💡 10. Sınıf Matematik: Bir Doğru Parçasını Belirli Oranda Bölen Noktalar Çözümlü Örnekler

Bu tür soruları çözmek için orantı formülünü kullanacağız.
Doğru parçasını m:n oranında içten bölen C(x, y) noktasının koordinatları şu formülle bulunur:

• \[ x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n} \]
• \[ y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n} \]

Burada A(x_A, y_A) = (2, 5) ve B(x_B, y_B) = (8, 11) noktalarıdır.
Oranımız 1:2 olduğundan, m = 1 ve n = 2'dir.
Şimdi bu değerleri formüllere yerleştirelim:

• C noktasının x-koordinatı: \[ x = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1+2} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
• C noktasının y-koordinatı: \[ y = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 11}{1+2} = \frac{10 + 11}{3} = \frac{21}{3} = 7 \]

Sonuç olarak, C noktasının koordinatları (4, 7) olur. ✅

Doğru parçasını m:n oranında dıştan bölen K(x, y) noktasının koordinatları için formül biraz farklıdır:

• \[ x = \frac{n \cdot x_P - m \cdot x_R}{n-m} \]
• \[ y = \frac{n \cdot y_P - m \cdot y_R}{n-m} \]

Burada P(x_P, y_P) = (-3, 7) ve R(x_R, y_R) = (9, -5) noktalarıdır.
Oranımız 2:1 olduğundan, m = 2 ve n = 1'dir.
Şimdi değerleri formüllere uygulayalım:

• K noktasının x-koordinatı: \[ x = \frac{1 \cdot (-3) - 2 \cdot 9}{1-2} = \frac{-3 - 18}{-1} = \frac{-21}{-1} = 21 \]
• K noktasının y-koordinatı: \[ y = \frac{1 \cdot 7 - 2 \cdot (-5)}{1-2} = \frac{7 + 10}{-1} = \frac{17}{-1} = -17 \]

Bu durumda, K noktasının koordinatları (21, -17) olarak bulunur. 👉

Bir doğru parçasının orta noktası, o doğru parçasını 1:1 oranında içten bölen noktadır.
Yani, m=1 ve n=1 alarak içten bölme formülünü kullanabiliriz.
Orta noktanın koordinatları (x_orta, y_orta) şu şekilde hesaplanır:

• \[ x_{orta} = \frac{x_A + x_B}{2} \]
• \[ y_{orta} = \frac{y_A + y_B}{2} \]

Verilen noktalar A(1, 3) ve B(7, 9) olduğuna göre:

• \[ x_{orta} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
• \[ y_{orta} = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

AB doğru parçasının orta noktası (4, 6) noktasıdır. ✨

Bu problemi analitik düzlemdeki nokta bölme problemi gibi düşünebiliriz.
Telefon A'nın fiyatını bir nokta (1200) ve Telefon B'nin fiyatını diğer nokta (2400) olarak kabul edelim.
Doğru parçasını 1:2 oranında içten bölen noktayı bulacağız.
Burada m=1 ve n=2'dir.
Yeni telefonun fiyatını (x) bulmak için içten bölme formülünü kullanırız:

• \[ x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n} \]

Değerleri yerine koyalım:

• \[ x = \frac{2 \cdot 1200 + 1 \cdot 2400}{1+2} = \frac{2400 + 2400}{3} = \frac{4800}{3} = 1600 \]

Bu yeni telefonun fiyatı 1600 TL olur. Bu fiyat, Telefon A'ya (1200 TL) daha yakındır, çünkü oran 1:2'dir. 💯

Öncelikle C noktasının koordinatlarını (x ve y) bulmamız gerekiyor.
İçten bölme formülünü kullanacağız: m=3, n=1.
A(x_A, y_A) = (-1, 4) ve B(x_B, y_B) = (5, -8) noktalarıdır.

• C noktasının x-koordinatı: \[ x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n} = \frac{1 \cdot (-1) + 3 \cdot 5}{3+1} = \frac{-1 + 15}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \]
• C noktasının y-koordinatı: \[ y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n} = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot (-8)}{3+1} = \frac{4 - 24}{4} = \frac{-20}{4} = -5 \]

C noktasının koordinatları \( (\frac{7}{2}, -5) \) olarak bulunur.
Şimdi bizden istenen x + y toplamını hesaplayalım:

• \[ x + y = \frac{7}{2} + (-5) = \frac{7}{2} - \frac{10}{2} = \frac{7-10}{2} = \frac{-3}{2} \]

x + y toplamı \( -\frac{3}{2} \) olur. 👍

Bu, bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktayı bulma problemidir.
A noktası (2, 3) ve B noktası (10, 7) olarak verilmiş.
C noktasının AB doğru parçasını 1:3 oranında böldüğünü biliyoruz. Bu, C noktasının A'ya daha yakın olduğu anlamına gelir.
Burada m=1 ve n=3'tür.
C noktasının koordinatlarını (x, y) bulmak için içten bölme formülünü kullanacağız:

• \[ x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n} \]
• \[ y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n} \]

Değerleri yerine koyalım:

• C noktasının x-koordinatı: \[ x = \frac{3 \cdot 2 + 1 \cdot 10}{1+3} = \frac{6 + 10}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]
• C noktasının y-koordinatı: \[ y = \frac{3 \cdot 3 + 1 \cdot 7}{1+3} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

C noktasının koordinatları (4, 4) olur. 🧭

Bu soruda dıştan bölme formülünü kullanacağız ve verilen bilgileri kullanarak bilinmeyenleri bulacağız.
A(x_A, y_A) = (k, 2) ve B(x_B, y_B) = (4, 3k) noktalarıdır.
Oranımız 2:1 olduğundan, m=2 ve n=1'dir.
Dıştan bölen noktanın koordinatları (x, y) için formüller:

• \[ x = \frac{n \cdot x_A - m \cdot x_B}{n-m} \]
• \[ y = \frac{n \cdot y_A - m \cdot y_B}{n-m} \]

Soruda dıştan bölen noktanın apsisinin 10 olduğu verilmiş. Yani x = 10.
Bu bilgiyi kullanarak k değerini bulalım:

• \[ 10 = \frac{1 \cdot k - 2 \cdot 4}{1-2} \]
• \[ 10 = \frac{k - 8}{-1} \]
• \[ -10 = k - 8 \]
• \[ k = -10 + 8 \]
• \[ k = -2 \]

Şimdi k değerini bulduğumuza göre, B noktasının ordinatını hesaplayabiliriz.
B noktasının ordinatı 3k idi.

• B'nin ordinatı = \( 3 \cdot (-2) = -6 \)

B noktasının ordinatı -6'dır. 🎯

Bu problemi çözmek için içten bölme formülünü kullanacağız.
K(x_K, y_K) = (1, 5) ve L(x_L, y_L) = (9, 1) noktalarıdır.
Oranımız 1:3 olduğundan, m=1 ve n=3'tür.
M noktasının koordinatları (x, y) şu şekilde bulunur:

• \[ x = \frac{n \cdot x_K + m \cdot x_L}{m+n} \]
• \[ y = \frac{n \cdot y_K + m \cdot y_L}{m+n} \]

Değerleri formüllere yerleştirelim:

• M noktasının x-koordinatı: \[ x = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 9}{1+3} = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]
• M noktasının y-koordinatı: \[ y = \frac{3 \cdot 5 + 1 \cdot 1}{1+3} = \frac{15 + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

Sonuç olarak, M noktasının koordinatları (3, 4) olur. 🌟