📄 10. Sınıf Matematik: Binom ve pascal üçgeni Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\((2x-3y)^4\) ifadesinin açılımı binom teoremi kullanılarak yapılır. \(n=4\) olduğu için \(n+1=5\) terim olacaktır.\

Terimler sırasıyla şu şekilde bulunur:\

1. Terim: \(\binom{4}{0} (2x)^4 (-3y)^0 = 1 \cdot 16x^4 \cdot 1 = 16x^4\)\

2. Terim: \(\binom{4}{1} (2x)^3 (-3y)^1 = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3y) = -96x^3y\)\

3. Terim: \(\binom{4}{2} (2x)^2 (-3y)^2 = 6 \cdot 4x^2 \cdot 9y^2 = 216x^2y^2\)\

4. Terim: \(\binom{4}{3} (2x)^1 (-3y)^3 = 4 \cdot 2x \cdot (-27y^3) = -216xy^3\)\

5. Terim: \(\binom{4}{4} (2x)^0 (-3y)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 81y^4 = 81y^4\)\

Buna göre açılım: \(16x^4 - 96x^3y + 216x^2y^2 - 216xy^3 + 81y^4\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

\((x+2)^5\) ifadesinin açılımında baştan \(r+1\). terim için \(\binom{n}{r} a^{n-r} b^r\) formülü kullanılır.\

Burada \(n=5\), \(a=x\) ve \(b=2\) dir.\

Baştan 3. terim istendiği için \(r+1=3 \implies r=2\) olur.\

Formülü uygulayalım:\

\(\binom{5}{2} x^{5-2} (2)^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} x^3 \cdot 4\)\

\(= \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} x^3 \cdot 4\)\

\(= 10 x^3 \cdot 4\)\

\(= 40x^3\)\

Dolayısıyla, baştan 3. terim \(40x^3\) tür.

💡 Çözüm Adımları:

Katsayılar toplamını bulmak için açılımdaki tüm değişkenler yerine 1 yazılır.\

Verilen ifadede \(x=1\) yazarsak:\

Katsayılar toplamı \(= (3(1)-1)^6 = (3-1)^6 = 2^6 = 64\) olur.\

Sabit terimi bulmak için genel terim formülünü kullanırız ve \(x\) değişkeninin kuvvetini 0'a eşitleriz.\

Genel terim \(T_{r+1} = \binom{n}{r} (a)^{n-r} (b)^r\) dir.\

Burada \(n=6\), \(a=3x\) ve \(b=-1\) dir.\

\(T_{r+1} = \binom{6}{r} (3x)^{6-r} (-1)^r\)\

Sabit terimde \(x\) değişkeni bulunmadığı için \(x\)'in kuvveti olan \(6-r\) sıfıra eşit olmalıdır.\

\(6-r = 0 \implies r=6\)\

Şimdi \(r=6\) değerini genel terim formülünde yerine yazalım:\

Sabit terim \(= \binom{6}{6} (3x)^{6-6} (-1)^6\)\

\(= 1 \cdot (3x)^0 \cdot 1\)\

\(= 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)\

Sonuç olarak, katsayılar toplamı 64 ve sabit terim 1'dir.