💡 10. Sınıf Matematik: Bir Doğal Sayının Asal Çarpanları ve Bölenleri Çözümlü Örnekler

120 sayısının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz.

• 120 sayısı çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 120 \div 2 = 60 \)
• 60 sayısı da çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 60 \div 2 = 30 \)
• 30 sayısı da çift olduğu için 2'ye bölünür: \( 30 \div 2 = 15 \)
• 15 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölünür: \( 15 \div 3 = 5 \)
• 5 sayısı sadece kendisine bölünür: \( 5 \div 5 = 1 \)

Bu bölme işlemleri sonucunda kullandığımız asal sayılar 2, 3 ve 5'tir. Bu nedenle, 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. 💡
120 = \( 2^3 \times 3 \times 5 \) şeklinde de ifade edilebilir.

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 72 \div 2 = 36 \)
• \( 36 \div 2 = 18 \)
• \( 18 \div 2 = 9 \)
• \( 9 \div 3 = 3 \)
• \( 3 \div 3 = 1 \)

Yani, \( 72 = 2^3 \times 3^2 \) şeklinde yazılır.
Pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

• Üsler 3 ve 2'dir.
• Bunları birer artırırsak: \( (3+1) \) ve \( (2+1) \) olur.
• Çarparsak: \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \)

Bu nedenle, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅

Öncelikle 360 sayısının tüm pozitif tam bölenlerinin sayısını bulalım.

• 360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 360 = 36 \times 10 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)

Tüm pozitif tam bölenlerinin sayısı: \( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \) tanedir.
Şimdi asal olan pozitif tam bölenlerini bulalım. Bir sayının asal çarpanları aynı zamanda onun asal bölenleridir.

• 360'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
• Yani, 3 tane asal pozitif tam böleni vardır.

Asal olmayan pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için tüm bölen sayısından asal bölen sayısını çıkarırız.

• Asal olmayan bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Asal bölen sayısı
• Asal olmayan bölen sayısı = \( 24 - 3 = 21 \)

Dolayısıyla, 360 sayısının 21 tane asal olmayan pozitif tam böleni vardır. 👉

Bu soruyu çözmek için 1'den 50'ye kadar olan sayıları incelemeli ve sadece iki farklı asal çarpana sahip olanları belirlemeliyiz.

• Örnek olarak, 6 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. \( 6 = 2 \times 3 \).
• 10 sayısının asal çarpanları 2 ve 5'tir. \( 10 = 2 \times 5 \).
• 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. \( 12 = 2^2 \times 3 \).

Şimdi 1'den 50'ye kadar bu şekilde olan sayıları listeleyelim:

• 2 ve 3'ün çarpımları: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48
• 2 ve 5'in çarpımları: 10, 20, 30, 40, 50
• 2 ve 7'nin çarpımları: 14, 28, 42
• 2 ve 11'in çarpımları: 22, 44
• 2 ve 13'ün çarpımları: 26
• 2 ve 17'nin çarpımları: 34
• 2 ve 19'un çarpımları: 38
• 2 ve 23'ün çarpımları: 46
• 3 ve 5'in çarpımları: 15, 30, 45
• 3 ve 7'nin çarpımları: 21, 42
• 3 ve 11'in çarpımları: 33
• 3 ve 13'ün çarpımları: 39
• 5 ve 7'nin çarpımları: 35

Bu listeleri birleştirip tekrar edenleri çıkardığımızda (ve 1'den büyük olduklarından emin olduğumuzda): 6, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50.
Bu listede toplam 26 sayı bulunmaktadır. 📌

Bu problemi çözmek için A marka sabunların toplam sayısının hem 6'nın hem de B marka sabunların toplam sayısının 8'in katı olması gerektiğini anlamalıyız. Soruda "eşit sayıda paket" geldiği belirtiliyor, bu da iki farklı marka için aynı sayıda paket geldiği anlamına gelmez. Sorudaki kastedilen, A marka sabunların toplam sayısı ile B marka sabunların toplam sayısının eşit olmasıdır. Ancak bu yorum, sorunun orijinal anlamına aykırı düşmektedir. Sorunun daha olası yorumu, marketin A ve B marka sabunlardan toplamda eşit sayıda sabun almak istediğidir. Bu durumda, A marka sabunlar 6'lı paketlerde, B marka sabunlar ise 8'li paketlerde geldiği için, toplam sabun sayısının hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katı olması gerekir. En az sayıda olması istendiği için, 6 ve 8'in en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 6 ve 8'in asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 6 = 2 \times 3 \)
• \( 8 = 2^3 \)

EKOK(6, 8) bulmak için, her asal çarpanın en yüksek üssünü alırız:

• EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)

Bu demektir ki, gelen toplam sabun sayısı en az 24 olabilir.
Bu durumda:

• A marka sabunlardan \( 24 \div 6 = 4 \) paket gelmiştir.
• B marka sabunlardan \( 24 \div 8 = 3 \) paket gelmiştir.

