💡 10. Sınıf Matematik: Bir Sayının Asal Çarpanları ve Bölenleri Çözümlü Örnekler

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal sayılara bölerek ilerleriz.

• 48 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye bölelim: \( 48 \div 2 = 24 \).
• Elde ettiğimiz 24'ü tekrar 2'ye bölelim: \( 24 \div 2 = 12 \).
• 12'yi yine 2'ye bölelim: \( 12 \div 2 = 6 \).
• 6'yı 2'ye bölelim: \( 6 \div 2 = 3 \).
• Şimdi elde ettiğimiz 3, 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 3 \div 3 = 1 \).
• Bölme işlemi 1'e ulaştığında biter.

Bu durumda 48 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Asal çarpanlarına ayrılmış hali ise \( 2^4 \times 3^1 \) şeklindedir. ✅

120 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 120 \div 2 = 60 \)
• \( 60 \div 2 = 30 \)
• \( 30 \div 2 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Bu nedenle 120 sayısı, asal çarpanları 2, 3 ve 5'ten oluşur. Asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) olur. 👉

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için önce o sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.

• 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 180 \div 2 = 90 \)
• \( 90 \div 2 = 45 \)
• \( 45 \div 3 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• \( 5 \div 5 = 1 \)
• Yani, 180'in asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) şeklindedir.
• Pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
• \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18 \).

Dolayısıyla, 180 sayısının 18 tane pozitif tam böleni vardır. ✅

Bir sayının asal çarpanları belliyse, o sayıyı elde etmek için bu asal çarpanları bir kez kullanırız. En küçük sayıyı elde etmek için de bu asal çarpanları birer kez çarparız.

• Sayı \( = 2 \times 3 \times 7 \)
• Sayı \( = 6 \times 7 \)
• Sayı \( = 42 \)

Bu nedenle, asal çarpanları 2, 3 ve 7 olan en küçük doğal sayı 42'dir. 💡

Bu soruda hem bisküvi hem de çikolatanın paket sayılarının ortak bir katını bulmamız gerekiyor. En az sayıda alım yapabilmek için bu sayı, 12 ve 18'in en küçük ortak katı (EKOK) olmalıdır.

• Önce 12 ve 18'i asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
• \( 18 = 2^1 \times 3^2 \)
• EKOK'u bulmak için, tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü büyük olanları alır ve çarparız:
• EKOK(12, 18) \( = 2^2 \times 3^2 \)
• EKOK(12, 18) \( = 4 \times 9 \)
• EKOK(12, 18) \( = 36 \)

Bu durumda market, en az 36 adet bisküvi ve 36 adet çikolata almalıdır. ✅

Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer artırılıp çarpılmasıyla bulunur.

• Verilen sayı \( n = 2^a \times 3^b \times 5^c \) ve bölen sayısı 24'tür.
• Bölen sayısı formülüne göre: \( (a+1)(b+1)(c+1) = 24 \).
• a, b ve c pozitif tam sayılar olduğu için \( a \ge 1, b \ge 1, c \ge 1 \) olmalıdır. Bu durumda \( a+1 \ge 2, b+1 \ge 2, c+1 \ge 2 \) olur.
• 24'ün çarpanlarını bu koşula uyacak şekilde gruplandırmalıyız. Amacımız a + b + c toplamını en büyük yapmaktır. Bunun için a, b, c'nin değerlerini olabildiğince büyük seçmeliyiz.
• Olası çarpan grupları ve karşılık gelen (a, b, c) değerleri (sıralama önemli değil, çünkü toplam soruluyor):
• \( 2 \times 2 \times 6 = 24 \implies a+1=6, b+1=2, c+1=2 \implies a=5, b=1, c=1 \). Toplam = \( 5+1+1 = 7 \).
• \( 2 \times 3 \times 4 = 24 \implies a+1=4, b+1=3, c+1=2 \implies a=3, b=2, c=1 \). Toplam = \( 3+2+1 = 6 \).
• Bu gruplamalar içinde a + b + c toplamının en büyük olduğu durum, \( a=5, b=1, c=1 \) (veya permütasyonları) olduğunda elde edilir.
• Bu durumda \( a + b + c = 5 + 1 + 1 = 7 \) olur.

