🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Binom ve pascal üçgeni Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Binom ve pascal üçgeni Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Pascal üçgeninin 5. satırındaki elemanların toplamı kaçtır? 💡
Çözüm:
Pascal üçgeninin n. satırındaki elemanların toplamı \( 2^n \) formülü ile bulunur.
- Burada satır numarası 5 olarak verilmiş.
- Pascal üçgeninde satırlar 0'dan başlar. Dolayısıyla 5. satır, aslında 6. satırdır (n=5).
- Elemanların toplamı \( 2^5 \) olur.
- Hesaplama: \( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \).
Örnek 2:
\( (x+y)^3 \) ifadesinin açılımında katsayılar toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
Bir binom açılımında katsayılar toplamını bulmak için, her bir değişken yerine 1 yazılır.
- İfade \( (x+y)^3 \) şeklindedir.
- x yerine 1 ve y yerine 1 yazalım: \( (1+1)^3 \).
- Hesaplama: \( (2)^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \).
Örnek 3:
\( (2a-b)^4 \) ifadesinin açılımını Pascal üçgenini kullanarak bulunuz. ✍️
Çözüm:
Pascal üçgeninin 4. satırındaki katsayılar \( 1, 4, 6, 4, 1 \) şeklindedir.
- İfade \( (2a-b)^4 \) şeklindedir.
- Binom açılımı şu şekilde olacaktır: \( \binom{4}{0}(2a)^4(-b)^0 + \binom{4}{1}(2a)^3(-b)^1 + \binom{4}{2}(2a)^2(-b)^2 + \binom{4}{3}(2a)^1(-b)^3 + \binom{4}{4}(2a)^0(-b)^4 \).
- Katsayıları ve terimleri yerine koyalım:
- \( 1 \times (16a^4) \times 1 = 16a^4 \)
- \( 4 \times (8a^3) \times (-b) = -32a^3b \)
- \( 6 \times (4a^2) \times (b^2) = 24a^2b^2 \)
- \( 4 \times (2a) \times (-b^3) = -8ab^3 \)
- \( 1 \times 1 \times (b^4) = b^4 \)
Örnek 4:
\( (x-2)^5 \) açılımındaki sabit terimi bulunuz. 🎯
Çözüm:
Sabit terim, değişkenin üssünün 0 olduğu terimdir. Binom açılımında genel terim \( \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \) formülü ile bulunur.
- Burada \( n=5 \), \( a=x \) ve \( b=-2 \)'dir.
- Genel terim: \( \binom{5}{k} x^{5-k} (-2)^k \).
- Sabit terim için \( x \)'in üssü 0 olmalıdır, yani \( 5-k = 0 \). Buradan \( k=5 \) bulunur.
- \( k=5 \) değerini genel terimde yerine koyalım: \( \binom{5}{5} x^{5-5} (-2)^5 \).
- Hesaplama: \( 1 \times x^0 \times (-32) = -32 \).
Örnek 5:
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek olma olasılığı ile \( (a+b)^2 \) ifadesinin açılımındaki ortanca terimin katsayısının toplamı kaçtır? 🎲
Çözüm:
Önce zar atıldığında tek gelme olasılığını hesaplayalım.
- Bir zarın olası sonuçları \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)'dır. Toplam 6 durum vardır.
- Tek sayılar \( \{1, 3, 5\} \)'tir. Tek gelme durumu 3'tür.
- Tek gelme olasılığı = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
- \( (a+b)^2 \) açılımı \( a^2 + 2ab + b^2 \)'dir.
- Bu açılımda 3 terim vardır. Ortanca terim, ikinci terimdir: \( 2ab \).
- Ortanca terimin katsayısı 2'dir.
- Olasılık değeri: \( \frac{1}{2} \).
- Katsayı değeri: 2.
- Toplam: \( \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \).
Örnek 6:
Bir teknoloji mağazasında, bir cep telefonu modelinin 3 farklı rengi (kırmızı, mavi, siyah) ve 2 farklı depolama seçeneği (64 GB, 128 GB) bulunmaktadır. Bu iki özelliğin (renk ve depolama) olası tüm kombinasyonlarını binom prensibiyle düşünerek listeleyiniz. 📱
Çözüm:
Bu problem, binom açılımının temel mantığı olan farklı seçeneklerin birleşimini anlamak için güzel bir örnektir.
- Renk seçenekleri: Kırmızı, Mavi, Siyah (3 seçenek)
- Depolama seçenekleri: 64 GB, 128 GB (2 seçenek)
- Her bir renk seçeneği için tüm depolama seçeneklerini düşünebiliriz.
- Kombinasyonlar şunlardır:
- Kırmızı - 64 GB
- Kırmızı - 128 GB
- Mavi - 64 GB
- Mavi - 128 GB
- Siyah - 64 GB
- Siyah - 128 GB
- Toplamda \( 3 \times 2 = 6 \) farklı kombinasyon elde edilir.
- Bu durum, \( (Renk + Depolama)^1 \) gibi düşünülebilir, ancak daha çok çarpma prensibinin bir uygulamasıdır. Binomda terimler arasındaki katsayılar bu tür kombinasyonları saymamıza yardımcı olur.
Örnek 7:
\( (x^2 + \frac{1}{x})^6 \) ifadesinin açılımında \( x^6 \) teriminin katsayısı kaçtır? 🧐
Çözüm:
Binom açılımında genel terim \( \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \) formülü ile bulunur.
- Burada \( n=6 \), \( a=x^2 \) ve \( b=\frac{1}{x} = x^{-1} \)'dir.
- Genel terim: \( \binom{6}{k} (x^2)^{6-k} (x^{-1})^k \).
- Üsleri düzenleyelim: \( \binom{6}{k} x^{2(6-k)} x^{-k} = \binom{6}{k} x^{12-2k-k} = \binom{6}{k} x^{12-3k} \).
- Biz \( x^6 \) terimini arıyoruz, yani \( x \)'in üssünün 6 olmasını istiyoruz.
- \( 12-3k = 6 \) denklemini çözelim.
- \( 12-6 = 3k \implies 6 = 3k \implies k = 2 \).
- Şimdi \( k=2 \) değerini genel terimdeki katsayı kısmına yerleştirelim: \( \binom{6}{2} \).
- Hesaplama: \( \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \).
Örnek 8:
Bir basketbolcu, serbest atışlarda %80 isabet oranına sahiptir. Bu basketbolcunun 3 serbest atışından tam olarak 2'sini isabet ettirme olasılığını binom olasılık formülüyle hesaplayınız. (İpucu: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)) 🏀
Çözüm:
Bu problem, binom olasılık dağılımının bir uygulamasıdır.
- Toplam deneme sayısı \( n=3 \) (3 serbest atış).
- Başarı olasılığı \( p = 0.80 \) (isabet ettirme olasılığı).
- Başarısızlık olasılığı \( q = 1-p = 1-0.80 = 0.20 \).
- Tam olarak 2 isabet etme olasılığını arıyoruz, yani \( k=2 \).
- Binom olasılık formülü: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \).
- Değerleri yerine koyalım: \( P(X=2) = \binom{3}{2} (0.80)^2 (0.20)^{3-2} \).
- Hesaplamalar:
- \( \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3 \).
- \( (0.80)^2 = 0.64 \).
- \( (0.20)^1 = 0.20 \).
- \( P(X=2) = 3 \times 0.64 \times 0.20 \).
- \( P(X=2) = 3 \times 0.128 = 0.384 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-binom-ve-pascal-ucgeni/sorular