💡 10. Sınıf Matematik: Bölme Ve Bölünebilme Kuralları Çözümlü Örnekler

• 👉 128 sayısını 15'e böleceğiz.
• 👉 128 içinde 15 kaç defa var? Saymaya veya denemeye başlayalım:
  \( 15 \times 1 = 15 \)
  \( 15 \times 2 = 30 \)
  ...
  \( 15 \times 8 = 120 \)
  \( 15 \times 9 = 135 \) (Bu, 128'den büyük oldu, o zaman 8 defa var.)
• 👉 Demek ki bölüm \( = 8 \) olacaktır.
• 👉 Şimdi kalanı bulalım: Bölünen \( - \) (Bölen \( \times \) Bölüm) = Kalan
  \( 128 - (15 \times 8) = 128 - 120 = 8 \)
• ✅ Kalan \( = 8 \) olur. Kalan (8), bölen (15)'ten küçük olduğu için işlem doğrudur.

Sonuç: Bölüm 8, Kalan 8'dir.

• 📌 2 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 2 ile tam bölünebilmesi için son rakamının (birler basamağının) çift olması gerekir. Yani 0, 2, 4, 6, 8 olmalıdır.
• 📌 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının (birler basamağının) 0 veya 5 olması gerekir.

Şimdi her iki kuralı birlikte uygulayalım:

• 👉 Sayı hem 2 hem de 5 ile tam bölünebildiği için, son rakamı \( b \) hem çift olmalı hem de 0 veya 5 olmalıdır.
• 👉 Bu iki şartı sağlayan tek rakam 0'dır. Çünkü 5 tek sayıdır.
• 👉 Yani \( b \) kesinlikle 0 olmalıdır. Sayımız \( 3a40 \) şeklini alır.
• 👉 \( a \) rakamı için herhangi bir kısıtlama verilmemiştir (sayının 2 veya 5 ile bölünebilmesi için \( a \)'nın bir önemi yoktur).
• 👉 \( a \) bir rakam olduğu için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 değerlerini alabilir.
• ✅ Bu durumda \( a \) yerine 10 farklı rakam yazılabilir.

• 📌 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür. Kalanı bulmak için rakamlar toplamının 3 ile bölümünden kalana bakarız.
• 📌 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. Kalanı bulmak için rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalana bakarız.

Şimdi verilenleri uygulayalım:

• 👉 Sayının rakamları toplamı: \( 7+x+2+y+3 = 12+x+y \).
• 👉 Sayının 9 ile bölümünden kalan 7 ise, rakamlar toplamının da 9 ile bölümünden kalan 7 olmalıdır.
  Yani \( 12+x+y \equiv 7 \pmod{9} \) olmalı.
• 👉 \( x \) ve \( y \) birer rakam olduğu için \( 0 \le x \le 9 \) ve \( 0 \le y \le 9 \)'dir.
  Dolayısıyla \( 0 \le x+y \le 18 \)'dir.
• 👉 Eğer \( x+y \) toplamına \( k \) dersek, \( 12+k \)'nın 9 ile bölümünden kalan 7 olmalıdır.
  \( 12+k = 9m + 7 \) (burada \( m \) bir tam sayıdır).
• 👉 \( 12+k \) için olası değerler:
  Eğer \( m=0 \) ise \( 12+k = 7 \implies k = -5 \) (rakam toplamı negatif olamaz).
  Eğer \( m=1 \) ise \( 12+k = 9 \cdot 1 + 7 = 16 \implies k = 4 \).
  Eğer \( m=2 \) ise \( 12+k = 9 \cdot 2 + 7 = 25 \implies k = 13 \).
  Eğer \( m=3 \) ise \( 12+k = 9 \cdot 3 + 7 = 34 \implies k = 22 \) (Bu, \( x+y \le 18 \) şartını aşar).
• 👉 O halde \( x+y \) toplamı 4 veya 13 olabilir.

Şimdi 3 ile bölünebilme kuralına bakalım:

• 👉 Sayının 3 ile bölümünden kalan 1 ise, rakamlar toplamının da 3 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır.
  Yani \( 12+x+y \equiv 1 \pmod{3} \) olmalı.
• 👉 Eğer \( x+y=4 \) ise, \( 12+4 = 16 \).
  \( 16 \div 3 \)'ten kalan 1'dir. (Çünkü \( 16 = 3 \cdot 5 + 1 \)). Bu şartı sağlar.
• 👉 Eğer \( x+y=13 \) ise, \( 12+13 = 25 \).
  \( 25 \div 3 \)'ten kalan 1'dir. (Çünkü \( 25 = 3 \cdot 8 + 1 \)). Bu şartı da sağlar.

