💡 10. Sınıf Matematik: Beş Fonksiyon Çözümlü Örnekler

• 👉 I. \( f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5 \)
  • Tanım kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N}\)), değer kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)).
  • Her doğal sayı için \( x-5 \) bir tam sayıdır. Örneğin, \( f(1) = -4 \in \mathbb{Z} \), \( f(5) = 0 \in \mathbb{Z} \).
  • Tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı vardır ve bu karşılık değer kümesindedir.
  • ✅ Bu ifade bir fonksiyondur.
• 👉 II. \( g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2 \)
  • Tanım kümesi tam sayılar (\(\mathbb{Z}\)), değer kümesi doğal sayılar (\(\mathbb{N}\)).
  • Her tam sayının karesi bir doğal sayıdır (0 ve pozitif tam sayılar). Örneğin, \( g(-2) = (-2)^2 = 4 \in \mathbb{N} \), \( g(0) = 0^2 = 0 \in \mathbb{N} \).
  • Tanım kümesindeki her elemanın bir karşılığı vardır ve bu karşılık değer kümesindedir.
  • ✅ Bu ifade bir fonksiyondur.
• 👉 III. \( h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{1}{x-2} \)
  • Tanım kümesi reel sayılar (\(\mathbb{R}\)).
  • Ancak, \( x = 2 \) değeri için payda sıfır olur ve \( h(2) \) tanımsızdır.
  • Tanım kümesindeki \( x=2 \) elemanının değer kümesinde bir karşılığı yoktur.
  • ❌ Bu ifade bir fonksiyon değildir.

Sonuç olarak, I ve II bir fonksiyon belirtir.

• Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki tüm elemanları değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyondur. \( f(x) = c \) şeklindedir.
• Birim (Özdeşlik) Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur. \( f(x) = x \) şeklindedir ve genellikle \( I(x) \) ile gösterilir.
• Birebir Fonksiyon (İnjeksiyon): Tanım kümesindeki farklı elemanları değer kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyondur. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.

• 👉 I. \( f(x) = 7 \)
  • Tanım kümesindeki her \( x \) değeri için fonksiyonun sonucu her zaman \( 7 \) dir.
  • ✅ Bu bir Sabit Fonksiyondur.
• 👉 II. \( g(x) = x \)
  • Tanım kümesindeki her \( x \) değeri için fonksiyonun sonucu yine \( x \) dir. Yani elemanlar kendileriyle eşleşir.
  • ✅ Bu bir Birim (Özdeşlik) Fonksiyondur.
• 👉 III. \( h(x) = x^2 + 1 \)
  • Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını kontrol edelim.
  • Örneğin, \( h(1) = 1^2 + 1 = 2 \) dir.
  • Aynı zamanda, \( h(-1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \) dir.
  • Görüldüğü gibi, \( 1 \neq -1 \) olmasına rağmen \( h(1) = h(-1) = 2 \) dir.
  • Yani farklı elemanlar aynı değere eşlenmiştir.
  • ❌ Bu nedenle \( h(x) \) fonksiyonu birebir değildir.

• Birebir Fonksiyon (İnjeksiyon): Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüsü farklı olmalıdır. Yani, \( x_1 \neq x_2 \) iken \( f(x_1) \neq f(x_2) \) olmalıdır.
• Örten Fonksiyon (Sürjeksiyon): Değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı olmalıdır. Yani, görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır (Görüntü Kümesi = Değer Kümesi).
• İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyona denir. Değer kümesinde açıkta kalan (eşleşmeyen) en az bir eleman bulunur.

• 👉 Birebirlik Durumu:
  • Tanım kümesi \( A = \{1, 2, 3\} \), değer kümesi \( B = \{a, b, c, d\} \).
  • \( f(1) = a \), \( f(2) = c \), \( f(3) = d \).
  • Farklı elemanlar \( 1, 2, 3 \) farklı görüntüler \( a, c, d \) ile eşleşmiştir.
  • ✅ Bu fonksiyon birebirdir.
• 👉 Örtenlik Durumu:
  • Değer kümesi \( B = \{a, b, c, d\} \).
  • Fonksiyonun görüntü kümesi \( f(A) = \{a, c, d\} \).
  • Görüntü kümesi \( \{a, c, d\} \), değer kümesi \( \{a, b, c, d\} \) ile eşit değildir.
  • Değer kümesindeki \( b \) elemanı açıkta kalmıştır, yani tanım kümesinden hiçbir eleman \( b \) ile eşleşmemiştir.
  • ❌ Bu fonksiyon örten değildir. Değer kümesinde açıkta eleman kaldığı için içine fonksiyondur.

• \( (f \circ g)(x) \) demek, \( f(g(x)) \) demektir. Yani önce \( g(x) \) fonksiyonu, sonra \( f \) fonksiyonu uygulanır.
• \( (g \circ f)(x) \) demek, \( g(f(x)) \) demektir. Yani önce \( f(x) \) fonksiyonu, sonra \( g \) fonksiyonu uygulanır.

