🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları arasındaki ilişkiler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları arasındaki ilişkiler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
12 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için sayıyı asal sayılara böleriz.
- 12 sayısını en küçük asal sayı olan 2'ye böleriz: \( 12 \div 2 = 6 \)
- Elde ettiğimiz 6 sayısını tekrar 2'ye böleriz: \( 6 \div 2 = 3 \)
- Elde ettiğimiz 3 sayısı bir asal sayıdır. Kendisine bölünür: \( 3 \div 3 = 1 \)
- Bölme işlemi 1'e ulaştığında biter.
- Bu durumda 12 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
- Yani, \( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 \) şeklinde yazılabilir.
Örnek 2:
36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şeklini yazınız. ✍️
Çözüm:
- 36 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için sırasıyla en küçük asal sayılardan başlayarak bölelim.
- \( 36 \div 2 = 18 \)
- \( 18 \div 2 = 9 \)
- 9 sayısı 2'ye bölünmez, bir sonraki asal sayı olan 3'e bölelim: \( 9 \div 3 = 3 \)
- \( 3 \div 3 = 1 \)
- Bölme işlemi tamamlandığında 36 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli şöyledir: \( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
- Bu ifade üslü biçimde şöyle yazılır: \( 36 = 2^2 \times 3^2 \)
Örnek 3:
Asal çarpanları 2 ve 5 olan en küçük doğal sayı kaçtır? 🤔
Çözüm:
- Bir sayının asal çarpanları, o sayıyı oluşturan asal sayılardır.
- En küçük doğal sayıyı bulmak için, verilen asal çarpanları en az sayıda ve en küçük üslerle kullanmalıyız.
- Verilen asal çarpanlar 2 ve 5'tir.
- En küçük sayıyı elde etmek için bu asal çarpanları birer kez kullanırız: \( 2 \times 5 \)
- Bu çarpımın sonucu 10'dur.
- Dolayısıyla, asal çarpanları 2 ve 5 olan en küçük doğal sayı 10'dur.
Örnek 4:
100 sayısının kaç tane asal çarpanı vardır? 🔢
Çözüm:
- Öncelikle 100 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- \( 100 \div 2 = 50 \)
- \( 50 \div 2 = 25 \)
- 25 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı 3'tür, 25 sayısı 3'e de bölünmez.
- Bir sonraki asal sayı 5'tir: \( 25 \div 5 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
- 100 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^2 \times 5^2 \) şeklindedir.
- Bu sayının farklı asal çarpanları 2 ve 5'tir.
- Dolayısıyla, 100 sayısının 2 tane farklı asal çarpanı vardır.
Örnek 5:
Bir markette satılan paketli bisküvilerin adetleri 12, 18 ve 24 olarak üç farklı şekilde paketlenmiştir. Bu paketlerden birer tane alarak, toplam bisküvi sayısının hem 2 hem de 3'ün katı olmasını istiyoruz. En az kaç paket almalıyız? 🛒
Çözüm:
- Soruda verilen paketlerdeki bisküvi sayıları 12, 18 ve 24'tür.
- Toplam bisküvi sayısının hem 2'nin hem de 3'ün katı olması demek, toplam bisküvi sayısının 6'nın katı olması demektir.
- Şimdi her bir paket sayısının asal çarpanlarını inceleyelim:
- 12 = \( 2^2 \times 3 \)
- 18 = \( 2 \times 3^2 \)
- 24 = \( 2^3 \times 3 \)
- Her bir paketteki bisküvi sayısı zaten 2 ve 3'ün katıdır.
- Amacımız, aldığımız paketlerin toplamının 6'nın katı olmasıdır.
- Eğer bir paket 12'lik alırsak, toplam bisküvi sayısı 12 olur (6'nın katı).
- Eğer bir paket 18'lik alırsak, toplam bisküvi sayısı 18 olur (6'nın katı).