Ancak soruda a, b ve c'nin pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiş. Eğer a, b, c'den biri 0 olsaydı (yani \( a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0 \) olsaydı), o zaman \( a+1=8, b+1=3, c+1=1 \) gibi durumlar da olabilirdi. Bu durumda \( a=7, b=2, c=0 \) olurdu ve toplam 9 olurdu. Ancak pozitif tam sayı kuralı nedeniyle bu geçerli değildir. Tekrar kontrol edelim: \( (a+1)(b+1)(c+1) = 24 \) ve \( a, b, c \ge 1 \). En büyük toplam için, üslerden birini mümkün olduğunca büyük yapmalıyız. \( a+1 = 6 \implies a=5 \) \( b+1 = 2 \implies b=1 \) \( c+1 = 2 \implies c=1 \) Toplam \( a+b+c = 5+1+1 = 7 \). Başka bir olası gruplama: \( a+1 = 4 \implies a=3 \) \( b+1 = 3 \implies b=2 \) \( c+1 = 2 \implies c=1 \) Toplam \( a+b+c = 3+2+1 = 6 \). En büyük toplam 7'dir. 📌

Bu problemde, toplam kitap sayısının hem 8'e hem de 12'ye tam olarak bölünebilmesi gerekmektedir. Bu, kitap sayısının 8 ve 12'nin ortak katı olması gerektiği anlamına gelir. En az sayıda kitap olması istendiği için, 8 ve 12'nin en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 8'in asal çarpanları: \( 8 = 2^3 \)
• 12'nin asal çarpanları: \( 12 = 2^2 \times 3^1 \)
• EKOK(8, 12) bulmak için tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü büyük olanları alırız:
• EKOK(8, 12) \( = 2^3 \times 3^1 \)
• EKOK(8, 12) \( = 8 \times 3 \)
• EKOK(8, 12) \( = 24 \)

Dolayısıyla, kütüphanedeki kitap sayısının alabileceği en az sayı 24'tür. ✅

Bir sayının pozitif tam bölen sayısını bulmak için öncelikle o sayıyı asal çarpanlarına ayırırız.

• 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 72 \div 2 = 36 \)
• \( 36 \div 2 = 18 \)
• \( 18 \div 2 = 9 \)
• \( 9 \div 3 = 3 \)
• \( 3 \div 3 = 1 \)
• Yani, 72'nin asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 2^3 \times 3^2 \) şeklindedir.
• Pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:
• \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \).

Bu nedenle, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. 👉

360 sayısını en küçük asal sayılardan başlayarak bölelim:

• \( 360 \div 2 = 180 \)
• \( 180 \div 2 = 90 \)
• \( 90 \div 2 = 45 \)
• 45 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e geçelim:
• \( 45 \div 3 = 15 \)
• \( 15 \div 3 = 5 \)
• 5 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 5'e geçelim:
• \( 5 \div 5 = 1 \)

Bölme işlemi 1'e ulaştı. Bu durumda 360 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 💡

Bu soruda, elma ve armut ağaçlarının sıra sayısının eşit olması gerektiği belirtilmiş. Bu eşit sıra sayısı hem 6'ya hem de 9'a tam bölünebilmelidir. Yani sıra sayısı, 6 ve 9'un ortak katı olmalıdır. Ayrıca bu sıra sayısının 100'den az olması isteniyor ve toplam ağaç sayısının en büyük değeri soruluyor. Bu da sıra sayısının 100'den küçük en büyük ortak katı olması gerektiği anlamına gelir.

• Önce 6 ve 9'un EKOK'unu bulalım:
• \( 6 = 2^1 \times 3^1 \)
• \( 9 = 3^2 \)
• EKOK(6, 9) \( = 2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18 \).
• Ortak katlar 18'in katlarıdır: 18, 36, 54, 72, 90, 108, ...
• Bu katlardan 100'den küçük en büyüğü 90'dır.
• Yani, sıra sayısı en fazla 90 olabilir.
• Bu durumda elma ağaçlarının sayısı: \( 90 \times 6 = 540 \)
• Armut ağaçlarının sayısı: \( 90 \times 9 = 810 \)
• Toplam ağaç sayısı: \( 540 + 810 = 1350 \).

Bahçedeki toplam ağaç sayısının alabileceği en büyük değer 1350'dir. ✅