🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir üçgenin ağırlık merkezi ile kenarortay arasındaki uzaklık Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir üçgenin ağırlık merkezi ile kenarortay arasındaki uzaklık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu \( 12 \) cm'dir. Bu kenarortayın ağırlık merkezi G'den uzaklığı kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- Bir üçgende kenarortaylar, üçgenin ağırlık merkezinde kesişir.
- Ağırlık merkezi (G), kenarortayı kendi köşesinden itibaren 2 birim, kenarortayın kenarı kestiği noktadan itibaren 1 birim olacak şekilde böler.
- Yani, ağırlık merkezi kenarortayı \( \frac{2}{3} \) ve \( \frac{1}{3} \) oranında böler.
- Kenarortayın uzunluğu \( 12 \) cm ise, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( \frac{2}{3} \times 12 \) cm'dir.
- Hesaplama: \( \frac{2}{3} \times 12 = 2 \times 4 = 8 \) cm.
- Dolayısıyla, ağırlık merkezinin kenarortayın köşeye olan uzaklığı \( 8 \) cm'dir.
Örnek 2:
Bir kenarortayın tamamı \( 15 \) birim uzunluğundadır. Bu kenarortayın ağırlık merkezi tarafından kaç birimlik iki parçaya ayrıldığını bulunuz. 📏
Çözüm:
- Kenarortayın uzunluğu \( 15 \) birimdir.
- Ağırlık merkezi, kenarortayı \( 2:1 \) oranında böler.
- Yani, kenarortay \( 2x \) ve \( x \) uzunluğunda iki parçaya ayrılır.
- Toplam uzunluk \( 2x + x = 3x \) olur.
- \( 3x = 15 \) birim ise, \( x = \frac{15}{3} = 5 \) birimdir.
- Bu durumda parçalar \( 2x = 2 \times 5 = 10 \) birim ve \( x = 5 \) birimdir.
- Ağırlık merkezinin kenarortayı ayırdığı parçalar \( 10 \) birim ve \( 5 \) birimdir.
Örnek 3:
ABC üçgeninde \( |AD| \) bir kenarortaydır ve \( |AD| = 18 \) cm'dir. G noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir. Buna göre, \( |GD| \) kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
- G noktası, kenarortay \( AD \) üzerindedir ve \( AD \) kenarortayını \( AG \) ve \( GD \) olarak iki parçaya ayırır.
- Ağırlık merkezinin özelliği gereği, \( |AG| = 2 \times |GD| \) ilişkisi geçerlidir.
- Ayrıca, \( |AD| = |AG| + |GD| \) olur.
- Verilen \( |AD| = 18 \) cm'dir.
- \( 18 = 2 \times |GD| + |GD| \)
- \( 18 = 3 \times |GD| \)
- \( |GD| = \frac{18}{3} \)
- \( |GD| = 6 \) cm'dir.
Örnek 4:
Bir üçgenin ağırlık merkezinin bir kenarortayın orta noktasına uzaklığı \( 7 \) birimdir. Bu kenarortayın tamamının uzunluğu kaç birimdir? 🧐
Çözüm:
- Soruda verilen "kenarortayın orta noktası" ifadesi, ağırlık merkezinin kenarortayı böldüğü \( 2:1 \) oranını ifade etmektedir.
- Ağırlık merkezi (G), kenarortayı köşeden itibaren \( 2k \) ve kenardan itibaren \( k \) olacak şekilde böler.
- Yani, kenarortayın kenara yakın olan parçası \( k \) birimdir.
- Soruda verilen uzaklık, \( k \) birimidir ve \( k = 7 \) birimdir.
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 2k + k = 3k \) olur.
- \( 3k = 3 \times 7 \)
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 21 \) birimdir.
Örnek 5:
ABC üçgeninde \( |BE| \) ve \( |CF| \) kenarortaylardır. G noktası ABC'nin ağırlık merkezidir. \( |GE| = 5 \) cm ve \( |GF| = 4 \) cm olduğuna göre, \( |BE| + |CF| \) toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- G noktası, kenarortayları \( 2:1 \) oranında böler.
- \( |BE| \) kenarortayı için: \( |BG| = 2 \times |GE| \) ve \( |GE| = \frac{1}{3} |BE| \).