Ancak soruda "eşit sayıda paket geldiğinde" ifadesi, eğer her iki markadan da aynı sayıda paket gelmesi isteniyorsa, bu durumda problem farklılaşır. Eğer soruda kastedilen, A'dan x paket, B'den y paket gelip toplam sabun sayılarının eşit olması ise, o zaman yukarıdaki çözüm doğrudur. Eğer A'dan x paket ve B'den de x paket gelmesi isteniyorsa, bu durumda toplam sabun sayısı A için \( 6x \) ve B için \( 8x \) olur ki bu iki değer eşit olamaz. Sorunun orijinal metnindeki "eşit sayıda paket geldiğinde" ifadesi, "gelen toplam sabun sayısının eşit olması" şeklinde yorumlanmalıdır.
Bu nedenle, toplam sabun sayısı en az 24 olmalıdır. 💯

Bu durumda, pastanenin hem kurabiye satışından hem de kek satışından elde ettiği toplam gelirin aynı olması için, satılan kurabiye sayısının 12'nin katı ve satılan kek sayısının 10'un katı olması gerekir. Soruda "toplam gelir aynı olsun" denildiği için, bu aslında satılan adetlerin toplamının eşit olması anlamına gelir. Bu nedenle, 12 ve 10 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 12 ve 10'u asal çarpanlarına ayıralım:
• \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• \( 10 = 2 \times 5 \)

EKOK(12, 10) bulmak için, her asal çarpanın en yüksek üssünü alırız:

• EKOK(12, 10) = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)

Bu demektir ki, satılan toplam kurabiye veya kek sayısı en az 60 olmalıdır.
Bu durumda:

• Kurabiye satışından elde edilen gelir için 60 adet kurabiye satılmıştır. Bu da \( 60 \div 12 = 5 \) paket kurabiye demektir.
• Kek satışından elde edilen gelir için 60 adet kek satılmıştır. Bu da \( 60 \div 10 = 6 \) kutu kek demektir.

Dolayısıyla, en az 60 adet kurabiye satıldığında toplam gelir aynı olur. 💰

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarına ayrılmış halindeki üsleri birer artırıp çarparız. Eğer sayımız \( N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_k^{e_k} \) ise, bölen sayısı \( (e_1+1)(e_2+1)\dots(e_k+1) \) olur.
Soruda verilen sayı \( N = 3^a \times 5^b \) şeklinde yazılabilen bir sayıdır. Bu sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı 15'tir.

• Bölen sayısı = \( (a+1)(b+1) = 15 \)

15'in çarpanları 1, 3, 5, 15'tir. Bu durumda \( (a+1) \) ve \( (b+1) \) şu değerleri alabilir:

• Durum 1: \( a+1 = 1 \) ve \( b+1 = 15 \). Buradan \( a=0 \) ve \( b=14 \) çıkar. Sayı \( 3^0 \times 5^{14} = 5^{14} \) olur. Bu durumda asal çarpan sadece 5'tir.
• Durum 2: \( a+1 = 15 \) ve \( b+1 = 1 \). Buradan \( a=14 \) ve \( b=0 \) çıkar. Sayı \( 3^{14} \times 5^0 = 3^{14} \) olur. Bu durumda asal çarpan sadece 3'tür.
• Durum 3: \( a+1 = 3 \) ve \( b+1 = 5 \). Buradan \( a=2 \) ve \( b=4 \) çıkar. Sayı \( 3^2 \times 5^4 \) olur. Bu durumda asal çarpanlar 3 ve 5'tir.
• Durum 4: \( a+1 = 5 \) ve \( b+1 = 3 \). Buradan \( a=4 \) ve \( b=2 \) çıkar. Sayı \( 3^4 \times 5^2 \) olur. Bu durumda asal çarpanlar 3 ve 5'tir.

Soruda "sayının asal çarpanlarının toplamı" soruluyor. Bu, sayının kendisinin asal çarpanlarıdır, üsleri değil.

• Durum 1 ve 2'de sadece bir tane asal çarpan vardır (3 veya 5).
• Durum 3 ve 4'te ise iki tane asal çarpan vardır: 3 ve 5.

