📄 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme Özelliklerini Kullanarak Kalan Bulma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Sayı 4 ile tam bölünebiliyorsa, son iki basamağı olan \( y4 \) sayısının 4 ile tam bölünmesi gerekir. Bu durumda \( y \) yerine \( 0, 2, 4, 6, 8 \) rakamları gelebilir.
Sayı 3 ile bölümünden 2 kalanını verdiğine göre, rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Rakamları toplamı: \( 6+x+3+y+4 = 13+x+y \).
\( 13+x+y \equiv 2 \pmod{3} \).
\( 13 \equiv 1 \pmod{3} \) olduğu için, \( 1+x+y \equiv 2 \pmod{3} \).
\( x+y \equiv 1 \pmod{3} \).
Şimdi \( y \) için olası değerleri tek tek inceleyelim:
- Eğer \( y=0 \) ise, \( x+0 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{3} \). Bu durumda \( x \) yerine \( 1, 4, 7 \) gelebilir.
- Eğer \( y=2 \) ise, \( x+2 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv -1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv 2 \pmod{3} \). Bu durumda \( x \) yerine \( 2, 5, 8 \) gelebilir.
- Eğer \( y=4 \) ise, \( x+4 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x+1 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv 0 \pmod{3} \). Bu durumda \( x \) yerine \( 0, 3, 6, 9 \) gelebilir.
- Eğer \( y=6 \) ise, \( x+6 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{3} \). Bu durumda \( x \) yerine \( 1, 4, 7 \) gelebilir.
- Eğer \( y=8 \) ise, \( x+8 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x+2 \equiv 1 \pmod{3} \) \( \Rightarrow x \equiv 2 \pmod{3} \). Bu durumda \( x \) yerine \( 2, 5, 8 \) gelebilir.
\( x \) yerine gelebilecek tüm rakamlar kümesi: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
Bu rakamların toplamı: \( 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 \).

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayı 15 ile tam bölünüyorsa, hem 3 ile hem de 5 ile tam bölünmelidir.
Sayı 5 ile tam bölündüğü için \( b \) rakamı 0 veya 5 olmalıdır.
Durum 1: \( b=0 \).
Sayı \( 5a20 \) olur. Bu sayı 3 ile tam bölünmelidir. Rakamları toplamı \( 5+a+2+0 = 7+a \) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
\( 7+a = 3k \).
\( a \) yerine \( 2, 5, 8 \) rakamları gelebilir.
Durum 2: \( b=5 \).
Sayı \( 5a25 \) olur. Bu sayı 3 ile tam bölünmelidir. Rakamları toplamı \( 5+a+2+5 = 12+a \) ifadesi 3'ün katı olmalıdır.
\( 12+a = 3k \).
\( 12 \) zaten 3'ün katı olduğu için \( a \) yerine \( 0, 3, 6, 9 \) rakamları gelebilir.
\( a \) yerine gelebilecek tüm rakamlar: \( \{0, 2, 3, 5, 6, 8, 9\} \).
Bu rakamların toplamı: \( 0+2+3+5+6+8+9 = 33 \).

💡 Çözüm Adımları:

Sayının rakamları farklı olmalıdır.
Sayı 4 ile bölümünden 1 kalanını verdiğine göre, son iki basamağı olan \( 2y \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
\( 2y \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 ise, \( 2y \) sayısı \( 4k+1 \) şeklinde olmalıdır.
\( 21 \) (kalan 1), \( 25 \) (kalan 1), \( 29 \) (kalan 1).
Bu durumda \( y \) rakamı \( 1, 5, 9 \) olabilir.
Sayı 9 ile bölümünden 2 kalanını verdiğine göre, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
Rakamları toplamı: \( 7+x+2+y = 9+x+y \).
\( 9+x+y \equiv 2 \pmod{9} \).
\( x+y \equiv 2 \pmod{9} \). (Çünkü 9 mod 9 = 0)
Şimdi \( y \) için olası değerleri tek tek inceleyelim ve rakamları farklı olma koşulunu kontrol edelim:
- Eğer \( y=1 \) ise, \( x+1 \equiv 2 \pmod{9} \) \( \Rightarrow x \equiv 1 \pmod{9} \). Bu durumda \( x=1 \) olabilir. Ancak \( y=1 \) olduğu için rakamları farklı olma koşulu gereği \( x \) değeri 1 olamaz. Ayrıca sayının diğer rakamları 7 ve 2 olduğundan \( x \) bu rakamlardan da farklı olmalıdır.
- Eğer \( y=5 \) ise, \( x+5 \equiv 2 \pmod{9} \) \( \Rightarrow x \equiv -3 \pmod{9} \) \( \Rightarrow x \equiv 6 \pmod{9} \). Bu durumda \( x=6 \) olabilir.
Rakamları \( 7, 6, 2, 5 \) farklıdır. Bu durumda \( x=6 \) geçerlidir.
- Eğer \( y=9 \) ise, \( x+9 \equiv 2 \pmod{9} \) \( \Rightarrow x \equiv 2 \pmod{9} \). Bu durumda \( x=2 \) olabilir. Ancak sayının rakamları farklı olmalıydı (7, x, 2, y). \( 2 \) rakamı zaten sayının içinde olduğu için \( x \) değeri 2 olamaz.
Bu durumda sadece \( x=6 \) değeri geçerlidir.
Cevap: \( x=6 \).