💡 10. Sınıf Matematik: Bir Dogal Sayi Ile Asal Carpanlari Ve Bolenleri Arasindaki Iliski Çözümlü Örnekler

Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için o sayıyı asal çarpanlarına ayırmamız gerekir.

• Adım 1: En küçük asal sayıdan başlayarak sayıyı bölmeye çalışın. 120 çift olduğu için 2'ye bölünür.


• Adım 2: 120 / 2 = 60


• Adım 3: 60 da çift olduğu için tekrar 2'ye bölünür. 60 / 2 = 30


• Adım 4: 30 da çift olduğu için tekrar 2'ye bölünür. 30 / 2 = 15


• Adım 5: 15 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı olan 3'e bölünür. 15 / 3 = 5


• Adım 6: 5 asal bir sayıdır ve sadece 5'e bölünür. 5 / 5 = 1


• Sonuç: 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) şeklinde yazılabilir. ✅

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Daha sonra asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız.

• Adım 1: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.


• \( 72 = 2 \times 36 = 2 \times 2 \times 18 = 2 \times 2 \times 2 \times 9 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)


• Yani, \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)


• Adım 2: Asal çarpanların üslerini birer artıralım.


• Üsler 3 ve 2'dir.


• Yeni üsler: \( (3+1) \) ve \( (2+1) \) yani 4 ve 3 olur.


• Adım 3: Yeni üsleri çarpalım.


• Bölen sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \)


• Sonuç: 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. 👉

Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• Adım 1: 180'i asal çarpanlarına ayıralım.


• \( 180 = 10 \times 18 = (2 \times 5) \times (2 \times 9) = (2 \times 5) \times (2 \times 3 \times 3) \)


• \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)


• Adım 2: 180'in asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.


• Adım 3: Bu asal çarpanları toplayalım.


• Toplam = \( 2 + 3 + 5 = 10 \)


• Sonuç: 180 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur. 💯

Bu soruda, eşit sayıda sabun almak için hem 6'nın hem de 8'in ortak bir katını bulmamız gerekiyor. En az sayıda paket almak istediğimiz için en küçük ortak katı (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 1: 6 ve 8 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.


• \( 6 = 2 \times 3 \)


• \( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)


• Adım 2: EKOK'u bulmak için, tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alır ve çarparız.


• EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)


• Bu demektir ki, en az 24 adet sabun almalıdır.


• Adım 3: Kaçar paket aldığını bulalım.


• A marka sabun için: \( 24 \div 6 = 4 \) paket


• B marka sabun için: \( 24 \div 8 = 3 \) paket


• Sonuç: En az 4 paket A marka ve 3 paket B marka sabun almalıdır. ✅

Bir sayının bölenlerini bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm pozitif tam sayıları listeleriz.

• Adım 1: 1 ile başlayalım. Her sayının 1 böleni vardır. \( 36 \div 1 = 36 \). Yani 1 ve 36 bölenlerdir.


• Adım 2: 2 ile deneyelim. 36 çift sayıdır, 2'ye bölünür. \( 36 \div 2 = 18 \). Yani 2 ve 18 bölenlerdir.


• Adım 3: 3 ile deneyelim. Rakamları toplamı (3+6=9) 3'ün katı olduğu için 3'e bölünür. \( 36 \div 3 = 12 \). Yani 3 ve 12 bölenlerdir.


• Adım 4: 4 ile deneyelim. \( 36 \div 4 = 9 \). Yani 4 ve 9 bölenlerdir.


• Adım 5: 5 ile deneyelim. Sonu 0 veya 5 olmadığı için 5'e bölünmez.


• Adım 6: 6 ile deneyelim. Hem 2'ye hem 3'e bölündüğü için 6'ya da bölünür. \( 36 \div 6 = 6 \). Yani 6 bir bölenimizdir.


• Adım 7: Bir sonraki sayımız 7'dir. 36, 7'ye tam bölünmez.


• Adım 8: 8 ile deneyelim. 36, 8'e tam bölünmez.


• Adım 9: 9 ile deneyelim. Zaten 4 ile denediğimizde 9'un bölen olduğunu bulmuştuk. Artık bulduğumuz bölenler tekrar etmeye başladı.


• Sonuç: 36 sayısının pozitif tam bölenleri şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. 📌

Bu soruda, verilen asal çarpanları kullanarak üç basamaklı en küçük sayıyı oluşturmamız ve sonra rakamlarını toplamamız isteniyor.