- Verilen \( |GE| = 5 \) cm olduğundan, \( |BE| = 3 \times |GE| = 3 \times 5 = 15 \) cm'dir.
- \( |CF| \) kenarortayı için: \( |CG| = 2 \times |GF| \) ve \( |GF| = \frac{1}{3} |CF| \).
- Verilen \( |GF| = 4 \) cm olduğundan, \( |CF| = 3 \times |GF| = 3 \times 4 = 12 \) cm'dir.
- İstenen toplam: \( |BE| + |CF| = 15 + 12 = 27 \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir mimar, bir binanın planında bir üçgen şeklinde bir alanı tasarlıyor. Bu üçgenin ağırlık merkezinin, bir kenarortayın kenara olan uzaklığının 3 katı olduğunu fark ediyor. Eğer bu kenarortayın uzunluğu 24 metre ise, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı kaç metredir? 🏗️
Çözüm:
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 24 \) metredir.
- Ağırlık merkezi (G), kenarortayı \( 2:1 \) oranında böler. Kenarortayın kenara olan uzaklığı \( k \), köşeye olan uzaklığı ise \( 2k \) olur.
- Soruda, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının 3 katı denilmiş. Bu ifade, \( 2k = 3k \) gibi bir anlama gelmez, bu bir yanıltmadır. Doğru yorum, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının \( k \) olduğunu ve bu \( k \) değerinin bir hesaplama için kullanıldığını varsaymaktır. Ancak sorunun orijinal metni "ağırlık merkezinin, bir kenarortayın kenara olan uzaklığının 3 katı olduğunu fark ediyor" şeklinde ise, bu durum ağırlık merkezinin kendi tanımıyla çelişir.
- Soruyu, "ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının, kenarortayın tamamının uzunluğuna oranı 1/3'tür" veya "ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığının, kenarortayın tamamının uzunluğuna oranı 2/3'tür" şeklinde yorumlamak daha mantıklıdır.
- Eğer "ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının 3 katı" ifadesi, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının \( k \) olduğunu ve bu \( k \) değerinin bir referans alındığını ifade ediyorsa, kenarortayın tamamı \( 3k = 24 \) metre ise \( k = 8 \) metredir.
- Bu durumda, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 2k \) olur.
- \( 2k = 2 \times 8 = 16 \) metredir.
- Eğer soru "ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığının 3 katı" ifadesiyle, kenarortayın kenara olan kısmının uzunluğunu kastediyorsa (ki bu standart bir ifade değildir), o zaman \( k = 3 \times k \) olur ki bu imkansızdır.
- Soruyu en makul şekilde yorumlayarak devam edelim: Kenarortayın tamamı 24 m. Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \), köşeye olan uzaklığı \( 2k \). Toplam \( 3k = 24 \implies k = 8 \) m. Ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 2k = 2 \times 8 = 16 \) m.
Örnek 7:
Bir masa örtüsü tasarlayan Ayşe, masa örtüsünün tam ortasına bir üçgen deseni çizmek istiyor. Bu üçgenin ağırlık merkezinin, desenin bir kenarortayının masanın kenarına olan uzaklığından \( 10 \) cm daha fazla olduğunu hesaplıyor. Eğer bu kenarortayın uzunluğu \( 45 \) cm ise, Ayşe'nin çizdiği üçgenin ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı kaç cm'dir? 🧵
Çözüm:
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 45 \) cm'dir.
- Ağırlık merkezi, kenarortayı \( 2:1 \) oranında böler. Kenarortayın kenara olan uzaklığı \( k \), köşeye olan uzaklığı ise \( 2k \) olur.
- Kenarortayın tamamı \( 3k = 45 \) cm'dir.
- Buradan \( k = \frac{45}{3} = 15 \) cm bulunur.
- Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k = 15 \) cm'dir.
- Soruda verilen bilgiye göre, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı, kenara olan uzaklığından \( 10 \) cm fazladır. Bu ifadeyi, "ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \), ve bu \( k \) değeri, bir başka \( k \) değerinden \( 10 \) cm fazladır" şeklinde yorumlamak yerine, "ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \)'dır ve bu \( k \) değeri, \( 10 \) cm'lik bir farkla ilişkilidir" şeklinde anlamak daha doğru olacaktır.
