🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme kurallarıyla kalan bulma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bölünebilme kurallarıyla kalan bulma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
345 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir.
- 345 sayısının rakamları toplamı: 3 + 4 + 5 = 12
- Şimdi 12 sayısını 3'e bölelim: 12 ÷ 3 = 4
- Kalan 0'dır.
Örnek 2:
789 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
- 789 sayısının rakamları toplamı: 7 + 8 + 9 = 24
- Şimdi 24 sayısını 9'a bölelim: 24 ÷ 9 = 2, kalan 6
- Kalan 6'dır.
Örnek 3:
1234 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakama bağlıdır.
- Eğer birler basamağı 0 veya 5 ise, kalan 0'dır.
- Eğer birler basamağı 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 ise, kalan o rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir.
- 1234 sayısının birler basamağındaki rakam 4'tür.
- 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan 4'tür.
Örnek 4:
23456 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 11 ile bölümünden kalanını bulmak için, sayının rakamlarını sağdan başlayarak sırayla +, -, +, - şeklinde işaretleyip toplarız.
- 23456 sayısında rakamlar: 6, 5, 4, 3, 2
- İşaretleyerek toplama: +6 - 5 + 4 - 3 + 2 = 4
- Elde ettiğimiz sonucu 11'e böleriz. Eğer sonuç negatif çıkarsa, pozitif olana kadar 11 ekleriz.
- 4 sayısının 11 ile bölümünden kalan 4'tür.
Örnek 5:
5678 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, o sayının son iki basamağının belirttiği sayının 4 ile bölümünden kalana eşittir.
- 5678 sayısının son iki basamağını oluşturan sayı 78'dir.
- Şimdi 78 sayısını 4'e bölelim: 78 ÷ 4 = 19, kalan 2
- Kalan 2'dir.
Örnek 6:
Bir doğal sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamdır. Örneğin, 123 sayısının 10 ile bölümünden kalan 3'tür. Buna göre, x bir doğal sayı olmak üzere, \( 5x + 7 \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalanın 2 olduğu biliniyor. x'in 10 ile bölümünden kalan kaçtır? 💡
Çözüm:
- Verilen ifade \( 5x + 7 \) ve bunun 10 ile bölümünden kalanın 2 olduğu bilgisi verilmiş.
- Bu durumu matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: \( 5x + 7 \equiv 2 \pmod{10} \)
- Denklemde 7'yi karşıya atalım: \( 5x \equiv 2 - 7 \pmod{10} \)
- \( 5x \equiv -5 \pmod{10} \)
- Negatif kalanı pozitif yapmak için 10 ekleyelim: \( 5x \equiv -5 + 10 \pmod{10} \)
- \( 5x \equiv 5 \pmod{10} \)
- Şimdi x'in 10 ile bölümünden kalanı bulmak için bu denklemi inceleyelim. x yerine 10 ile bölümünden kalanı olabilecek değerleri deneyebiliriz.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 1 ise: \( 5 \times 1 = 5 \equiv 5 \pmod{10} \) (Sağlıyor)
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 3 ise: \( 5 \times 3 = 15 \equiv 5 \pmod{10} \) (Sağlıyor)
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 5 ise: \( 5 \times 5 = 25 \equiv 5 \pmod{10} \) (Sağlıyor)
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 7 ise: \( 5 \times 7 = 35 \equiv 5 \pmod{10} \) (Sağlıyor)
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 9 ise: \( 5 \times 9 = 45 \equiv 5 \pmod{10} \) (Sağlıyor)
- Bu durumda x'in 10 ile bölümünden kalan tek sayı olmalıdır. Ancak soruda tek bir cevap beklenmektedir. Buradaki kilit nokta, 5x'in 10'a bölümünden kalanın 5 olmasıdır. Bu, 5x'in 5'in katı olduğunu ve son basamağının 5 olduğunu gösterir.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 1 ise, \( 5x \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalan 5 olur.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 3 ise, \( 5x \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalan 5 olur.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 5 ise, \( 5x \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalan 5 olur.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 7 ise, \( 5x \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalan 5 olur.
