🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir Fonksiyonun Negatif ve Pozitif Değerleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir Fonksiyonun Negatif ve Pozitif Değerleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Verilen \( f(x) = x - 3 \) fonksiyonunun hangi \( x \) değerleri için pozitif olduğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Fonksiyonun pozitif değerler alması demek, \( f(x) > 0 \) olması demektir.
- \( f(x) = x - 3 \)
- \( x - 3 > 0 \) eşitsizliğini çözelim.
- Her iki tarafa 3 eklersek: \( x > 3 \) elde ederiz.
Örnek 2:
\( g(x) = 5 - x \) fonksiyonunun hangi \( x \) değerleri için negatif olduğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun negatif değerler alması demek, \( g(x) < 0 \) olması demektir.
- \( g(x) = 5 - x \)
- \( 5 - x < 0 \) eşitsizliğini çözelim.
- Her iki tarafa \( x \) eklersek: \( 5 < x \) elde ederiz.
Örnek 3:
\( h(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun negatif değerler aldığı \( x \) aralığını bulunuz. 📉
Çözüm:
Fonksiyonun negatif değerler alması demek, \( h(x) < 0 \) olması demektir.
- \( h(x) = x^2 - 4 \)
- \( x^2 - 4 < 0 \) eşitsizliğini çözelim.
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: \( (x - 2)(x + 2) < 0 \) olur.
- Bu eşitsizliğin kökleri \( x = 2 \) ve \( x = -2 \)'dir.
- Bir tablo yaparak veya işaret inceleyerek bu aralıktaki değerleri bulabiliriz.
- \( x < -2 \) için \( (x-2) \) negatif, \( (x+2) \) negatif olur, çarpımları pozitiftir.
- \( -2 < x < 2 \) için \( (x-2) \) negatif, \( (x+2) \) pozitif olur, çarpımları negatiftir.
- \( x > 2 \) için \( (x-2) \) pozitif, \( (x+2) \) pozitif olur, çarpımları pozitiftir.
Örnek 4:
\( k(x) = (x+1)(x-3) \) fonksiyonunun pozitif değerler aldığı \( x \) aralıklarını bulunuz. 📈
Çözüm:
Fonksiyonun pozitif değerler alması demek, \( k(x) > 0 \) olması demektir.
- \( k(x) = (x+1)(x-3) \)
- \( (x+1)(x-3) > 0 \) eşitsizliğini çözelim.
- Bu ifadenin kökleri \( x = -1 \) ve \( x = 3 \)'tür.
- İşaret incelemesi yapalım:
- \( x < -1 \) için \( (x+1) \) negatif, \( (x-3) \) negatif olur, çarpımları pozitiftir.
- \( -1 < x < 3 \) için \( (x+1) \) pozitif, \( (x-3) \) negatif olur, çarpımları negatiftir.
- \( x > 3 \) için \( (x+1) \) pozitif, \( (x-3) \) pozitif olur, çarpımları pozitiftir.
Örnek 5:
Bir grafik üzerinde \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafiğe göre, \( f(x) \) fonksiyonunun negatif olduğu \( x \) değerlerinin kümesini bulunuz. (Grafik: \( y = x^2 - 9 \) parabolünün grafiği düşünülmelidir. Parabolün x eksenini kestiği noktalar -3 ve 3'tür ve kolları yukarı doğrudur.) 📊
Çözüm:
Grafiğin x ekseninin altında kalan kısımları, fonksiyonun negatif değerler aldığı yerleri gösterir.
- Grafiğin \( x \) eksenini kestiği noktalar fonksiyonun kökleridir. Bu kökler \( x = -3 \) ve \( x = 3 \)'tür.
- Parabolün kolları yukarı doğru olduğu için, kökler arasındaki bölgede fonksiyon negatiftir.
- Yani, \( -3 < x < 3 \) olduğunda fonksiyonun grafiği \( x \) ekseninin altındadır.
Örnek 6:
Bir inşaat firması, bir binanın maliyetini \( M(n) = 10000 + 500n \) formülü ile hesaplamaktadır. Burada \( n \), binanın kat sayısıdır. Firma, bu maliyetin 20000 TL'den fazla olmasını istemektedir. Kaç kattan fazla bina yapmalıdır? 🏗️
Çözüm:
Maliyetin 20000 TL'den fazla olması demek, \( M(n) > 20000 \) olması demektir.
- \( M(n) = 10000 + 500n \)
- \( 10000 + 500n > 20000 \) eşitsizliğini çözelim.
- Her iki taraftan 10000 çıkarırsak: \( 500n > 10000 \) elde ederiz.
- Her iki tarafı 500'e bölersek: \( n > \frac{10000}{500} \) olur.
- \( n > 20 \) bulunur.
Örnek 7:
\( f(x) = \frac{x-5}{x+2} \) fonksiyonunun negatif değerler aldığı \( x \) aralığını bulunuz. ➗
Çözüm:
Kesirli bir fonksiyonun negatif olması için pay ve paydanın işaretlerinin zıt olması gerekir.
- Kesrin kökleri \( x = 5 \) (paydan) ve \( x = -2 \) (paydadan) olur.
- Bu kökleri bir sayı doğrusunda göstererek işaret incelemesi yapalım:
- \( x < -2 \) için, pay \( (x-5) \) negatif, payda \( (x+2) \) negatif olur. Oran: Pozitif.
- \( -2 < x < 5 \) için, pay \( (x-5) \) negatif, payda \( (x+2) \) pozitif olur. Oran: Negatif.
- \( x > 5 \) için, pay \( (x-5) \) pozitif, payda \( (x+2) \) pozitif olur. Oran: Pozitif.
- Paydanın sıfır olamayacağını unutmayalım, yani \( x \neq -2 \).
Örnek 8:
\( p(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun pozitif değerler aldığı \( x \) aralığını bulunuz. 🎢
Çözüm:
Fonksiyonun pozitif değerler alması demek, \( p(x) > 0 \) olması demektir.
- \( -x^2 + 6x - 5 > 0 \) eşitsizliğini çözelim.
- Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparsak işaret değişir: \( x^2 - 6x + 5 < 0 \).
- Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \( (x-1)(x-5) < 0 \).
- Bu eşitsizliğin kökleri \( x = 1 \) ve \( x = 5 \)'tir.
- İşaret incelemesi yapalım:
- \( x < 1 \) için \( (x-1) \) negatif, \( (x-5) \) negatif olur, çarpımları pozitiftir.
- \( 1 < x < 5 \) için \( (x-1) \) pozitif, \( (x-5) \) negatif olur, çarpımları negatiftir.
- \( x > 5 \) için \( (x-1) \) pozitif, \( (x-5) \) pozitif olur, çarpımları pozitiftir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-fonksiyonun-negatif-ve-pozitif-degerleri/sorular