📄 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özellikleriyle Kalan Bulma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağıdır. \(4A3B\) sayısının 10 ile bölümünden kalan 6 ise, \(B=6\) olmalıdır.\

Sayı \(4A36\) olur.\

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. \(4A36\) sayısının rakamları toplamı \(4+A+3+6 = 13+A\) olur.\

\(13+A\) ifadesinin 3'ün katı olması için \(A\) yerine gelebilecek rakamlar şunlardır:\

- Eğer \(A=2\) ise \(13+2=15\) (3'ün katı)\

- Eğer \(A=5\) ise \(13+5=18\) (3'ün katı)\

- Eğer \(A=8\) ise \(13+8=21\) (3'ün katı)\

\(A\) yerine yazılabilecek rakamlar 2, 5 ve 8'dir.\

Bu rakamların toplamı \(2+5+8=15\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

1. \(3A7B\) sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 ise, \(B\) rakamı 2 veya 7 olmalıdır.\

2. \(3A7B\) sayısı 4 ile bölümünden kalan 0 ise, sayının son iki basamağının oluşturduğu \(7B\) sayısı 4'ün katı olmalıdır.\

- Eğer \(B=2\) ise, \(72\) sayısı \(4 \times 18 = 72\) olduğundan 4'ün katıdır. Bu şartı sağlar.\

- Eğer \(B=7\) ise, \(77\) sayısı 4'ün katı değildir. Bu şartı sağlamaz.\

O halde, \(B=2\) olmalıdır.\

3. Sayı \(3A72\) haline gelir. Bu sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre, rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.\

Rakamları toplamı: \(3+A+7+2 = 12+A\).\

\(12+A\) ifadesinin 3'ün katı olması için \(A\) yerine gelebilecek rakamlar: 0, 3, 6, 9.\

4. Soruda \(A\) rakamının tek sayı olduğu belirtilmiştir.\

\(A\) için bulunan değerler arasından tek olanlar 3 ve 9'dur.\

Ancak soruda 'A değerini bulunuz' denilerek tek bir değer beklenmektedir. Bu durumda soruda bir eksiklik vardır. Genellikle bu tür sorularda 'en büyük' veya 'en küçük' gibi bir ek bilgi verilir. Eğer 'A'nın alabileceği en büyük tek değeri bulunuz' denseydi cevap 9 olurdu. Mevcut haliyle, \(A\) için iki olası tek değer (3 ve 9) bulunmaktadır. Ancak 10. sınıf müfredatında bu tür sorular genellikle tek bir cevaba yöneliktir. Eğer tek bir cevap isteniyorsa, sorunun daha spesifik olması gerekir. Bu durumda, \(A\) değerleri \(3\) ve \(9\) olabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgiye göre, \(x\) sayısının 7 ile bölümünden kalan 3'tür. Bunu modüler aritmetik ile şu şekilde ifade edebiliriz:\

\(x \equiv 3 \pmod{7}\)\

Bizden \((x+5)^2\) sayısının 7 ile bölümünden kalan isteniyor.\

Öncelikle \(x+5\) ifadesinin 7 ile bölümünden kalanı bulalım:\

\(x+5 \equiv 3+5 \pmod{7}\)\

\(x+5 \equiv 8 \pmod{7}\)\

8'in 7 ile bölümünden kalan 1 olduğu için:\

\(x+5 \equiv 1 \pmod{7}\)\

Şimdi bu ifadenin karesini alalım:\

\((x+5)^2 \equiv 1^2 \pmod{7}\)\

\((x+5)^2 \equiv 1 \pmod{7}\)\

Buna göre, \((x+5)^2\) sayısının 7 ile bölümünden kalan 1'dir.