📄 10. Sınıf Matematik: Bölünebilme kurallarıyla kalan bulma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 4 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Bir sayının 4 ile bölümünden kalan 2 ise, sayının son iki basamağının oluşturduğu \(b2\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. \(b2\) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olması için \(b\) yerine \(1, 3, 5, 7, 9\) rakamları gelebilir. (Örnek: \(12\) tam bölünür, \(22\) kalan 2; \(32\) tam bölünür, \(42\) kalan 2 vb.)



Şimdi 3 ile bölünebilme kuralını uygulayalım. Sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır. Rakamlar toplamı: \(6+a+4+b+2 = 12+a+b\).

\(12+a+b \equiv 1 \pmod{3}\) olmalıdır. Bu durumda \(a+b+12-1 \equiv 0 \pmod{3}\) yani \(a+b+11 \equiv 0 \pmod{3}\) olmalıdır. \(11 \equiv 2 \pmod{3}\) olduğundan, \(a+b+2 \equiv 0 \pmod{3}\) veya \(a+b \equiv 1 \pmod{3}\) olmalıdır.



Şimdi \(b\) için bulduğumuz değerleri yerine koyarak \(a\) değerlerini bulalım:



1. Eğer \(b=1\) ise: \(a+1 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 0 \pmod{3}\). \(a\) rakamı \(0, 3, 6, 9\) olabilir.

2. Eğer \(b=3\) ise: \(a+3 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1 \pmod{3}\). \(a\) rakamı \(1, 4, 7\) olabilir.

3. Eğer \(b=5\) ise: \(a+5 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a+2 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv -1 \equiv 2 \pmod{3}\). \(a\) rakamı \(2, 5, 8\) olabilir.

4. Eğer \(b=7\) ise: \(a+7 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a+1 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 0 \pmod{3}\). \(a\) rakamı \(0, 3, 6, 9\) olabilir.

5. Eğer \(b=9\) ise: \(a+9 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1 \pmod{3}\). \(a\) rakamı \(1, 4, 7\) olabilir.



Buna göre, \(a\) rakamının alabileceği tüm değerler \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\) olabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Sayımız \(x\) olsun.

Verilenlere göre:

\(x \equiv 4 \pmod{5}\)

\(x \equiv 7 \pmod{9}\)



Bu sayıya \(k\) eklendiğinde hem 5'e hem de 9'a tam bölünmesi isteniyor. Yani \(x+k\) sayısı hem 5'in hem de 9'un katı olmalıdır. Bu da \(x+k\) sayısının \(EKOK(5, 9)\)'un katı olması demektir. \(EKOK(5, 9) = 45\) (çünkü 5 ve 9 aralarında asaldır).



Şimdi \(x+k\) sayısının 45'in bir katı olması için \(x+k \equiv 0 \pmod{5}\) ve \(x+k \equiv 0 \pmod{9}\) olmalıdır.



İlk denklemden: \(4+k \equiv 0 \pmod{5}\) \(\Rightarrow k \equiv -4 \equiv 1 \pmod{5}\).

İkinci denklemden: \(7+k \equiv 0 \pmod{9}\) \(\Rightarrow k \equiv -7 \equiv 2 \pmod{9}\).



Şimdi \(k\) sayısının 5 ile bölümünden kalan 1 ve 9 ile bölümünden kalan 2 olması gerekiyor. \(k\) en az kaç olabilir?

\(k = 5m+1\)

\(k = 9n+2\)



\(5m+1 = 9n+2\)

\(5m = 9n+1\)



\(n\) yerine değerler vererek \(m\)'nin tam sayı çıkmasını sağlayalım:

\(n=0 \Rightarrow 5m=1\) (\(m\) tam sayı değil)

\(n=1 \Rightarrow 5m=10 \Rightarrow m=2\)



Bu durumda \(n=1\) ve \(m=2\) için \(k\) değerini bulalım:

\(k = 5(2)+1 = 11\)

\(k = 9(1)+2 = 11\)



Demek ki bu sayıya en az 11 eklenirse hem 5'e hem de 9'a tam bölünür.

💡 Çözüm Adımları:

Marketteki yumurta sayısı \(Y\) olsun.

Verilenlere göre:

\(Y \equiv 2 \pmod{6}\)

\(Y \equiv 2 \pmod{8}\)



Bu durum, \(Y-2\) sayısının hem 6'ya hem de 8'e tam bölündüğü anlamına gelir. Yani \(Y-2\) sayısı \(EKOK(6, 8)\)'in bir katı olmalıdır.



\(6 = 2 \times 3\)

\(8 = 2^3\)

\(EKOK(6, 8) = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24\).



O halde, \(Y-2 = 24k\) (burada \(k\) bir pozitif tam sayıdır).

\(Y = 24k + 2\).



Yumurta sayısı 100'den fazla olduğuna göre, \(Y > 100\) olmalıdır.

\(24k + 2 > 100\)

\(24k > 98\)

\(k > \frac{98}{24}\)

\(k > 4.08...\)



\(k\) bir tam sayı olduğu için, \(k\)'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri 5'tir.



\(k=5\) için \(Y = 24(5) + 2 = 120 + 2 = 122\).



Markette en az 122 yumurta vardır.