- Sorunun ifadesi "ağırlık merkezinin, bir kenarortayın masanın kenarına olan uzaklığından \( 10 \) cm daha fazla olduğunu hesaplıyor" şeklinde ise, bu şu anlama gelir: Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \) olsun. Soruda bahsedilen "bir kenarortayın masanın kenarına olan uzaklığı" ifadesi, kenarortayın \( k \) parçasıdır. O zaman \( k = k + 10 \) olur ki bu çelişkilidir.
- Soruyu daha makul bir şekilde yorumlayalım: Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \) ve köşeye olan uzaklığı \( 2k \). Kenarortayın tamamı \( 3k = 45 \) cm, yani \( k = 15 \) cm. Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( 15 \) cm'dir.
- Eğer soru "ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı, kenara olan uzaklığından \( 10 \) cm fazladır" demek istiyorsa: \( 2k = k + 10 \). Buradan \( k = 10 \) cm çıkar. O zaman kenarortayın tamamı \( 3k = 3 \times 10 = 30 \) cm olurdu. Ancak kenarortayın tamamı \( 45 \) cm verilmiş.
- Soruyu en net şekilde şu şekilde yorumlayabiliriz: Kenarortayın tamamı 45 cm. Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \), köşeye olan uzaklığı \( 2k \). \( 3k = 45 \implies k = 15 \) cm. Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( 15 \) cm'dir.
- Sorunun "ağırlık merkezinin, bir kenarortayın masanın kenarına olan uzaklığından \( 10 \) cm daha fazla olduğunu hesaplıyor" ifadesi, eğer ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k \) ise, bu \( k \) değerinin \( 10 \) cm'den daha fazla olduğunu belirtmek için kullanılmış olabilir.
- En olası yorum: Kenarortayın tamamı 45 cm. Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k = 15 \) cm. Ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 2k = 2 \times 15 = 30 \) cm'dir. Sorunun " \( 10 \) cm daha fazla" kısmı, \( 15 \) cm'nin \( 10 \) cm'den fazla olduğunu belirtmek için bir bağlam sağlamış olabilir.
- Sonuç olarak, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 30 \) cm'dir.
Örnek 8:
Bir üçgenin ağırlık merkezinden bir kenarortaya çizilen dikme, kenarortayı ikiye ayırmaktadır. Bu dikmenin uzunluğu \( 6 \) birimdir. Eğer bu kenarortayın uzunluğu \( 20 \) birim ise, ağırlık merkezinin kenarortayın orta noktasına uzaklığı nedir? 📐
Çözüm:
- Soruda bir yanıltmaca bulunmaktadır. Ağırlık merkezinden bir kenarortaya çizilen dikmenin kenarortayı ikiye ayırması durumu, sadece ikizkenar veya eşkenar üçgenlerde mümkündür ve bu da ağırlık merkezinin kenarortayın orta noktasına uzaklığı ile doğrudan ilgili değildir.
- Ancak, sorunun ana fikri ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranıdır.
- Kenarortayın uzunluğu \( 20 \) birimdir.
- Ağırlık merkezi (G), kenarortayı \( 2:1 \) oranında böler. Kenarortayın kenara olan uzaklığı \( k \), köşeye olan uzaklığı ise \( 2k \) olur.
- Toplam uzunluk \( 3k = 20 \) birimdir.
- Buradan \( k = \frac{20}{3} \) birim bulunur.
- Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k = \frac{20}{3} \) birimdir.
- Ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 2k = 2 \times \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \) birimdir.
- Soruda "ağırlık merkezinin kenarortayın orta noktasına uzaklığı" soruluyor. Kenarortayın orta noktası, kenarortayın tam ortasıdır.
- Kenarortayın uzunluğu \( 20 \) birim ise, orta noktasının kenara olan uzaklığı \( 10 \) birimdir.
- Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k = \frac{20}{3} \approx 6.67 \) birimdir.
- Ağırlık merkezinin orta noktasına olan uzaklığı, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı ile orta noktanın kenara olan uzaklığı arasındaki farktır.
- Uzaklık \( | 10 - \frac{20}{3} | \) olur.
