📄 10. Sınıf Matematik: Bir Sayının Asal Çarpanları ve Bölenleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\(180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1\).



a) Pozitif tam bölenlerinin sayısı:

Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız:

\((2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18\).

180 sayısının 18 tane pozitif tam böleni vardır.



b) Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısı:

180 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 tanedir.

Asal olmayan pozitif tam bölen sayısı = (Toplam pozitif bölen sayısı) - (Asal çarpan sayısı)

\(18 - 3 = 15\).

180 sayısının 15 tane asal olmayan pozitif tam böleni vardır.



c) Asal çarpanlarının toplamı:

Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olduğundan, toplamları \(2 + 3 + 5 = 10\) olur.

180 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer artırılarak çarpılmasıyla bulunur.

Verilen sayı \(A = 2^x \cdot 3^2 \cdot 5^1\) olduğundan, pozitif tam bölen sayısı:

\((x+1)(2+1)(1+1)\) olacaktır.

Bu değerin 24 olduğu verilmiştir:

\((x+1) \cdot 3 \cdot 2 = 24\)

\((x+1) \cdot 6 = 24\)

Her iki tarafı 6'ya bölersek:

\(x+1 = 4\)

\(x = 4 - 1\)

\(x = 3\).

Buna göre, \(x\) değeri 3'tür.

💡 Çözüm Adımları:

\(N\) sayısının asal çarpanları sadece 2 ve 5 ise, \(N\) sayısı \(2^a \cdot 5^b\) şeklinde yazılabilir (\(a \ge 1, b \ge 1\)).

Pozitif tam bölen sayısı \((a+1)(b+1)\) formülüyle bulunur ve bu değer 6'ya eşittir.

Yani, \((a+1)(b+1) = 6\).

\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olduğu için \(a+1\) ve \(b+1\) de 1'den büyük tam sayılar olmalıdır.

6'nın çarpanları (1, 6) ve (2, 3)'tür.

Durum 1: \(a+1 = 1\) ve \(b+1 = 6\)

Bu durumda \(a=0\) ve \(b=5\) olur. Ancak \(a \ge 1\) şartını sağlamaz (çünkü asal çarpanı 2 olmalıydı). Bu durum geçersizdir.

Durum 2: \(a+1 = 6\) ve \(b+1 = 1\)

Bu durumda \(a=5\) ve \(b=0\) olur. Ancak \(b \ge 1\) şartını sağlamaz (çünkü asal çarpanı 5 olmalıydı). Bu durum geçersizdir.

Durum 3: \(a+1 = 2\) ve \(b+1 = 3\)

Bu durumda \(a=1\) ve \(b=2\) olur. Her iki şartı da sağlar (\(a \ge 1, b \ge 1\)).

Bu durumda \(N = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50\).

Durum 4: \(a+1 = 3\) ve \(b+1 = 2\)

Bu durumda \(a=2\) ve \(b=1\) olur. Her iki şartı da sağlar (\(a \ge 1, b \ge 1\)).

Bu durumda \(N = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20\).



Buna göre, \(N\) sayısının alabileceği değerler 20 ve 50'dir.