🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Örnek 1: Rakamlar Toplamı ile Kalan Bulma 📌
Beş basamaklı \( 45789 \) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Beş basamaklı \( 45789 \) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Bu tür soruları çözmek için 9 ile bölünebilme kuralını hatırlayalım:
- 👉 Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana bakarız.
- Verilen sayı \( 45789 \).
- Rakamlarını toplayalım: \( 4 + 5 + 7 + 8 + 9 = 33 \).
- Şimdi bu toplam olan \( 33 \) sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.
- \( 33 \div 9 \): \( 33 = 3 \times 9 + 6 \).
- Kalan \( 6 \)'dır.
Örnek 2:
Örnek 2: Toplamın Kalanı ➕
\( A = 73 \) ve \( B = 48 \) sayıları veriliyor. \( (A+B) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
\( A = 73 \) ve \( B = 48 \) sayıları veriliyor. \( (A+B) \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Modüler aritmetik özelliklerini kullanarak bu tür soruları daha kolay çözebiliriz:
- 👉 İki sayının toplamının bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için, sayıların ayrı ayrı kalanlarını toplayıp, çıkan sonucun o sayıya bölümünden kalanını alabiliriz.
- Önce \( A \) sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 73 \div 5 \): \( 73 = 14 \times 5 + 3 \). Yani \( 73 \equiv 3 \pmod 5 \).
- Şimdi \( B \) sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 48 \div 5 \): \( 48 = 9 \times 5 + 3 \). Yani \( 48 \equiv 3 \pmod 5 \).
- Şimdi kalanları toplayalım: \( 3 + 3 = 6 \).
- Bu toplamın (6'nın) tekrar 5 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 6 \div 5 \): \( 6 = 1 \times 5 + 1 \). Yani \( 6 \equiv 1 \pmod 5 \).
Örnek 3:
Örnek 3: Çarpımın Kalanı ✖️
\( x = 124 \) ve \( y = 37 \) sayıları veriliyor. \( (x \times y) \) sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
\( x = 124 \) ve \( y = 37 \) sayıları veriliyor. \( (x \times y) \) sayısının 10 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Çarpma işleminde de benzer bir kural geçerlidir:
- 👉 İki sayının çarpımının bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için, sayıların ayrı ayrı kalanlarını çarpıp, çıkan sonucun o sayıya bölümünden kalanını alabiliriz.
- Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamdır.
- Önce \( x \) sayısının 10 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 124 \)'ün birler basamağı 4'tür. Yani \( 124 \equiv 4 \pmod{10} \).
- Şimdi \( y \) sayısının 10 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 37 \)'nin birler basamağı 7'dir. Yani \( 37 \equiv 7 \pmod{10} \).
- Şimdi kalanları çarpalım: \( 4 \times 7 = 28 \).
- Bu çarpımın (28'in) tekrar 10 ile bölümünden kalanı bulalım:
- \( 28 \)'in birler basamağı 8'dir. Yani \( 28 \equiv 8 \pmod{10} \).
Örnek 4:
Örnek 4: Kuvvetin Kalanı (Döngü Bulma) ⚡
\( 7^{2023} \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
\( 7^{2023} \) sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
Büyük kuvvetlerde kalan bulmak için bir döngü (periyot) olup olmadığını kontrol ederiz:
- 👉 \( 7 \) sayısının 5 ile bölümünden kalan \( 2 \)'dir. Yani \( 7 \equiv 2 \pmod 5 \).
- Şimdi \( 2 \) sayısının kuvvetlerinin 5 ile bölümünden kalanlarını inceleyelim:
- \( 2^1 \equiv 2 \pmod 5 \)
- \( 2^2 = 4 \equiv 4 \pmod 5 \)
- \( 2^3 = 8 \equiv 3 \pmod 5 \)
- \( 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod 5 \)
- \( 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod 5 \) (Tekrar etmeye başladı!)
- Gördüğümüz gibi, kalanlar \( 2, 4, 3, 1 \) şeklinde 4'lü bir döngü oluşturuyor.