Her iki durumda da kalan 1 olduğu için, bu kural \( x+y \) için net bir seçim yapmamızı sağlamaz. Ancak öncelikli olarak 9 ile bölünebilme kuralına bakmak daha az seçenek verir. 3 ile bölünebilme kuralı genellikle 9'un katları için de geçerli olduğundan, 9 ile bölünebilme kuralı daha belirleyici olmuştur.
Soruda "3 ile bölümünden kalan 1" bilgisi aslında 9 ile bölümünden kalan 7 bilgisini kontrol etmek için verilmiştir. Eğer bir sayı 9 ile bölümünden kalan 7 ise, aynı sayının 3 ile bölümünden kalanı da 7'nin 3 ile bölümünden kalanı olan 1'dir. Bu her zaman geçerlidir.

• ✅ O halde, \( x+y \) toplamı hem 4 hem de 13 olabilir. Ancak genellikle bu tarz sorularda tek bir değer beklenir. Bu durumda, eğer ek bir bilgi yoksa, her ikisi de geçerli olabilir. Ancak sorunun yapısı gereği tek bir cevap bekleniyorsa, genellikle en küçük pozitif toplam sorulur veya ek bir kısıtlayıcı bilgi verilir. Burada verilen bilgilerle \( x+y \) için 4 veya 13 değerleri doğrudur.

• 📌 4 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu sayı 4'ün katı ise o sayı 4 ile tam bölünür.
• 📌 8 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının son üç basamağının oluşturduğu sayı 8'in katı ise o sayı 8 ile tam bölünür. Kalanı bulmak için son üç basamağının 8 ile bölümünden kalana bakarız.

Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Sayı \( 54a2b \). Bu sayı 4 ile tam bölünebiliyorsa, son iki basamağı olan \( 2b \) sayısı 4'ün katı olmalıdır.
  \( 2b \) sayısının 4'ün katı olabilmesi için \( b \) yerine 0, 4 veya 8 yazılabilir. (20, 24, 28)
• 👉 Sayının 8 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, son üç basamağı olan \( a2b \) sayısının 8 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır.
• 👉 \( b \) için bulduğumuz değerleri deneyelim:
  • Durum 1: \( b=0 \) ise, sayımız \( 54a20 \) olur. Son üç basamak \( a20 \).
    \( a20 \)'nin 8 ile bölümünden kalan 2 olmalı.
    \( a20 = 100a + 20 \).
    \( 100a + 20 \equiv 2 \pmod{8} \).
    \( 100a \equiv 100a \pmod{8} \implies 4a \pmod{8} \) (çünkü \( 100 = 12 \cdot 8 + 4 \)).
    \( 20 \equiv 4 \pmod{8} \) (çünkü \( 20 = 2 \cdot 8 + 4 \)).
    Yani \( 4a + 4 \equiv 2 \pmod{8} \).
    \( 4a \equiv -2 \pmod{8} \implies 4a \equiv 6 \pmod{8} \).
    Bu denklemi sağlayan bir \( a \) rakamı yoktur. (Çünkü \( 4a \) her zaman çift bir sayıdır ve 8'in katları veya 8'in katlarından 4 fazla olan sayılar olabilir. \( 4a \) sayısı 6 olamaz, 14 olamaz vb. 4a'nın 8 ile bölümünden kalan sadece 0 veya 4 olabilir.)
  • Durum 2: \( b=4 \) ise, sayımız \( 54a24 \) olur. Son üç basamak \( a24 \).
    \( a24 \)'ün 8 ile bölümünden kalan 2 olmalı.
    \( 100a + 24 \equiv 2 \pmod{8} \).
    \( 4a + 0 \equiv 2 \pmod{8} \) (çünkü \( 24 = 3 \cdot 8 + 0 \)).
    \( 4a \equiv 2 \pmod{8} \).
    Bu denklemi sağlayan bir \( a \) rakamı yoktur. (Aynı şekilde, \( 4a \)'nın 8 ile bölümünden kalan 0 veya 4 olabilir, 2 olamaz.)
  • Durum 3: \( b=8 \) ise, sayımız \( 54a28 \) olur. Son üç basamak \( a28 \).
    \( a28 \)'in 8 ile bölümünden kalan 2 olmalı.
    \( 100a + 28 \equiv 2 \pmod{8} \).
    \( 4a + 4 \equiv 2 \pmod{8} \) (çünkü \( 28 = 3 \cdot 8 + 4 \)).
    \( 4a \equiv -2 \pmod{8} \implies 4a \equiv 6 \pmod{8} \).
    Bu denklemi sağlayan bir \( a \) rakamı yoktur.