• 👉 \( (f \circ g)(x) \) için:
  • Önce \( g(x) \) fonksiyonunu yerine yazalım: \( f(g(x)) = f(x+5) \).
  • Şimdi \( f(x) = 2x - 3 \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (x+5) \) yazalım.
  • \( f(x+5) = 2(x+5) - 3 \)
  • \( = 2x + 10 - 3 \)
  • ✅ Sonuç: \( (f \circ g)(x) = 2x + 7 \)
• 👉 \( (g \circ f)(x) \) için:
  • Önce \( f(x) \) fonksiyonunu yerine yazalım: \( g(f(x)) = g(2x-3) \).
  • Şimdi \( g(x) = x+5 \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (2x-3) \) yazalım.
  • \( g(2x-3) = (2x-3) + 5 \)
  • \( = 2x + 2 \)
  • ✅ Sonuç: \( (g \circ f)(x) = 2x + 2 \)

Görüldüğü gibi, genellikle \( (f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) \) dir.

1. Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
2. \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
3. Yeni denklemde \( y \) yi yalnız bırakın. Bu \( y \) ifadesi \( f^{-1}(x) \) olacaktır.

• 👉 Adım 1: \( y = f(x) \) şeklinde yazın.
  • \( y = 4x - 5 \)
• 👉 Adım 2: \( x \) ve \( y \) değişkenlerinin yerini değiştirin.
  • \( x = 4y - 5 \)
• 👉 Adım 3: Yeni denklemde \( y \) yi yalnız bırakın.
  • \( x + 5 = 4y \)
  • \( \frac{x+5}{4} = y \)

• 👉 Adım 1: \( f^{-1}(x) \) fonksiyonunu bulalım.
  • \( y = 3x + 1 \)
  • \( x \) ve \( y \) yer değiştirelim: \( x = 3y + 1 \)
  • \( x - 1 = 3y \)
  • \( y = \frac{x-1}{3} \)
  • Yani, \( f^{-1}(x) = \frac{x-1}{3} \).
• 👉 Adım 2: \( (f^{-1} \circ g)(x) \) ifadesini bulalım.
  • \( (f^{-1} \circ g)(x) = f^{-1}(g(x)) \) demektir.
  • \( g(x) = 2x - 3 \) olduğu için, \( f^{-1}(2x-3) \) hesaplamamız gerekiyor.
  • \( f^{-1}(x) = \frac{x-1}{3} \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( (2x-3) \) yazalım.
  • \( f^{-1}(2x-3) = \frac{(2x-3) - 1}{3} \)
  • \( = \frac{2x-4}{3} \)

Bize \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) = 6x - 5 \) ve \( f(x) = 2x + 1 \) verilmiş.
Yani, \( g(2x+1) = 6x - 5 \) dir.

• 👉 Adım 1: İçerideki ifadeyi \( u \) olarak tanımlayalım ve \( x \) i \( u \) cinsinden yazalım.
  • \( u = 2x + 1 \)
  • \( u - 1 = 2x \)
  • \( x = \frac{u-1}{2} \)
• 👉 Adım 2: \( g(2x+1) = 6x - 5 \) denkleminde \( 2x+1 \) yerine \( u \), \( x \) yerine \( \frac{u-1}{2} \) yazalım.
  • \( g(u) = 6 \left( \frac{u-1}{2} \right) - 5 \)
  • \( g(u) = 3(u-1) - 5 \)
  • \( g(u) = 3u - 3 - 5 \)
  • \( g(u) = 3u - 8 \)
• 👉 Adım 3: Son olarak, \( u \) yerine tekrar \( x \) yazarak \( g(x) \) fonksiyonunu elde edelim.
  • ✅ Sonuç: \( g(x) = 3x - 8 \)

• 👉 Adım 1: Toplam ücret fonksiyonunu \( Ü(x) \) olarak ifade edelim.
  • Açılış ücreti sabit bir miktardır: 15 TL.
  • Her kilometre için ödenen ücret değişkendir: \( 8 \times x \) TL.
  • Toplam ücret, açılış ücreti ile gidilen yolun ücretinin toplamıdır.
  • \( Ü(x) = 8x + 15 \)
  • ✅ Fonksiyonumuz: \( Ü(x) = 8x + 15 \) dir.
• 👉 Adım 2: Müşteri 12 km yol giderse ödeyeceği ücreti hesaplayalım.
  • Bu durumda \( x = 12 \) olmalıdır.
  • Fonksiyonda \( x \) yerine 12 yazalım: \( Ü(12) = 8 \times 12 + 15 \)
  • \( Ü(12) = 96 + 15 \)
  • \( Ü(12) = 111 \)

• 👉 Durum 1: İnternet kullanımı 5 GB veya daha az ise (\( x \le 5 \)).
  • Bu durumda abone sabit tarife ücreti olan 60 TL öder.
  • Yani, \( F(x) = 60 \)
• 👉 Durum 2: İnternet kullanımı 5 GB'tan fazla ise (\( x > 5 \)).
  • Abone önce sabit tarife ücreti olan 60 TL'yi öder.
  • Ek olarak, 5 GB'ı aşan her 1 GB için 4 TL öder.
  • Aşan miktar \( (x - 5) \) GB'tır.
  • Bu aşan miktar için ödenecek ek ücret \( 4 \times (x - 5) \) TL'dir.
  • Toplam ücret: \( F(x) = 60 + 4(x - 5) \)
  • Bu ifadeyi düzenlersek: \( F(x) = 60 + 4x - 20 = 4x + 40 \)