Sorunun ifadesi "sayının asal çarpanlarının toplamı" şeklinde olduğu için, bu sayının kendisinin asal çarpanlarını kasteder. Eğer sayı \( 3^2 \times 5^4 \) veya \( 3^4 \times 5^2 \) ise, asal çarpanları 3 ve 5'tir. Bu durumda asal çarpanlarının toplamı \( 3 + 5 = 8 \) olur.
Eğer sayı \( 5^{14} \) ise asal çarpanı 5'tir, toplamı 5 olur. Eğer sayı \( 3^{14} \) ise asal çarpanı 3'tür, toplamı 3 olur. Ancak soruda \( 3^a \times 5^b \) şeklinde yazılabilen bir sayıdan bahsedildiği için, hem 3 hem de 5'in üssünün pozitif olması en olası durumdur. Bu nedenle en mantıklı yorum, sayının asal çarpanlarının 3 ve 5 olduğudur. 👍

Bir sayının asal çarpanları 2 ve 7 ise, bu sayı \( N = 2^a \times 7^b \) şeklinde yazılabilir, burada \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılardır (çünkü asal çarpanlar 2 ve 7'dir, yani bu çarpanlar mutlaka bulunmalıdır).
Bu sayının pozitif tam bölenlerinin sayısı 12'dir. Bölen sayısı formülünü kullanarak:

• \( (a+1)(b+1) = 12 \)

Şimdi 12'nin çarpanlarını inceleyelim ve \( a \) ile \( b \) için pozitif tam sayı değerleri bulmaya çalışalım. \( a+1 \) ve \( b+1 \) 1'den büyük olmalıdır çünkü \( a \) ve \( b \) pozitif tam sayılardır.
12'nin çarpan çiftleri (1'den büyük olanlar):

• Durum 1: \( a+1 = 2 \) ve \( b+1 = 6 \). Buradan \( a=1 \) ve \( b=5 \) çıkar. Sayı \( N = 2^1 \times 7^5 \) olur.
• Durum 2: \( a+1 = 6 \) ve \( b+1 = 2 \). Buradan \( a=5 \) ve \( b=1 \) çıkar. Sayı \( N = 2^5 \times 7^1 \) olur.
• Durum 3: \( a+1 = 3 \) ve \( b+1 = 4 \). Buradan \( a=2 \) ve \( b=3 \) çıkar. Sayı \( N = 2^2 \times 7^3 \) olur.
• Durum 4: \( a+1 = 4 \) ve \( b+1 = 3 \). Buradan \( a=3 \) ve \( b=2 \) çıkar. Sayı \( N = 2^3 \times 7^2 \) olur.

Bu sayının alabileceği en küçük değeri bulmak için bu dört durumu hesaplayalım:

• Durum 1: \( N = 2^1 \times 7^5 = 2 \times 16807 = 33614 \)
• Durum 2: \( N = 2^5 \times 7^1 = 32 \times 7 = 224 \)
• Durum 3: \( N = 2^2 \times 7^3 = 4 \times 343 = 1372 \)
• Durum 4: \( N = 2^3 \times 7^2 = 8 \times 49 = 392 \)

Bu değerler arasında en küçüğü 224'tür. 🚀

Bu soruyu çözmek için öncelikle 1'den 100'e kadar olan her sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmamız ve bu sayının 10'dan büyük olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor.
Bir sayının bölen sayısını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Eğer \( N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_k^{e_k} \) ise, bölen sayısı \( (e_1+1)(e_2+1)\dots(e_k+1) \) olur.
10'dan fazla böleni olan sayıları bulmak için, bölen sayısı 11, 12, 13, ... olan sayıları incelemeliyiz.

• Bölen sayısı 11 olan sayılar: 11 bir asal sayıdır. Dolayısıyla, bölen sayısı 11 olan sayılar \( p^{10} \) formunda olmalıdır. 1'den 100'e kadar olan sayılar için: \( 2^{10} = 1024 \) (100'den büyük). Bu nedenle bu formda sayı yoktur.
• Bölen sayısı 12 olan sayılar: Bölen sayısı 12 olabilmesi için üslerin çarpımı 12'yi vermelidir. Olası üs kombinasyonları (artırılmış üsler): \( (11,1), (5,2), (3,3), (2,2,1) \).
• \( p^{11} \): \( 2^{11} \) (çok büyük).
• \( p_1^5 \times p_2^1 \): \( 2^5 \times 3^1 = 32 \times 3 = 96 \). \( 2^5 \times 5^1 = 32 \times 5 = 160 \) (büyük). \( 3^5 \times 2^1 \) (büyük).
• \( p_1^3 \times p_2^2 \): \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \). \( 2^3 \times 5^2 = 8 \times 25 = 200 \) (büyük). \( 3^3 \times 2^2 = 27 \times 4 = 108 \) (büyük).
• \( p_1^2 \times p_2^1 \times p_3^1 \): \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \). \( 2^2 \times 3^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 7 = 84 \). \( 2^2 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 5 \times 7 = 140 \) (büyük). \( 3^2 \times 2^1 \times 5^1 = 9 \times 2 \times 5 = 90 \).