Bir hata yapmış olabilir miyiz? Kontrol edelim.
\( 100a + 20 \equiv 2 \pmod{8} \) için \( 4a+4 \equiv 2 \pmod{8} \implies 4a \equiv -2 \equiv 6 \pmod{8} \).
Eğer \( a=0 \), \( 4(0)=0 \not\equiv 6 \pmod{8} \).
Eğer \( a=1 \), \( 4(1)=4 \not\equiv 6 \pmod{8} \).
Eğer \( a=2 \), \( 4(2)=8 \equiv 0 \pmod{8} \not\equiv 6 \pmod{8} \).
Eğer \( a=3 \), \( 4(3)=12 \equiv 4 \pmod{8} \not\equiv 6 \pmod{8} \).
Gerçekten de \( 4a \equiv 6 \pmod{8} \) denklemini sağlayan bir \( a \) tam sayısı yoktur. Bu, ya sorunun hatalı olduğu ya da benim 10. sınıf müfredatında bu tür bir modüler aritmetik çözümünün öğrenciler için çok karmaşık olabileceği yönünde bir ipucu olabilir. Gelin, \( a2b \) sayısını direkt 8'e bölerek kalanı bulma yaklaşımını kullanalım, modüler aritmetik yerine. Bu durumda, \( a2b \) sayısının 8'e bölümünden kalan 2 olmalı. \( b \) için 0, 4, 8 değerlerini ayrı ayrı inceleyelim.

• Durum 1: \( b=0 \). Sayı \( a20 \).
  • \( a=0 \implies 020 = 20 \). \( 20 \div 8 \)'den kalan 4. (Olmaz)
  • \( a=1 \implies 120 \). \( 120 \div 8 = 15 \). Kalan 0. (Olmaz)
  • \( a=2 \implies 220 \). \( 220 \div 8 \). \( 220 = 8 \cdot 27 + 4 \). Kalan 4. (Olmaz)
  • \( a=3 \implies 320 \). \( 320 \div 8 = 40 \). Kalan 0. (Olmaz)
  • \( a=4 \implies 420 \). \( 420 \div 8 \). \( 420 = 8 \cdot 52 + 4 \). Kalan 4. (Olmaz)
  • Görüldüğü gibi \( a20 \) sayılarının 8 ile bölümünden kalanlar 0 veya 4 oluyor. Kalan 2 olmuyor.
• Durum 2: \( b=4 \). Sayı \( a24 \).
  • \( a=0 \implies 024 = 24 \). \( 24 \div 8 = 3 \). Kalan 0. (Olmaz)
  • \( a=1 \implies 124 \). \( 124 \div 8 = 15 \) kalan 4. (Olmaz)
  • \( a=2 \implies 224 \). \( 224 \div 8 = 28 \). Kalan 0. (Olmaz)
  • Yine kalan 2 gelmiyor.
• Durum 3: \( b=8 \). Sayı \( a28 \).
  • \( a=0 \implies 028 = 28 \). \( 28 \div 8 = 3 \) kalan 4. (Olmaz)
  • \( a=1 \implies 128 \). \( 128 \div 8 = 16 \). Kalan 0. (Olmaz)
  • \( a=2 \implies 228 \). \( 228 \div 8 = 28 \) kalan 4. (Olmaz)

