💡 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları ve bölenleri ayırma Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanacağız.

• Adım 1: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başlayın.
• Adım 2: Bölüm asal olana kadar bu işleme devam edin.

\( 120 \div 2 = 60 \) \( 60 \div 2 = 30 \) \( 30 \div 2 = 15 \) \( 15 \div 3 = 5 \) \( 5 \div 5 = 1 \)
Bu durumda 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.
Asal çarpanlarına ayrılmış hali ise \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklinde gösterilir. 💡

Pozitif tam bölen sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• Adım 1: 72 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 72 = 2 \times 36 \) \( 72 = 2 \times 2 \times 18 \) \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 \) \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
Yani, \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)

• Adım 2: Asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpın.

Bölen sayısı = \( (3+1) \times (2+1) \) Bölen sayısı = \( 4 \times 3 \) Bölen sayısı = 12
Dolayısıyla, 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅

Bu soruyu çözmek için önce 180 sayısının toplam pozitif tam bölen sayısını bulup, ardından asal olan bölenlerini çıkaracağız.

• Adım 1: 180 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 180 = 18 \times 10 \) \( 180 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) \) \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

• Adım 2: Toplam pozitif tam bölen sayısını hesaplayın.

Toplam bölen sayısı = \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) \) Toplam bölen sayısı = \( 3 \times 3 \times 2 \) Toplam bölen sayısı = 18

• Adım 3: 180 sayısının asal bölenlerini belirleyin.

180'in asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani 3 tane asal böleni vardır.

• Adım 4: Asal olmayan bölen sayısını bulun.

Asal olmayan bölen sayısı = Toplam bölen sayısı - Asal bölen sayısı Asal olmayan bölen sayısı = \( 18 - 3 \) Asal olmayan bölen sayısı = 15
Yani, 180 sayısının 15 tane asal olmayan pozitif tam böleni vardır. 👉

Önce 360 sayısının toplam pozitif tam bölen sayısını bulalım.

• Adım 1: 360 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 360 = 36 \times 10 \) \( 360 = (2^2 \times 3^2) \times (2 \times 5) \) \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)

• Adım 2: Toplam pozitif tam bölen sayısını hesaplayın.

Toplam bölen sayısı = \( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \) Toplam bölen sayısı = \( 4 \times 3 \times 2 \) Toplam bölen sayısı = 24
Şimdi de çift bölen sayısını bulalım. Bir sayının çift böleni olması için, bölenin içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır.

• Adım 3: Çift bölen sayısını hesaplamak için 2 çarpanını sabit tutarak diğer çarpanların üslerini bir artırıp çarpın.

Çift bölen sayısı = \( 1 \times (2+1) \times (1+1) \) (Burada ilk 2'nin üssü sabit tutuldu ve 1 ile çarpıldı) Çift bölen sayısı = \( 1 \times 3 \times 2 \) Çift bölen sayısı = 6
Bu hesaplama yanlış! Doğrusu şu şekilde:

• Adım 3 (Düzeltilmiş): Çift bölen sayısını bulmak için, asal çarpanlara ayırdığımız \( 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) ifadesinde, 2'nin üssünü sabit tutarız (yani 3'ü kullanırız) ve diğer çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

Çift bölen sayısı = \( 3 \times (2+1) \times (1+1) \) Çift bölen sayısı = \( 3 \times 3 \times 2 \) Çift bölen sayısı = 18
Sonuç olarak, 360 sayısının 24 tane pozitif tam böleni vardır ve bunların 18 tanesi çift sayıdır. 💯

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen fiyatların EKOK'unu bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Fiyatları asal çarpanlarına ayırın.

\( 8 = 2^3 \) \( 12 = 2^2 \times 3 \) \( 15 = 3 \times 5 \)

• Adım 2: EKOK'u bulmak için tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alın ve çarpın.

EKOK(8, 12, 15) = \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) EKOK(8, 12, 15) = \( 8 \times 3 \times 5 \) EKOK(8, 12, 15) = 120 TL
Bu, pastanenin o gün elde ettiği toplam gelirin 120 TL olduğu anlamına gelir.