- Kuvvetimiz \( 2023 \). Bu kuvveti döngü uzunluğu olan 4'e bölelim:
- \( 2023 \div 4 \): \( 2023 = 4 \times 505 + 3 \).
- Kalan \( 3 \) olduğu için, \( 7^{2023} \) sayısının 5 ile bölümünden kalan, döngüdeki 3. terime eşittir.
- Döngünün 3. terimi \( 3 \)'tür.
Örnek 5:
Örnek 5: Eksik Rakam Bulma 🕵️♀️
Dört basamaklı \( 5x72 \) sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, \( x \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Dört basamaklı \( 5x72 \) sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, \( x \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?
Çözüm:
3 ile bölünebilme kuralını ve kalan bilgisini kullanarak \( x \)'i bulalım:
- 👉 Bir sayının 3 ile bölümünden kalanı bulmak için, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana bakarız.
- Verilen sayı \( 5x72 \).
- Rakamlar toplamı: \( 5 + x + 7 + 2 = 14 + x \).
- Soruda, bu sayının 3 ile bölümünden kalan 1 olarak verilmiş. O halde rakamlar toplamının da 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır:
- \( 14 + x \equiv 1 \pmod 3 \)
- Şimdi \( 14 \)'ün 3 ile bölümünden kalanı bulalım: \( 14 = 4 \times 3 + 2 \). Yani \( 14 \equiv 2 \pmod 3 \).
- Bu değeri denklemde yerine yazalım: \( 2 + x \equiv 1 \pmod 3 \).
- \( x \equiv 1 - 2 \pmod 3 \)
- \( x \equiv -1 \pmod 3 \). Kalan negatif olamayacağı için -1'e 3 ekleriz: \( -1 + 3 = 2 \).
- Yani \( x \equiv 2 \pmod 3 \).
- \( x \) bir rakam olmalıdır (\( 0, 1, 2, ..., 9 \)). Bu şartı sağlayan \( x \) değerleri:
- \( x=2 \) (çünkü \( 2 \equiv 2 \pmod 3 \))
- \( x=5 \) (çünkü \( 5 = 1 \times 3 + 2 \equiv 2 \pmod 3 \))
- \( x=8 \) (çünkü \( 8 = 2 \times 3 + 2 \equiv 2 \pmod 3 \))
- \( x \) yerine yazılabilecek rakamların toplamı: \( 2 + 5 + 8 = 15 \).
Örnek 6:
Örnek 6: Dijital Saat ve Tekrar Eden Olaylar ⏰
Bir dijital saat her 4 saatte bir alarm çalacak şekilde ayarlanmıştır. Saat ilk kez 10:00'da alarm çaldığına göre, 74. alarm saat kaçta çalar? (Saatler 00:00 - 23:59 formatındadır.)
Bir dijital saat her 4 saatte bir alarm çalacak şekilde ayarlanmıştır. Saat ilk kez 10:00'da alarm çaldığına göre, 74. alarm saat kaçta çalar? (Saatler 00:00 - 23:59 formatındadır.)
Çözüm:
Bu bir tekrar eden olay problemidir ve modüler aritmetik ile çözülebilir:
- 👉 İlk alarm 10:00'da çalıyor.
- 74. alarmın çalması için, ilk alarmdan sonra 73 kez daha 4 saatlik bir periyot geçmesi gerekir. (Çünkü 1. alarm zaten çaldı, geriye 73 alarm kaldı).
- Toplam geçen süre: \( 73 \times 4 = 292 \) saat.
- Şu anki saat 10:00. Üzerine 292 saat eklememiz gerekiyor.
- Bir gün 24 saat olduğundan, 292 saatin kaç tam gün ve kaç saate denk geldiğini bulmak için 292'yi 24'e böleriz:
- \( 292 \div 24 \): \( 292 = 12 \times 24 + 4 \).
- Bu, 12 tam gün ve 4 saate eşittir.
- Tam günler saati etkilemez, çünkü 24 saat sonra yine aynı saate denk geliriz. Önemli olan kalan süredir.