Bu durumda, verilen şartları sağlayan bir \( a \) ve \( b \) rakamı bulunamamaktadır. Bu, sorunun ya hatalı olduğunu ya da benim yorumumda bir eksiklik olduğunu gösterir.
Bölünebilme kurallarında 10. sınıf seviyesinde modüler aritmetiğin çok derinlemesine işlenmediği göz önüne alındığında, genellikle doğrudan deneme yanılma veya daha basit çıkarımlar beklenir.
Tekrar kontrol: Bir sayının 8 ile bölümünden kalan 2 ise, o sayı 8k+2 formundadır.
\( a2b \) için:
\( b \) sadece 0, 4, 8 olabilir.
\( a20 \): \( 100a+20 \). \( 100a+20 = 8k+2 \implies 100a+18 = 8k \).
\( 100a+18 \) sayısının 8'e tam bölünmesi gerekir.
\( a=0 \implies 18 \) (bölünmez)
\( a=1 \implies 118 \) (bölünmez)
\( a=2 \implies 218 \) (bölünmez)
\( a=3 \implies 318 \) (bölünmez)
\( a=4 \implies 418 \) (bölünmez)
\( a=5 \implies 518 \) (bölünmez)
\( a=6 \implies 618 \) (bölünmez)
\( a=7 \implies 718 \) (bölünmez)
\( a=8 \implies 818 \) (bölünmez)
\( a=9 \implies 918 \) (bölünmez)
\( 100a+18 \) sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için son üç basamağına bakmak yeterli değildir, direkt sayıyı incelemeliyiz.
\( 100a+18 \). \( 100a \) 8 ile bölündüğünde \( 4a \) kalanını verir. \( 18 \) 8 ile bölündüğünde 2 kalanını verir.
Yani \( 4a+2 \) sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir. Bu durumda \( 4a+2 = 8k \).
\( 4a+2 \) çift bir sayı olmalı. \( 8k \) da çift.
Fakat \( 4a+2 \) ifadesi 8'in katı olamaz. Çünkü \( 4a+2 = 2(2a+1) \)'dir. Bu sayı 2'nin bir tek katıdır. Yani 4'ün veya 8'in katı olamaz.
Bu durumda \( b=0 \) için çözüm yoktur.

\( b=4 \). Sayı \( a24 \). \( 100a+24 \). \( 100a+24 = 8k+2 \implies 100a+22 = 8k \).
\( 4a+6 \) sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir. \( 4a+6 = 8k \).
Bu denklem de çözümsüzdür. \( 4a+6 = 2(2a+3) \). Yine 2'nin tek katıdır.

\( b=8 \). Sayı \( a28 \). \( 100a+28 \). \( 100a+28 = 8k+2 \implies 100a+26 = 8k \).
\( 4a+2 \) sayısının 8 ile tam bölünmesi gerekir. \( 4a+2 = 8k \).
Bu denklem de çözümsüzdür.

Sonuç: Verilen şartları (4 ile tam bölünme ve 8 ile bölümünden kalan 2) aynı anda sağlayan 5 basamaklı bir sayı yoktur. Bu tür sorularda, bu durumu belirtmek en doğru yaklaşımdır. Muhtemelen soruda bir dizgi hatası vardır. Ancak öğrencilerin bu çıkarımı yapabilmesi beklenir.

Eğer soruda bir hata olduğunu varsayarsak ve sadece 4 ile bölünebilme kuralına odaklanırsak, \( b \) için 0, 4, 8 değerleri vardır.
8 ile bölünebilme kuralının kalanını 0 varsayalım (yani tam bölünseydi).
O zaman \( a2b \) 8'in katı olmalı.
\( b=0 \implies a20 \). \( a=0, 2, 4, 6, 8 \). (020, 220, 420, 620, 820)
\( b=4 \implies a24 \). \( a=1, 3, 5, 7, 9 \). (124, 324, 524, 724, 924)
\( b=8 \implies a28 \). \( a=0, 2, 4, 6, 8 \). (028, 228, 428, 628, 828)
Bu durumda \( a+b \) en fazla \( 9+4=13 \) veya \( 8+8=16 \) olabilir.
Ancak sorunun orijinal haliyle çözüm mümkün değildir.

Düzeltilmiş Soru Varsayımı (Öğrencilerin çözebileceği bir senaryo için):
Beş basamaklı \( 54a2b \) sayısı 4 ile tam bölünebilmektedir. Bu sayının 8 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, \( a+b \) toplamı en fazla kaç olabilir?

• 👉 \( b \) için yine 0, 4, 8 değerleri geçerlidir.
• 👉 Sayının 8 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, son üç basamağı olan \( a2b \) sayısının 8 ile bölümünden kalan 4 olmalıdır.
  Yani \( 100a+2b \equiv 4 \pmod{8} \).
  \( 4a + 2b \equiv 4 \pmod{8} \).
• Durum 1: \( b=0 \).
  \( 4a + 2(0) \equiv 4 \pmod{8} \implies 4a \equiv 4 \pmod{8} \).
  Bu durumda \( a \) yerine 1, 3, 5, 7, 9 yazılabilir. (Çünkü \( 4(1)=4 \equiv 4 \pmod{8} \); \( 4(3)=12 \equiv 4 \pmod{8} \) vb.)
  \( a+b \) toplamı en fazla \( 9+0=9 \).
• Durum 2: \( b=4 \).
  \( 4a + 2(4) \equiv 4 \pmod{8} \implies 4a + 8 \equiv 4 \pmod{8} \).
  \( 4a + 0 \equiv 4 \pmod{8} \implies 4a \equiv 4 \pmod{8} \).
  Bu durumda \( a \) yerine 1, 3, 5, 7, 9 yazılabilir.
  \( a+b \) toplamı en fazla \( 9+4=13 \).
• Durum 3: \( b=8 \).
  \( 4a + 2(8) \equiv 4 \pmod{8} \implies 4a + 16 \equiv 4 \pmod{8} \).
  \( 4a + 0 \equiv 4 \pmod{8} \implies 4a \equiv 4 \pmod{8} \).
  Bu durumda \( a \) yerine 1, 3, 5, 7, 9 yazılabilir.
  \( a+b \) toplamı en fazla \( 9+8=17 \).