- Eğer x'in 10 ile bölümünden kalan 9 ise, \( 5x \) ifadesinin 10 ile bölümünden kalan 5 olur.
- Soruda verilen \( 5x + 7 \equiv 2 \pmod{10} \) denkleminden \( 5x \equiv 5 \pmod{10} \) sonucuna ulaştık.
- Bu denklemi sağlayan en küçük pozitif x değeri için, x'in 10 ile bölümünden kalan 1'dir. (Çünkü \( 5 \times 1 = 5 \equiv 5 \pmod{10} \))
- Diğer olası x değerleri de 10 ile bölümünden kalan 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılardır. Ancak bu tür sorularda genellikle en temel durum sorulur.
- Dolayısıyla, x'in 10 ile bölümünden kalan 1'dir.
Örnek 7:
Bir manav elindeki elmaların her birini 3'erli paketlediğinde 2 elma artıyor. Eğer elmaları 4'erli paketleseydi 3 elma artacaktı. Manavın toplam kaç elması olabilir? (Manavın elinde 50'den az elma olduğunu varsayalım.) 💡
Çözüm:
- Manavın elindeki elma sayısına N diyelim.
- Elmalar 3'erli paketlendiğinde 2 elma artıyorsa: \( N \equiv 2 \pmod{3} \)
- Elmalar 4'erli paketlendiğinde 3 elma artıyorsa: \( N \equiv 3 \pmod{4} \)
- Bu iki koşulu sağlayan en küçük sayıyı bulmaya çalışalım.
- İlk koşula göre olası elma sayıları: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, ...
- İkinci koşula göre olası elma sayıları: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, ...
- Her iki listede de ortak olan sayılara bakalım: 11, 23, 35, 47, ...
- Bu sayılar arasındaki fark 12'dir (3 ve 4'ün en küçük ortak katı).
- Manavın elinde 50'den az elma olduğu bilgisi verilmiş.
- Bu durumda olası elma sayıları: 11, 23, 35, 47'dir.
Örnek 8:
\( 7^{2023} \) sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bu tür üslü ifadelerde kalanı bulmak için tabanın (burada 7) 5 ile bölümünden kalanı ve üssün (burada 2023) durumunu incelemeliyiz.
- Önce tabanın 5 ile bölümünden kalanı bulalım: \( 7 \div 5 = 1 \), kalan 2. Yani \( 7 \equiv 2 \pmod{5} \).
- Şimdi \( 2^{2023} \) sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor.
- 2'nin kuvvetlerinin 5 ile bölümünden kalanlarını inceleyelim:
- \( 2^1 = 2 \equiv 2 \pmod{5} \)
- \( 2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{5} \)
- \( 2^3 = 8 \equiv 3 \pmod{5} \)
- \( 2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5} \)
- \( 2^5 = 32 \equiv 2 \pmod{5} \)
- Kalanlar 2, 4, 3, 1 şeklinde 4'lü bir döngü izlemektedir.
- Bu döngünün tekrar etmesi için üssün 4'e bölümünden kalana bakmalıyız.
- Şimdi üssümüz olan 2023'ü 4'e bölelim: \( 2023 \div 4 \).
- \( 2023 = 4 \times 505 + 3 \). Kalan 3'tür.
- Kalan 3 olduğu için, döngüdeki 3. sıradaki kalanı alacağız.
- Döngü: 2, 4, 3, 1. Üçüncü sıradaki kalan 3'tür.
Örnek 9:
Bir sınıftaki öğrenci sayısı A'dır. Bu öğrenciler 6'şarlı gruplara ayrıldığında 4 öğrenci artıyor. Eğer 8'erli gruplara ayrıldığında ise 6 öğrenci artıyor. Sınıftaki öğrenci sayısı 100'den az olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci olabilir? 💡
Çözüm:
- Sınıftaki öğrenci sayısına A diyelim.