- Eğer bir paket 24'lük alırsak, toplam bisküvi sayısı 24 olur (6'nın katı).
- En az sayıda paket almamız gerektiği için, tek bir paket almak yeterlidir.
- Bu durumda en az 1 paket alarak istediğimiz koşulu sağlayabiliriz.
Örnek 6:
Bir müzik uygulamasında, şarkıların süreleri saniye cinsinden verilmiştir. Örneğin, bir şarkı 180 saniye sürmektedir. Bu süreyi asal çarpanlarına ayırarak, şarkının kaç dakika ve kaç saniye olduğunu daha kolay anlayabilir miyiz? 🎵
Çözüm:
- Şarkının süresi 180 saniyedir. Bu sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:
- \( 180 \div 2 = 90 \)
- \( 90 \div 2 = 45 \)
- \( 45 \div 3 = 15 \)
- \( 15 \div 3 = 5 \)
- \( 5 \div 5 = 1 \)
- Yani, \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \)
- Bu ifadeyi şu şekilde gruplandırabiliriz: \( 180 = (2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5) \)
- Dakikayı bulmak için 60'ın katlarını arayabiliriz. 60'ın asal çarpanları \( 2^2 \times 3 \times 5 \) şeklindedir.
- 180'in çarpanları arasında \( 2^2 \times 3 \times 5 \) ifadesini bulabiliriz.
- \( 180 = (2^2 \times 3 \times 5) \times 3 = 60 \times 3 \)
- Bu durumda 180 saniye, 3 dakikaya eşittir.
- Asal çarpanlara ayırma, sayının yapısını anlamamıza ve farklı gruplamalarla (örneğin dakika ve saniye) ilişkilendirmemize yardımcı olur.
Örnek 7:
210 sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- Öncelikle 210 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- \( 210 \div 2 = 105 \)
- 105 sayısı 2'ye bölünmez. Bir sonraki asal sayı 3'tür: \( 105 \div 3 = 35 \)
- 35 sayısı 3'e bölünmez. Bir sonraki asal sayı 5'tir: \( 35 \div 5 = 7 \)
- 7 sayısı bir asal sayıdır: \( 7 \div 7 = 1 \)
- 210 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \( 210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \) şeklindedir.
- Bu sayının farklı asal çarpanları 2, 3, 5 ve 7'dir.
- Bu asal çarpanların toplamını bulmak için hepsini toplarız: \( 2 + 3 + 5 + 7 \)
- Toplam: \( 5 + 5 + 7 = 10 + 7 = 17 \)
- Dolayısıyla, 210 sayısının asal çarpanlarının toplamı 17'dir.
Örnek 8:
Bir bilgisayar oyunu geliştiricisinin, oyun içi eşyaların fiyatlarını belirlerken asal çarpanları kullanması gerekiyor. Eğer bir eşyanın fiyatı 72 TL ise, bu fiyatın asal çarpanları nelerdir ve bu çarpanlar kullanılarak fiyat nasıl ifade edilebilir? 🎮
Çözüm:
- Eşyanın fiyatı 72 TL'dir. Bu sayıyı asal çarpanlarına ayıralım.
- \( 72 \div 2 = 36 \)
- \( 36 \div 2 = 18 \)
- \( 18 \div 2 = 9 \)
- \( 9 \div 3 = 3 \)
- \( 3 \div 3 = 1 \)
- 72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali şöyledir: \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \)
- Bu ifadeyi üslü biçimde yazarsak: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
- Yani, 72 TL fiyatının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
- Geliştirici, bu fiyatı \( 2^3 \times 3^2 \) şeklinde ifade ederek, fiyatın temel yapı taşlarını (asal çarpanlarını) ve bu yapı taşlarının kaçar kez tekrarlandığını (üsleri) görebilir. Bu, fiyatlandırma stratejilerinde veya indirim hesaplamalarında kullanılabilir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-bir-dogal-sayi-ile-asal-carpanlari-arasindaki-iliskiler/sorular