✅ Düzeltilmiş soru varsayımına göre \( a+b \) toplamı en fazla 17 olabilir.

• 📌 5 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, son rakamının 5 ile bölümünden kalana eşittir.
• 📌 6 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayı hem 2 hem de 3 ile tam bölünüyorsa, 6 ile de tam bölünür.

Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Sayının 5 ile bölümünden kalan 3 ise, son rakamı \( y \) ya 3 ya da 8 olmalıdır. (çünkü \( 3 \div 5 \)'ten kalan 3; \( 8 \div 5 \)'ten kalan 3).
• 👉 Sayı 6 ile tam bölünebildiğine göre, hem 2 hem de 3 ile tam bölünmelidir.
• 👉 2 ile Bölünebilme Kuralı: Sayı 2 ile tam bölüneceği için son rakamı \( y \) çift olmalıdır.
  Bu durumda \( y \) için sadece 8 değeri kalır. (3 tek sayıdır.)
• 👉 Sayımız \( 6x38 \) şeklini aldı.
• 👉 Şimdi 3 ile Bölünebilme Kuralını uygulayalım: Sayı 3 ile tam bölüneceği için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  Rakamları toplamı: \( 6+x+3+8 = 17+x \).
• 👉 \( 17+x \) ifadesi 3'ün katı olmalı.
  \( x \) bir rakam olduğu için 0'dan 9'a kadar değer alabilir.
  • Eğer \( x=1 \) ise, \( 17+1 = 18 \). \( 18 \) sayısı 3'ün katıdır. (Yani \( x=1 \) olabilir.)
  • Eğer \( x=4 \) ise, \( 17+4 = 21 \). \( 21 \) sayısı 3'ün katıdır. (Yani \( x=4 \) olabilir.)
  • Eğer \( x=7 \) ise, \( 17+7 = 24 \). \( 24 \) sayısı 3'ün katıdır. (Yani \( x=7 \) olabilir.)
  • \( x \) için bir sonraki değer 10 olurdu, ancak \( x \) rakam olmak zorunda.
• ✅ Bu durumda \( x \) yerine yazılabilecek değerler 1, 4 ve 7'dir.
  Bu değerlerin toplamı: \( 1+4+7 = 12 \).

• 📌 11 ile Bölünebilme Kuralı: Sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla \( + \), \( - \), \( + \), \( - \), \( + \) işaretleriyle çarpılır ve elde edilen sonuçlar toplanır. Bu toplam 0 veya 11'in katı ise sayı 11 ile tam bölünür.

Şimdi \( 2a3b4 \) sayısına bu kuralı uygulayalım:

• 👉 Sağdan sola doğru rakamları işaretleyelim:
  \( +4 -b +3 -a +2 \)
• 👉 Bu işaretli rakamları toplayalım:
  \( (4+3+2) - (b+a) = 9 - (a+b) \)
• 👉 Elde ettiğimiz \( 9 - (a+b) \) ifadesi 0 veya 11'in katı olmalıdır.
• 👉 \( a \) ve \( b \) birer rakam olduğu için \( 0 \le a \le 9 \) ve \( 0 \le b \le 9 \)'dir.
  Dolayısıyla \( 0 \le a+b \le 18 \)'dir.
• 👉 Bu durumda \( 9 - (a+b) \) ifadesinin alabileceği en küçük değer \( 9 - 18 = -9 \), en büyük değer \( 9 - 0 = 9 \)'dur.
• 👉 Bu aralıkta (yani \(-9\) ile \(9\) arasında) 11'in katı olan tek sayı 0'dır.
• 👉 O halde, \( 9 - (a+b) = 0 \) olmalıdır.
  Buradan \( a+b = 9 \) sonucuna ulaşırız.
• ✅ Soruda \( a-b \) farkı sorulmuş. Ancak bu bilgilerle sadece \( a+b \) toplamını bulabiliyoruz. \( a \) ve \( b \) ayrı ayrı bilinemediği için \( a-b \) farkı tek bir değer alamaz. Örneğin, \( a=9, b=0 \implies a-b=9 \). \( a=5, b=4 \implies a-b=1 \).
  Bu durumda, sorunun tam olarak çözülebilmesi için ek bir bilgi (örneğin, \( a \)'nın \( b \)'den büyük olduğu veya \( a \) ve \( b \) arasındaki bir ilişki) gereklidir.

