📄 10. Sınıf Matematik: Bir doğal sayı ile asal çarpanları arasındaki ilişkiler Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle 144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

\(144 = 12 \times 12\)

\(144 = (2^2 \times 3) \times (2^2 \times 3)\)

\(144 = 2^{2+2} \times 3^{1+1}\)

\(144 = 2^4 \times 3^2\)



Şimdi, asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(2^4 \times 3^2\) olan 144 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulalım. Bir sayının pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir.

Bölen Sayısı = \((4+1) \times (2+1)\)

Bölen Sayısı = \(5 \times 3\)

Bölen Sayısı = 15



Sonuç olarak, 144 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. 144 sayısının toplam 15 tane pozitif tam böleni vardır.

💡 Çözüm Adımları:

En küçük 3 farklı asal sayı 2, 3 ve 5'tir.

Bu asal sayıları kullanarak oluşturulabilecek en küçük 3 basamaklı doğal sayıyı elde etmek için bu asal sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayarak çarparız.

Sayı = \(2 \times 3 \times 5\)

Sayı = 30



Ancak soruda bizden en küçük 3 basamaklı sayı isteniyor. Üç basamaklı olması için sayıların üslerini ayarlamamız gerekir. En küçük sayıyı elde etmek için en küçük asal çarpanın üssünü en büyük tutmalıyız.



Farklı asal çarpanlar 2, 3, 5 olduğundan, bu sayıların üslerini kullanarak 3 basamaklı en küçük sayıyı elde etmeye çalışalım.



Eğer üsler 1, 1, 1 olursa sayı 30 olur (2 basamaklı).



Üsleri artırarak 3 basamaklı en küçük sayıyı bulalım:



En küçük asal çarpan 2'dir. Üssünü artırarak deneyelim:

\(2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60\) (2 basamaklı)

\(2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 120\) (3 basamaklı)



Şimdi diğer asal çarpanların üslerini değiştirerek daha küçük bir sayı olup olmadığını kontrol edelim:

\(2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90\) (2 basamaklı)

\(2 \times 3^3 \times 5 = 2 \times 27 \times 5 = 270\) (3 basamaklı)



\(2 \times 3 \times 5^2 = 2 \times 3 \times 25 = 150\) (3 basamaklı)



Karşılaştırdığımızda, en küçük 3 basamaklı sayı \(2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 120\) olarak bulunur.



Bu sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir.

Asal çarpanların üsleri sırasıyla 3, 1 ve 1'dir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \(p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_n^{e_n}\) ise, bu sayının pozitif tam bölen sayısı \((e_1+1) \times (e_2+1) \times \dots \times (e_n+1)\) formülü ile bulunur.



Verilen sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^a \times 3^b \times 5^c\) şeklindedir ve pozitif tam bölen sayısı 24'tür.

Bu durumda, \((a+1) \times (b+1) \times (c+1) = 24\) olmalıdır.



Burada a, b ve c negatif olmayan tam sayılar olmalıdır (asal çarpanlar olduğu için üsler en az 0 olabilir, ancak soruda 2, 3, 5 çarpanları olduğu belirtildiği için a, b, c en az 1 olmalıdır. Eğer soruda 'asal çarpanları arasında 2, 3 ve 5 bulunan' denseydi, üsler en az 1 olurdu. 'Asal çarpanlarına ayrılmış hali 2^a \times 3^b \times 5^c' şeklinde ise, a, b, c pozitif tam sayılar olmalıdır).



Şimdi 24 sayısının çarpanlarını bulup \(a+1\), \(b+1\) ve \(c+1\) olarak eşleştirelim. a, b, c'nin pozitif tam sayılar olması için \(a+1\), \(b+1\), \(c+1\) değerleri en az 2 olmalıdır.



24'ün çarpanları şunlardır: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.



\(a+1\), \(b+1\), \(c+1\) değerlerinin çarpımının 24 olması ve her birinin en az 2 olması gerekir.



Olası çarpan kombinasyonları (en az 2 olanlar): 2, 3, 4.



Eğer \(a+1 = 4\), \(b+1 = 3\), \(c+1 = 2\) alırsak:

\(a = 4-1 = 3\)

\(b = 3-1 = 2\)

\(c = 2-1 = 1\)



Bu durumda sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^3 \times 3^2 \times 5^1\) olur. Bu sayının bölen sayısı \((3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24\) olur.



Dolayısıyla, a, b ve c'nin alabileceği olası bir kombinasyon \(a=3, b=2, c=1\)'dir. (Sayı \(8 \times 9 \times 5 = 360\) olur).