• Adım 1: Sayının asal çarpanları 2 ve 7'dir. Bu demektir ki sayı \( 2^a \times 7^b \) şeklinde yazılabilir (burada a ve b pozitif tam sayılardır).


• Adım 2: Üç basamaklı en küçük sayıyı elde etmek için, asal çarpanların üslerini en küçük değerlerden başlayarak artırmalıyız.


• Deneyelim:


• \( 2^1 \times 7^1 = 14 \) (İki basamaklı)


• \( 2^2 \times 7^1 = 4 \times 7 = 28 \) (İki basamaklı)


• \( 2^3 \times 7^1 = 8 \times 7 = 56 \) (İki basamaklı)


• \( 2^4 \times 7^1 = 16 \times 7 = 112 \) (Üç basamaklı ve en küçüklerden biri)


• Şimdi 7'nin üssünü artırarak deneyelim:


• \( 2^1 \times 7^2 = 2 \times 49 = 98 \) (İki basamaklı)


• \( 2^2 \times 7^2 = 4 \times 49 = 196 \) (Üç basamaklı)


• Adım 3: Bulduğumuz üç basamaklı sayılar 112 ve 196'dır. Bunlardan en küçüğü 112'dir.


• Adım 4: 112 sayısının rakamlarını toplayalım.


• Rakamlar toplamı = \( 1 + 1 + 2 = 4 \)


• Sonuç: Sayının rakamları toplamı 4'tür. 💡

Bu soruda, hem güllerin hem de papatyaların eşit sayıda demetlere ayrılabilmesi için, demet sayısının hem 48'in hem de 60'ın ortak böleni olması gerekir. En fazla demet yapmak istediğimiz için, bu iki sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmalıyız.

• Adım 1: 48 ve 60 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.


• \( 48 = 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1 \)


• \( 60 = 6 \times 10 = (2 \times 3) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)


• Adım 2: EBOB'u bulmak için, tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanları alır ve çarparız.


• Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür.


• Üssü en küçük olan 2'nin üssü 2'dir (\( 2^2 \)).


• Üssü en küçük olan 3'ün üssü 1'dir (\( 3^1 \)).


• EBOB(48, 60) = \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)


• Sonuç: Çiçekçi en fazla 12 demet yapabilir. Bu durumda her demette 4 gül (\( 48 \div 12 = 4 \)) ve 5 papatya (\( 60 \div 12 = 5 \)) olacaktır. 💐

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için, önce sayıyı asal çarpanlarına ayırmalı, sonra asal çarpanların üslerini birer artırıp çarpmalıyız.

• Adım 1: 210 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.


• \( 210 = 10 \times 21 = (2 \times 5) \times (3 \times 7) \)


• Yani, \( 210 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 \)


• Adım 2: Asal çarpanların üslerini birer artıralım.


• Tüm üsler 1'dir.


• Yeni üsler: \( (1+1), (1+1), (1+1), (1+1) \) yani 2, 2, 2, 2 olur.


• Adım 3: Yeni üsleri çarpalım.


• Bölen sayısı = \( 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)


• Sonuç: 210 sayısının 16 tane pozitif tam böleni vardır. 👍

Bu soruda, 150 sayısının bölenlerini bulmamız gerekiyor. Ancak her grupta en az 5 lego olacağı için, 5'ten küçük bölenleri dikkate almayacağız.

• Adım 1: 150 sayısının pozitif tam bölenlerini bulalım.


• Önce asal çarpanlarına ayıralım: \( 150 = 15 \times 10 = (3 \times 5) \times (2 \times 5) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2 \)


• Bölen sayısını bulmak için üsleri birer artıralım: \( (1+1) \times (1+1) \times (2+1) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)


• Yani 150'nin 12 tane pozitif tam böleni vardır.


• Adım 2: Bu bölenleri listeleyelim ve her grupta en az 5 lego olacağı koşulunu kontrol edelim.


• Bölenler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150


• Her grupta en az 5 lego olması gerektiği için, 1, 2 ve 3 bölenlerini (yani grup büyüklüklerini) elemeliyiz.


• Kalan geçerli grup büyüklükleri: 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150


• Bu sayılar, Ali'nin yapabileceği farklı gruplama sayısını temsil eder.


• Sonuç: Ali 9 farklı şekilde gruplama yapabilir. 🧩