Düzeltilmiş Soru Varsayımı (Öğrencilerin çözebileceği ve tek bir cevap alabileceği bir senaryo için):
Beş basamaklı \( 2a3b4 \) sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir. \( a \) rakamı \( b \) rakamından 3 fazladır. Buna göre \( a-b \) farkı kaçtır?

• 👉 Önceki adımdan \( a+b = 9 \) olduğunu bulmuştuk.
• 👉 Yeni bilgi: \( a = b+3 \).
• 👉 Bu iki denklemi birlikte çözelim:
  \( (b+3) + b = 9 \)
  \( 2b + 3 = 9 \)
  \( 2b = 6 \)
  \( b = 3 \)
• 👉 \( b=3 \) ise, \( a = b+3 = 3+3 = 6 \).
• 👉 Kontrol edelim: Sayımız \( 26334 \).
  \( +4 -3 +3 -6 +2 = (4+3+2) - (3+6) = 9 - 9 = 0 \). Sayı 11 ile tam bölünür.
• ✅ \( a-b = 6-3 = 3 \).

Sayımız \( 5KLM \).

• 1. Adım: 5 ile tam bölünebilme kuralı.
  • 👉 Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamı (M) 0 veya 5 olmalıdır.
  • 👉 Yani \( M \in \{0, 5\} \).
• 2. Adım: Rakamları farklı olma şartı.
  • 👉 Sayımız \( 5KLM \). İlk rakam 5.
  • 👉 Eğer \( M=5 \) olursa, ilk rakamla son rakam aynı olur. Bu durum "rakamları farklıdır" şartına aykırıdır.
  • 👉 Demek ki \( M \) kesinlikle 0 olmalıdır.
  • 👉 Sayımız artık \( 5KL0 \) şeklini aldı. K ve L, 5 ve 0'dan farklı rakamlar olmalıdır.
• 3. Adım: 4 ile bölümünden kalan 2 olma şartı.
  • 👉 Bir sayının 4 ile bölümünden kalan, son iki basamağının (L0) 4 ile bölümünden kalana eşittir.
  • 👉 \( L0 \) sayısının 4 ile bölümünden kalan 2 olmalı.
    \( L0 \) sayısını inceleyelim:
    \( 10 \div 4 \)'ten kalan 2 (\( L=1 \))
    \( 20 \div 4 \)'ten kalan 0 (Olmaz)
    \( 30 \div 4 \)'ten kalan 2 (\( L=3 \))
    \( 40 \div 4 \)'ten kalan 0 (Olmaz)
    \( 50 \div 4 \)'ten kalan 2 (\( L=5 \))
    \( 60 \div 4 \)'ten kalan 0 (Olmaz)
    \( 70 \div 4 \)'ten kalan 2 (\( L=7 \))
    \( 80 \div 4 \)'ten kalan 0 (Olmaz)
    \( 90 \div 4 \)'ten kalan 2 (\( L=9 \))
    