- \( | \frac{30}{3} - \frac{20}{3} | = | \frac{10}{3} | = \frac{10}{3} \) birimdir.
- Dikme ile ilgili verilen bilgi, sorunun çözümünde doğrudan kullanılmamaktadır ve muhtemelen bir dikkat dağıtıcıdır veya özel bir üçgen durumu ima etmektedir ki bu da genel bir kuralı değiştirmez.
Örnek 9:
Bir satranç kulübünde, kulüp binasının zemin planı bir üçgen şeklindedir. Kulüp yönetimi, üçgenin tam merkezine (ağırlık merkezine) bir masa yerleştirecektir. Eğer bu üçgenin bir kenarortayının uzunluğu \( 18 \) metre ve bu kenarortayın ağırlık merkezinden geçen kısmının uzunluğu \( 12 \) metre ise, bu kenarortayın diğer kısmının uzunluğu kaç metredir? ♟️
Çözüm:
- Bir üçgenin ağırlık merkezi (G), kenarortayları \( 2:1 \) oranında böler.
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 18 \) metre olarak verilmiştir.
- Ağırlık merkezinden geçen kısmın uzunluğu \( 12 \) metre olarak verilmiştir.
- Ağırlık merkezinden geçen kısım, köşeye daha yakındır. Bu nedenle, bu kısım kenarortayın \( \frac{2}{3} \) 'üne eşittir.
- Yani, \( \frac{2}{3} \times \text{Kenarortay Uzunluğu} = 12 \) olmalıdır.
- Ancak, \( \frac{2}{3} \times 18 = 2 \times 6 = 12 \) metre eder. Bu, verilen bilgilerle tutarlıdır.
- Kenarortayın diğer kısmı, yani ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( \frac{1}{3} \) 'üdür.
- Bu durumda, \( \frac{1}{3} \times \text{Kenarortay Uzunluğu} = \frac{1}{3} \times 18 = 6 \) metre olmalıdır.
- Alternatif olarak, kenarortayın tamamı \( 18 \) metre ve ağırlık merkezinden köşeye olan uzaklık \( 12 \) metre ise, ağırlık merkezinden kenara olan uzaklık \( 18 - 12 = 6 \) metre olur.
- Bu da \( 2:1 \) oranını doğrular (\( 12:6 \)).
- Dolayısıyla, kenarortayın diğer kısmının uzunluğu \( 6 \) metredir.
Örnek 10:
Bir marangoz, bir sehpa için üçgen şeklinde bir üst tabla tasarlıyor. Sehpaların dengede durması için, tablanın ağırlık merkezinin tam ortada olması gerekiyor. Marangoz, bir kenarortayın uzunluğunu \( 30 \) cm olarak ölçüyor. Eğer ağırlık merkezinin bu kenarortayı ayırdığı parçalardan biri \( 10 \) cm ise, bu parçanın diğer parçaya oranı nedir ve bu \( 10 \) cm'lik parça kenara mı yoksa köşeye mi yakındır? 🪵
Çözüm:
- Bir üçgenin ağırlık merkezi (G), kenarortayları \( 2:1 \) oranında böler.
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( 30 \) cm'dir.
- Ağırlık merkezinden geçen kenarortayın bir parçası \( 10 \) cm olarak verilmiştir.
- Bu \( 10 \) cm'lik parça, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığıdır. Çünkü ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı, köşeye olan uzaklığının yarısıdır ve bu \( 1:2 \) oranının \( 1 \) birimlik kısmıdır.
- Ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı \( k = 10 \) cm'dir.
- Bu durumda, ağırlık merkezinin köşeye olan uzaklığı \( 2k = 2 \times 10 = 20 \) cm olmalıdır.
- Kenarortayın tamamının uzunluğu \( k + 2k = 10 + 20 = 30 \) cm'dir. Bu, verilen bilgiyle tutarlıdır.
- Parçalara oranı \( 2:1 \) veya \( 1:2 \) şeklindedir.
- \( 10 \) cm'lik parça, ağırlık merkezinin kenara olan uzaklığı olduğu için, kenara daha yakındır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-ucgenin-agirlik-merkezi-ile-kenarortay-arasindaki-uzaklik/sorular