- Başlangıç saati 10:00 idi. Üzerine kalan 4 saati ekleyelim:
- \( 10:00 + 4 \text{ saat} = 14:00 \).
Örnek 7:
Örnek 7: Paketleme ve Artan Ürünler 🥖
Bir fırıncı, günde 150 adet ekmek üretmektedir. Bu ekmekleri 8'li paketler halinde satmayı planlamaktadır. Gün sonunda kaç adet ekmek paketi hazırlanır ve kaç ekmek artar?
Bir fırıncı, günde 150 adet ekmek üretmektedir. Bu ekmekleri 8'li paketler halinde satmayı planlamaktadır. Gün sonunda kaç adet ekmek paketi hazırlanır ve kaç ekmek artar?
Çözüm:
Bu problem, bölme işleminin temel uygulamalarından biridir ve kalan kavramını doğrudan kullanır:
- 👉 Toplam ekmek sayısı: 150 adet.
- Her paketteki ekmek sayısı: 8 adet.
- Kaç tam paket hazırlanacağını bulmak için toplam ekmek sayısını paket başına düşen ekmek sayısına böleriz. Kalan ise artan ekmek sayısını verir.
- Bölme işlemini yapalım: \( 150 \div 8 \).
- \( 150 = 8 \times 18 + 6 \).
- Bu bölme işleminde:
- Bölüm (18), hazırlanacak tam paket sayısını gösterir.
- Kalan (6), paketlenemeyen, yani artan ekmek sayısını gösterir.
Örnek 8:
Örnek 8: Farklı Bölümlerde Kalanları Verilen Sayıyı Bulma 🤔
Bir \( x \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 3, 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, bu sayı en az kaçtır?
Bir \( x \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 3, 5 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, bu sayı en az kaçtır?
Çözüm:
Bu tür soruları çözmek için modüler aritmetik ve denklemleri birleştiririz:
- 1. Verilen bilgilere göre denklik ilişkilerini yazalım:
- \( x \equiv 3 \pmod 4 \)
- \( x \equiv 4 \pmod 5 \)
- 2. İlk denklemden \( x \) sayısını genel bir ifadeyle yazabiliriz:
- \( x = 4k + 3 \) (Burada \( k \) bir tam sayıdır.)
- 3. Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine yazalım:
- \( 4k + 3 \equiv 4 \pmod 5 \)
- 4. Denkliği çözmek için 3'ü karşıya atalım:
- \( 4k \equiv 4 - 3 \pmod 5 \)
- \( 4k \equiv 1 \pmod 5 \)
- 5. Şimdi \( k \) değerini bulmalıyız. 4'ün 5'e bölümünden kalan 4'tür. Hangi sayıyla 4'ü çarparsak 5'e bölümünden kalan 1 olur?
- \( k=1 \implies 4 \times 1 = 4 \equiv 4 \pmod 5 \)
- \( k=2 \implies 4 \times 2 = 8 \equiv 3 \pmod 5 \)
- \( k=3 \implies 4 \times 3 = 12 \equiv 2 \pmod 5 \)
- \( k=4 \implies 4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod 5 \) (Bulduk! ✅)
- Demek ki \( k \) sayısı 5 ile bölündüğünde 4 kalanını veren bir sayıdır. Yani \( k = 5m + 4 \) şeklinde yazılabilir (m bir tam sayı).
- 6. \( x = 4k + 3 \) ifadesinde \( k \) yerine \( 5m + 4 \) yazalım:
- \( x = 4(5m + 4) + 3 \)
- \( x = 20m + 16 + 3 \)
- \( x = 20m + 19 \)
- 7. Bizden bu sayının en az kaç olduğu isteniyor. En küçük değeri bulmak için \( m \) yerine en küçük tam sayı olan \( 0 \) yazalım:
- \( x = 20(0) + 19 = 19 \).
- 8. Kontrol edelim:
- \( 19 \div 4 = 4 \text{ kalan } 3 \) (Doğru)
- \( 19 \div 5 = 3 \text{ kalan } 4 \) (Doğru)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bolunebilme-ozelliklerini-kullanarak-kalan-bulma/sorular