  • 👉 Yani \( L \in \{1, 3, 5, 7, 9\} \).
  • 👉 Ancak, rakamları farklı olmalıydı. \( L \) rakamı 5 olamaz, çünkü ilk rakam 5'tir.
  • 👉 O zaman \( L \in \{1, 3, 7, 9\} \).
• 4. Adım: 3 ile tam bölünebilme şartı.
  • 👉 Sayının rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
    Rakamlar toplamı: \( 5+K+L+0 = 5+K+L \).
  • 👉 \( 5+K+L \) ifadesi 3'ün katı olmalı.
  • 👉 \( K \) ve \( L \) rakamları 5 ve 0'dan farklı olmalıydı. Ayrıca \( L \in \{1, 3, 7, 9\} \).
  • Şimdi \( L \) için her bir değeri deneyelim ve buna göre \( K \) değerlerini bulalım:
    • Eğer \( L=1 \) ise:
      \( 5+K+1 = 6+K \). Bu ifade 3'ün katı olmalı.
      \( K \) için 0, 3, 6, 9 değerleri gelebilir.
      Fakat \( K \) rakamı 5, 0 ve \( L=1 \)'den farklı olmalı.
      \( K \in \{3, 6, 9\} \). (0 ve 1 elendi.)
    • Eğer \( L=3 \) ise:
      \( 5+K+3 = 8+K \). Bu ifade 3'ün katı olmalı.
      \( K \) için 1, 4, 7 değerleri gelebilir.
      Fakat \( K \) rakamı 5, 0 ve \( L=3 \)'ten farklı olmalı.
      \( K \in \{1, 4, 7\} \). (0, 3 ve 5 elendi.)
    • Eğer \( L=7 \) ise:
      \( 5+K+7 = 12+K \). Bu ifade 3'ün katı olmalı.
      \( K \) için 0, 3, 6, 9 değerleri gelebilir.
      Fakat \( K \) rakamı 5, 0 ve \( L=7 \)'den farklı olmalı.
      \( K \in \{3, 6, 9\} \). (0, 5 ve 7 elendi.)
    • Eğer \( L=9 \) ise:
      \( 5+K+9 = 14+K \). Bu ifade 3'ün katı olmalı.
      \( K \) için 1, 4, 7 değerleri gelebilir.
      Fakat \( K \) rakamı 5, 0 ve \( L=9 \)'dan farklı olmalı.
      \( K \in \{1, 4, 7\} \). (0, 5 ve 9 elendi.)
• ✅ \( K \) rakamının alabileceği tüm farklı değerleri bir araya getirelim:
  \( K \in \{1, 3, 4, 6, 7, 9\} \).
  Yani \( K \) rakamı 6 farklı değer alabilir.

• 📌 Problem Analizi:
  • Toplam öğrenci sayısı 100 ile 120 arasında.
  • Öğrenci sayısı 4 kişilik gruplara ayrılabiliyor, yani sayı 4 ile tam bölünebilir.
  • Öğrenci sayısı 6 kişilik gruplara ayrılabiliyor, yani sayı 6 ile tam bölünebilir.
• 1. Adım: Hem 4 hem de 6 ile bölünebilen sayıları bulma.
  • Bir sayı hem 4 hem de 6 ile bölünebiliyorsa, bu sayı 4 ve 6'nın en küçük ortak katı (EKOK) olan 12'nin de katı olmalıdır.
    \( EKOK(4, 6) = 12 \).
  • Yani, aradığımız öğrenci sayısı 12'nin bir katı olmalıdır.
• 2. Adım: 100 ile 120 arasındaki 12'nin katlarını bulma.
  • 12'nin katlarını saymaya başlayalım:
    \( 12 \times 1 = 12 \)
    ...
    \( 12 \times 8 = 96 \) (Bu, 100'den küçük)
    \( 12 \times 9 = 108 \) (Bu, 100 ile 120 arasında)
    \( 12 \times 10 = 120 \) (Bu da 100 ile 120 arasındadır, ancak soruda "100 ile 120 arasındadır" ifadesi genellikle 100 ve 120 dahil değil anlamında kullanılır. Ancak bazı durumlarda dahil de olabilir. Genellikle "arası" denildiğinde sınırlar dahil değildir. Eğer dahil olsaydı "100 ile 120 dahil olmak üzere" gibi bir ifade kullanılırdı.)
  • Eğer 100 ve 120 dahil değilse, tek seçenek 108'dir.
• ✅ Geziye katılacak öğrenci sayısı 108'dir.

• 📌 10 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 10 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakama eşittir.
• 📌 3 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise o sayı 3 ile tam bölünür.

Şimdi adımları takip edelim:

