💡 10. Sınıf Matematik: Asal ve Bölen İlişkileri Çözümlü Örnekler

120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için bölme işlemi yaparız:

• 120 ÷ 2 = 60
• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Bu durumda 120 sayısının asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Yani, \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \) şeklinde yazılabilir. ✅

45 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 45 = 3^2 \times 5^1 \) Pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız: \( (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6 \) Yani 45 sayısının 6 tane pozitif tam böleni vardır. Bu bölenler: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 👉

İki basamaklı sayılar 10'dan başlar ve 99'da biter. Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bu aralıktaki sayıları kontrol ederek ilerleyebiliriz:

• 99 asal değildir (3'e bölünür).
• 98 asal değildir (2'ye bölünür).
• 97'yi kontrol edelim: 2, 3, 5, 7 gibi küçük asal sayılara bölünmez. 97'nin karekökü yaklaşık 9.8'dir. Bu yüzden 7'ye kadar olan asal sayılara (2, 3, 5, 7) bakmak yeterlidir. 97 bu sayılara bölünmez.

Dolayısıyla, iki basamaklı en büyük asal sayı 97'dir. 🏆

Bu soru aslında 72 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmakla aynıdır. Çünkü her bir bölen \( a \) için, \( b = 72/a \) olacaktır ve bu \( b \) de bir tam sayıdır. Önce 72'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \) Pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız: \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \) Yani 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. Bu da 12 farklı \( (a, b) \) sıralı ikilisi anlamına gelir. ✅

Bu bir bölünebilme ve kalan problemidir. Elma sayısına \( x \) diyelim. Verilen bilgilere göre:

• \( x \), 3'e tam bölünüyor. Yani \( x \equiv 0 \pmod{3} \).
• \( x \), 5'e bölündüğünde 2 kalanını veriyor. Yani \( x \equiv 2 \pmod{5} \).
• \( x < 30 \).

Şimdi bu koşulları sağlayan sayıları bulalım:

• 3'ün katı olan sayılar: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...
• Bu sayılardan 5'e bölündüğünde 2 kalanını verenleri bulalım:
  • 3 ÷ 5 = 0 kalan 3 (Uygun değil)
  • 6 ÷ 5 = 1 kalan 1 (Uygun değil)
  • 9 ÷ 5 = 1 kalan 4 (Uygun değil)
  • 12 ÷ 5 = 2 kalan 2 (Uygun!)
  • 15 ÷ 5 = 3 kalan 0 (Uygun değil)
  • 18 ÷ 5 = 3 kalan 3 (Uygun değil)
  • 21 ÷ 5 = 4 kalan 1 (Uygun değil)
  • 24 ÷ 5 = 4 kalan 4 (Uygun değil)
  • 27 ÷ 5 = 5 kalan 2 (Uygun!)

30'dan az olan ve koşulları sağlayan sayılar 12 ve 27'dir. Dolayısıyla sepette 12 veya 27 elma olabilir. 👉

Bu soruda, hem yaş pasta dilim sayısının (8'in katı) hem de kek dilim sayısının (6'nın katı) ortak bir katı olması gerekmektedir. En az dilim sayısını bulmak için 8 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. 1. 8 ve 6'yı asal çarpanlarına ayıralım:

• \( 8 = 2^3 \)
• \( 6 = 2^1 \times 3^1 \)

2. EKOK'u bulmak için tabanları aynı olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanları alırız ve çarparız: \( \text{EKOK}(8, 6) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \) Yani, en az 24 dilim yaş pasta ve 24 dilim kek siparişi verilmelidir ki her ikisi de tam olarak dilimlenebilsin. Bu durumda 3 adet yaş pasta ( \( 3 \times 8 = 24 \) ) ve 4 adet kek ( \( 4 \times 6 = 24 \) ) sipariş edilmiş olur. ✅

\( \frac{72}{n} \) ifadesinin bir tam sayı olabilmesi için, \( n \) sayısının 72 sayısının bir böleni olması gerekir. Dolayısıyla, bu sorunun cevabı 72 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısına eşittir. 1. 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \) 2. Pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız: \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \) Yani, \( n \) değeri 72'nin 12 farklı pozitif tam böleninden biri olabilir. Bu değerler 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72'dir. 💡

Öğrenci sayısına \( y \) diyelim. Verilen bilgilere göre:

• \( y \equiv 1 \pmod{4} \)
• \( y \equiv 3 \pmod{6} \)
• \( y < 50 \)

Bu tür problemler için Çin Kalan Teoremi kullanılabilir ancak 10. sınıf müfredatında bu teorem doğrudan yer almadığı için, deneme yanılma veya tablo yöntemiyle çözmek daha uygundur. Önce ikinci koşulu ele alalım: \( y \equiv 3 \pmod{6} \). Bu, \( y \) sayısının 6'ya bölündüğünde 3 kalanını verdiği anlamına gelir. 50'den küçük bu sayılar şunlardır: 3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45. Şimdi bu sayılardan hangisinin 4'e bölündüğünde 1 kalanını verdiğini kontrol edelim:

• 3 ÷ 4 = 0 kalan 3 (Uygun değil)
• 9 ÷ 4 = 2 kalan 1 (Uygun!)
• 15 ÷ 4 = 3 kalan 3 (Uygun değil)
• 21 ÷ 4 = 5 kalan 1 (Uygun!)
• 27 ÷ 4 = 6 kalan 3 (Uygun değil)
• 33 ÷ 4 = 8 kalan 1 (Uygun!)
• 39 ÷ 4 = 9 kalan 3 (Uygun değil)
• 45 ÷ 4 = 11 kalan 1 (Uygun!)

50'den az ve her iki koşulu da sağlayan öğrenci sayıları 9, 21, 33 ve 45'tir. Kulüpte bu sayılarda öğrenci olabilir. ✅

Kitap sayısına \( z \) diyelim. Verilen bilgilere göre:

• \( z \equiv 5 \pmod{7} \)
• \( z \equiv 7 \pmod{9} \)
• \( z < 100 \)

İkinci koşul \( z \equiv 7 \pmod{9} \) olduğundan, \( z \) sayısı 9'a bölündüğünde 7 kalanını verir. 100'den küçük bu sayılar şunlardır: 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 79, 88, 97. Şimdi bu sayılardan hangisinin 7'ye bölündüğünde 5 kalanını verdiğini kontrol edelim:

• 7 ÷ 7 = 1 kalan 0 (Uygun değil)
• 16 ÷ 7 = 2 kalan 2 (Uygun değil)
• 25 ÷ 7 = 3 kalan 4 (Uygun değil)
• 34 ÷ 7 = 4 kalan 6 (Uygun değil)
• 43 ÷ 7 = 6 kalan 1 (Uygun değil)
• 52 ÷ 7 = 7 kalan 3 (Uygun değil)
• 61 ÷ 7 = 8 kalan 5 (Uygun!)
• 70 ÷ 7 = 10 kalan 0 (Uygun değil)
• 79 ÷ 7 = 11 kalan 2 (Uygun değil)
• 88 ÷ 7 = 12 kalan 4 (Uygun değil)
• 97 ÷ 7 = 13 kalan 6 (Uygun değil)

100'den az ve her iki koşulu da sağlayan tek kitap sayısı 61'dir. Kütüphanecinin 61 kitabı olabilir. 🧐