 18 \). Yani 72, 4'ün katıdır. Bu sayı 4 ile tam bölünür. ✅

Sonuç olarak, 3456 ve 5672 sayıları 4 ile tam bölünür. 👉

Bu soruyu çözmek için 6 ile bölünebilme kuralını kullanacağız. Bu kural, sayının hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünmesini gerektirir. 💡

1. Adım: 2 ile Bölünebilme Kontrolü

• \( 3A5B \) sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için birler basamağı (B) çift bir rakam olmalıdır: 0, 2, 4, 6, 8.

2. Adım: 3 ile Bölünebilme Kontrolü

• \( 3A5B \) sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır: \( 3 + A + 5 + B = 8 + A + B \).

3. Adım: A ve B'nin Farklı Rakamlar Olması

• Soruda A ve B'nin birbirinden farklı rakamlar olduğu belirtilmiş.

4. Adım: A'nın En Büyük Değerini Bulma

Amacımız A'nın alabileceği en büyük değeri bulmak. Bu yüzden B için mümkün olan en küçük çift rakamları deneyerek başlayacağız.

• B = 0 deneyelim: Rakamlar toplamı \( 8 + A + 0 = 8 + A \). Bu toplamın 3'ün katı olması gerekiyor. A bir rakam ve A ≠ B (yani A ≠ 0) olmalı.
• Eğer \( 8 + A = 9 \) ise, \( A = 1 \). (A ≠ 0, A ≠ B. Uygun)
• Eğer \( 8 + A = 12 \) ise, \( A = 4 \). (A ≠ 0, A ≠ B. Uygun)
• Eğer \( 8 + A = 15 \) ise, \( A = 7 \). (A ≠ 0, A ≠ B. Uygun)
• Eğer \( 8 + A = 18 \) ise, \( A = 10 \). (A rakam değil. Uygun değil.)
• Bu durumda, B=0 iken A'nın alabileceği en büyük değer 7'dir.

Şimdi diğer çift rakamları da kontrol edelim ki gerçekten en büyük değeri bulduğumuzdan emin olalım:

• B = 2 deneyelim: Rakamlar toplamı \( 8 + A + 2 = 10 + A \). A ≠ 2 olmalı.
• Eğer \( 10 + A = 12 \) ise, \( A = 2 \). (Ancak A ≠ B olmalıydı, bu yüzden A=2 olamaz.)
• Eğer \( 10 + A = 15 \) ise, \( A = 5 \). (A ≠ 2, A ≠ B. Uygun)
• Eğer \( 10 + A = 18 \) ise, \( A = 8 \). (A ≠ 2, A ≠ B. Uygun)
• Bu durumda, B=2 iken A'nın alabileceği en büyük değer 8'dir.

8, 7'den daha büyük olduğu için, şu ana kadarki en büyük A değeri 8'dir.

Diğer çift rakamları da (4, 6, 8) denemeye devam edebiliriz ama A'nın alabileceği en büyük değeri aradığımız için, B'yi küçük tutarak A'yı büyütmeye çalışmak mantıklıdır. 8 > 7 olduğu için, A=8 ve B=2 durumunu inceleyelim. Sayı 3852 olur. 3852 hem 2'ye (son rakamı 2) hem de 3'e (3+8+5+2=18, 18 3'ün katı) bölünür. A ve B farklıdır (8 ve 2). Bu durumda A'nın alabileceği en büyük değer 8'dir. ✅

11 ile bölünebilme kuralını uygulayalım: Sağdan başlayarak rakamları sırasıyla toplayıp çıkaracağız. 💡

Sayı: \( 7x3y2 \)

• Sağdan başlayarak: \( +2 - y + 3 - x + 7 \)

Bu işlemin sonucu 11'in katı olmalıdır.

İfadeyi düzenleyelim: \( (2 + 3 + 7) - (y + x) = 12 - (x + y) \)

Bu sonucun 11'in katı olması gerekiyor. Yani \( 12 - (x + y) \) = \( 11k \) (burada k bir tam sayıdır).

x ve y rakam oldukları için 0 ile 9 arasında değer alırlar. Bu nedenle \( x + y \) toplamı en az 0 (x=0, y=0) ve en fazla 18 (x=9, y=9) olabilir.

Şimdi \( 12 - (x + y) \) ifadesinin 11'in katı olmasını sağlayacak \( x + y \) değerlerini bulalım:

• Eğer \( 12 - (x + y) = 0 \) ise, \( x + y = 12 \). (Bu toplam 0 ile 18 arasında, yani mümkün) ✅
• Eğer \( 12 - (x + y) = 11 \) ise, \( x + y = 1 \). (Bu toplam 0 ile 18 arasında, yani mümkün) ✅
• Eğer \( 12 - (x + y) = -11 \) ise, \( x + y = 23 \). (Bu toplam 18'den büyük, yani mümkün değil.)

Dolayısıyla, \( x + y \) toplamının alabileceği değerler 1 ve 12'dir.

Soruda \( x + y \) toplamının en küçük değeri soruluyor. Bu değer 1'dir. 👉

Bu durumda öncelikle alacağınız para üstünü hesaplamamız gerekiyor. 💰

• Verilen Para: 200 TL
• Alışveriş Tutarı: 125 TL
• Para Üstü = Verilen Para - Alışveriş Tutarı
• Para Üstü = \( 200 - 125 \)
• Para Üstü = 75 TL ✅

Şimdi kontrol edelim: Para üstü olan 75 TL, 5 ile tam bölünebilir mi?

5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir.

75 sayısının birler basamağı 5'tir. Bu nedenle 75 sayısı 5 ile tam bölünür. 💯

Yani, bu senaryoda para üstünüzün 5 ile tam bölünebilen bir tutar olması durumu gerçekleşir. 👉