• 👉 Sayımız \( 7ab \). Bu sayının 10 ile bölümünden kalan 6 ise, birler basamağı olan \( b \) kesinlikle 6 olmalıdır.
• 👉 Sayımız artık \( 7a6 \) şeklini aldı.
• 👉 Bu sayı 3 ile tam bölünebildiğine göre, rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
  Rakamları toplamı: \( 7+a+6 = 13+a \).
• 👉 \( 13+a \) ifadesi 3'ün katı olmalı.
  \( a \) bir rakam olduğu için 0'dan 9'a kadar değer alabilir.
  Bizden \( a \) yerine yazılabilecek en büyük rakam isteniyor.
• 👉 \( 13+a \) ifadesini 3'ün katı yapan \( a \) değerlerini bulalım:
  • Eğer \( a=0 \) ise, \( 13+0=13 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=1 \) ise, \( 13+1=14 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=2 \) ise, \( 13+2=15 \) (3'ün katıdır. Yani \( a=2 \) olabilir.)
  • Eğer \( a=3 \) ise, \( 13+3=16 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=4 \) ise, \( 13+4=17 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=5 \) ise, \( 13+5=18 \) (3'ün katıdır. Yani \( a=5 \) olabilir.)
  • Eğer \( a=6 \) ise, \( 13+6=19 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=7 \) ise, \( 13+7=20 \) (3'ün katı değil).
  • Eğer \( a=8 \) ise, \( 13+8=21 \) (3'ün katıdır. Yani \( a=8 \) olabilir.)
  • Eğer \( a=9 \) ise, \( 13+9=22 \) (3'ün katı değil).
• 👉 \( a \) yerine yazılabilecek rakamlar 2, 5 ve 8'dir.
• ✅ Bu rakamlar arasında en büyüğü 8'dir.

• 📌 4 ile Bölünebilme Kuralı: Sayının son iki basamağının (xy) oluşturduğu sayı 4'ün katı olmalıdır.
• 📌 9 ile Bölünebilme Kuralı: Sayının rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır.

Şimdi adımları takip edelim:

• 1. Adım: 4 ile bölünebilme kuralı.
  • 👉 \( 41xy \) sayısının son iki basamağı \( xy \) sayısı 4'ün katı olmalıdır.
    \( xy \) için olası değerler: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96.
• 2. Adım: 9 ile bölünebilme kuralı.
  • 👉 Sayının rakamları toplamı \( 4+1+x+y = 5+x+y \). Bu ifade 9'un katı olmalıdır.
  • 👉 \( x \) ve \( y \) birer rakam olduğu için \( 0 \le x \le 9 \) ve \( 0 \le y \le 9 \)'dir.
    Dolayısıyla \( 0 \le x+y \le 18 \)'dir.
  • 👉 \( 5+x+y \) ifadesinin 9'un katı olabilmesi için:
    • Eğer \( 5+x+y = 9 \) ise, \( x+y = 4 \).
    • Eğer \( 5+x+y = 18 \) ise, \( x+y = 13 \).
    • (Bir sonraki kat 27 olurdu, \( x+y=22 \), ancak bu 18'den büyüktür.)
  • 👉 O halde \( x+y \) toplamı 4 veya 13 olabilir.
• 3. Adım: Her iki şartı birden sağlayan \( x, y \) değerlerini bulma ve \( x+y \) toplamının en azını belirleme.
  • Durum 1: \( x+y = 4 \).
    • \( xy \) sayısının 4'ün katı olması gerekiyor.
      Olası \( (x,y) \) ikilileri: (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0).
    • Şimdi bu ikililerden hangilerinin \( xy \) sayısını 4'ün katı yaptığını kontrol edelim:
      • \( (x,y) = (0,4) \implies xy = 04 \). 04 sayısı 4'ün katıdır. ✅
      • \( (x,y) = (1,3) \implies xy = 13 \). 13 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (2,2) \implies xy = 22 \). 22 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (3,1) \implies xy = 31 \). 31 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (4,0) \implies xy = 40 \). 40 sayısı 4'ün katıdır. ✅
    • Bu durumda \( x+y=4 \) toplamı mümkündür.
  • Durum 2: \( x+y = 13 \).
    • \( xy \) sayısının 4'ün katı olması gerekiyor.
      Olası \( (x,y) \) ikilileri: (4,9), (5,8), (6,7), (7,6), (8,5), (9,4).
    • Şimdi bu ikililerden hangilerinin \( xy \) sayısını 4'ün katı yaptığını kontrol edelim:
      • \( (x,y) = (4,9) \implies xy = 49 \). 49 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (5,8) \implies xy = 58 \). 58 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (6,7) \implies xy = 67 \). 67 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (7,6) \implies xy = 76 \). 76 sayısı 4'ün katıdır. ✅
      • \( (x,y) = (8,5) \implies xy = 85 \). 85 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
      • \( (x,y) = (9,4) \implies xy = 94 \). 94 sayısı 4'ün katı değildir. ❌
    • Bu durumda \( x+y=13 \) toplamı da mümkündür.
• ✅ Soruda \( x+y \) toplamının en az değeri sorulduğu için, cevabımız 4'tür.