- 6'şarlı gruplara ayrıldığında 4 öğrenci artıyor: \( A \equiv 4 \pmod{6} \)
- 8'erli gruplara ayrıldığında 6 öğrenci artıyor: \( A \equiv 6 \pmod{8} \)
- Bu iki denklemi sağlayan A değerini bulmalıyız.
- İlk denklemden: \( A = 6k + 4 \) (k bir tam sayı)
- Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım: \( 6k + 4 \equiv 6 \pmod{8} \)
- \( 6k \equiv 6 - 4 \pmod{8} \)
- \( 6k \equiv 2 \pmod{8} \)
- Bu denklemi sağlayan k değerlerini bulalım.
- Deneyerek:
- k=1 için: \( 6 \times 1 = 6 \not\equiv 2 \pmod{8} \)
- k=2 için: \( 6 \times 2 = 12 \equiv 4 \pmod{8} \)
- k=3 için: \( 6 \times 3 = 18 \equiv 2 \pmod{8} \) (Sağlıyor!)
- k=4 için: \( 6 \times 4 = 24 \equiv 0 \pmod{8} \)
- k=5 için: \( 6 \times 5 = 30 \equiv 6 \pmod{8} \)
- k=6 için: \( 6 \times 6 = 36 \equiv 4 \pmod{8} \)
- k=7 için: \( 6 \times 7 = 42 \equiv 2 \pmod{8} \) (Sağlıyor!)
- Burada k'nın 3, 7, 11, ... gibi değerler aldığını görüyoruz. Bu değerler 4'erli bir döngü izliyor. Yani \( k \equiv 3 \pmod{4} \).
- Şimdi k'nın bu değerlerini \( A = 6k + 4 \) denkleminde yerine koyalım.
- En küçük k değeri 3'tür.
- \( A = 6 \times 3 + 4 = 18 + 4 = 22 \)
- Bir sonraki k değeri 7'dir.
- \( A = 6 \times 7 + 4 = 42 + 4 = 46 \)
- Bir sonraki k değeri 11'dir.
- \( A = 6 \times 11 + 4 = 66 + 4 = 70 \)
- Bir sonraki k değeri 15'tir.
- \( A = 6 \times 15 + 4 = 90 + 4 = 94 \)
- Bir sonraki k değeri 19'dur.
- \( A = 6 \times 19 + 4 = 114 + 4 = 118 \) (Bu 100'den fazla olduğu için alamayız.)
- Sınıftaki öğrenci sayısı 100'den az olduğuna göre, olası öğrenci sayıları 22, 46, 70 ve 94'tür.
Örnek 10:
157 sayısının 2 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının 2 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın tek veya çift olmasına bağlıdır.
- Eğer birler basamağındaki rakam çift ise (0, 2, 4, 6, 8), sayı 2'ye tam bölünür ve kalan 0'dır.
- Eğer birler basamağındaki rakam tek ise (1, 3, 5, 7, 9), sayı 2'ye bölündüğünde kalan 1'dir.
- 157 sayısının birler basamağındaki rakam 7'dir.
- 7 tek bir rakam olduğu için, 157 sayısının 2 ile bölümünden kalan 1'dir.
Örnek 11:
\( 12345 \times 67890 \) çarpımının 10 ile bölümünden kalanı bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir çarpımın 10 ile bölümünden kalanı bulmak için, çarpılan sayıların her birinin 10 ile bölümünden kalanlarını bulup çarparız ve elde ettiğimiz sonucun 10 ile bölümünden kalana bakarız.
- \( 12345 \) sayısının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakam olan 5'tir.
- \( 67890 \) sayısının 10 ile bölümünden kalan, birler basamağındaki rakam olan 0'dır.
- Şimdi bu kalanları çarpalım: \( 5 \times 0 = 0 \).
- Elde ettiğimiz sonuç 0'dır.
- 0 sayısının 10 ile bölümünden kalan 0'dır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bolunebilme-kurallariyla-kalan-bulma/sorular