• Adım 3: Her bir fiyat türünden en az kaç tane satıldığını bulun.

8 TL'lik kekten satılan en az sayı = \( 120 \div 8 = 15 \) adet 12 TL'lik kekten satılan en az sayı = \( 120 \div 12 = 10 \) adet 15 TL'lik kekten satılan en az sayı = \( 120 \div 15 = 8 \) adet

• Adım 4: Toplam satılan en az kek sayısını bulun.

Toplam en az kek sayısı = \( 15 + 10 + 8 = 33 \) adet
Bu pastanede o gün en az 33 tane kek satılmıştır. 🍰

Bu problemde, çiftçinin dikebileceği fidan sayısının hem 6'ya hem de 8'e tam bölünebilmesi gerekiyor. Bu da bizden 6 ve 8 sayılarının EKOK'unu bulmamızı istiyor.

• Adım 1: 6 ve 8 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 6 = 2 \times 3 \) \( 8 = 2^3 \)

• Adım 2: EKOK'u bulmak için tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alın ve çarpın.

EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 \) EKOK(6, 8) = \( 8 \times 3 \) EKOK(6, 8) = 24
Çiftçinin tarlasında dikebileceği en az domates fidesi sayısı 24'tür. 🍅

Bu soruyu çözmek için öncelikle 240 sayısının tüm pozitif tam bölenlerini bulup, ardından bu bölenler arasından üç basamaklı olanları sayacağız.

• Adım 1: 240 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 240 = 24 \times 10 \) \( 240 = (2^3 \times 3) \times (2 \times 5) \) \( 240 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1 \)

• Adım 2: Toplam pozitif tam bölen sayısını hesaplayın.

Toplam bölen sayısı = \( (4+1) \times (1+1) \times (1+1) \) Toplam bölen sayısı = \( 5 \times 2 \times 2 \) Toplam bölen sayısı = 20

• Adım 3: 240 sayısının tüm pozitif tam bölenlerini listeleyin.

Bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

• Adım 4: Listeden üç basamaklı olanları belirleyin.

Üç basamaklı bölenler: 120, 240
Yani, 240 sayısının 2 tane pozitif tam böleni üç basamaklıdır. 🔢

100 sayısının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Adım 1: 100 sayısını en küçük asal sayıdan başlayarak bölün.

\( 100 \div 2 = 50 \) \( 50 \div 2 = 25 \) \( 25 \div 5 = 5 \) \( 5 \div 5 = 1 \)
100 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 2^2 \times 5^2 \) şeklindedir.

• Adım 2: Asal çarpanları bir küme içinde gösterin.

100 sayısının asal çarpanları kümesi {2, 5}'tir. 🔵

Önce 450 sayısının toplam pozitif tam bölen sayısını bulalım.

• Adım 1: 450 sayısını asal çarpanlarına ayırın.

\( 450 = 45 \times 10 \) \( 450 = (3^2 \times 5) \times (2 \times 5) \) \( 450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \)

• Adım 2: Toplam pozitif tam bölen sayısını hesaplayın.

Toplam bölen sayısı = \( (1+1) \times (2+1) \times (2+1) \) Toplam bölen sayısı = \( 2 \times 3 \times 3 \) Toplam bölen sayısı = 18
Şimdi de 5 ile tam bölünen bölen sayısını bulalım. Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için, bölenin içinde en az bir tane 5 çarpanı bulunmalıdır.

• Adım 3: 5 ile bölünen bölen sayısını bulmak için, asal çarpanlara ayırdığımız \( 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \) ifadesinde, 5'in üssünü sabit tutarız (yani 2'yi kullanırız) ve diğer çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

5 ile bölünen bölen sayısı = \( (1+1) \times (2+1) \times 2 \) (Burada 5'in üssü sabit tutuldu ve 2 ile çarpıldı) 5 ile bölünen bölen sayısı = \( 2 \times 3 \times 2 \) 5 ile bölünen bölen sayısı = 12
Sonuç olarak, 450 sayısının 18 tane pozitif tam böleni vardır ve bunların 12 tanesi 5 ile tam bölünür. 💰