Şu ana kadar bölen sayısı 12 olan sayılar: 96, 72, 60, 84, 90. (5 öğrenci)
Şimdi diğer olası bölen sayılarını inceleyelim.

• Bölen sayısı 13 olan sayılar: 13 asal olduğu için \( p^{12} \) şeklinde olmalı. \( 2^{12} \) (çok büyük).
• Bölen sayısı 14 olan sayılar: \( p_1^6 \times p_2^1 \). \( 2^6 \times 3^1 = 64 \times 3 = 192 \) (büyük). \( 2^1 \times 7^6 \) (çok büyük).
• Bölen sayısı 15 olan sayılar: \( p_1^4 \times p_2^2 \). \( 2^4 \times 3^2 = 16 \times 9 = 144 \) (büyük). \( 3^4 \times 2^2 = 81 \times 4 = 324 \) (büyük). \( 3^2 \times 5^4 \) (çok büyük).
• Bölen sayısı 16 olan sayılar: \( p^{15} \), \( p_1^7 \times p_2^1 \), \( p_1^3 \times p_2^3 \), \( p_1^3 \times p_2^1 \times p_3^1 \).
• \( 2^3 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 \) (büyük).
• \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120 \) (büyük).
• \( 2^7 \times 3^1 \) (büyük).

Daha sistematik bir yaklaşım izleyelim: 1'den 100'e kadar olan sayıların bölen sayılarını listeleyelim ve 10'dan büyük olanları sayalım.

• 1-10 arası sayılar: Bölen sayıları genelde küçüktür.
• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 (6 tane)
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18 (6 tane)
• 20'nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20 (6 tane)
• 24'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (8 tane)
• 30'un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 (8 tane)
• 36'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 (9 tane)
• 40'ın bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 (8 tane)
• 42'nin bölenleri: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 (8 tane)
• 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 (10 tane)
• 50'nin bölenleri: 1, 2, 5, 10, 25, 50 (6 tane)
• 54'ün bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 (8 tane)
• 56'nın bölenleri: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56 (8 tane)
• 60'ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (12 tane) -> 10'dan fazla
• 64'ün bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 (7 tane)
• 70'in bölenleri: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 (8 tane)
• 72'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 (12 tane) -> 10'dan fazla
• 75'in bölenleri: 1, 3, 5, 15, 25, 75 (6 tane)
• 80'in bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 (10 tane)
• 84'ün bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 (12 tane) -> 10'dan fazla
• 90'ın bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 (12 tane) -> 10'dan fazla
• 96'nın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 (12 tane) -> 10'dan fazla
• 100'ün bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 (9 tane)

10'dan fazla şeker alan öğrenciler (bölen sayısı 10'dan fazla olan sayılar): 60, 72, 84, 90, 96. Bu sayılar 5 tanedir.
Ek olarak, bölen sayısı 10 olan sayılar da 10'dan fazla şeker almıştır. Bunlar: 48, 80.
Toplamda 10'dan fazla şeker alan öğrenci sayısı: 5 (bölen sayısı > 10) + 2 (bölen sayısı = 10) = 7 öğrenci.
Kontrol edelim:

• Bölen sayısı 11: Yok
• Bölen sayısı 12: 60, 72, 84, 90, 96 (5 sayı)
• Bölen sayısı 13: Yok
• Bölen sayısı 14: Yok (1'den 100'e kadar \( p^6 \times q \) veya \( p^{13} \))
• Bölen sayısı 15: Yok (1'den 100'e kadar \( p^4 \times q^2 \))
• Bölen sayısı 16: Yok (1'den 100'e kadar \( p^{15} \), \( p^7 \times q \), \( p^3 \times q^3 \), \( p^3 \times q \times r \))

Bu durumda sadece bölen sayısı 12 olan sayılar (60, 72, 84, 90, 96) 10'dan fazla şeker almıştır. Bu 5 öğrenci eder.
Eğer "10'dan fazla" ifadesi kesinlikle 10'dan büyük anlamında ise, o zaman sadece bölen sayısı 11, 12, 13, ... olanlar sayılacaktır. Bu durumda 5 öğrenci vardır.
Eğer "en az 10" gibi bir anlamı varsa, o zaman bölen sayısı 10 olanlar da dahil edilir. Ancak soruda "10'dan fazla" denmiş.
Bu nedenle, 10'dan fazla şeker alan öğrenci sayısı 5'tir. 📚