💡 10. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlar ve Bölenler Çözümlü Örnekler

120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için bölme işlemi kullanırız:

• 120 ÷ 2 = 60
• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Bu adımlara göre 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) olarak bulunur. ✅

Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \) Pozitif tam bölen sayısını bulmak için asal çarpanların üslerini birer artırıp çarparız: \( (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \) Yani 72 sayısının 12 tane pozitif tam böleni vardır. 👉

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayı bu asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir. En küçük sayıyı bulmak için bu asal çarpanları en küçük üslerle (yani üsleri 1 olacak şekilde) çarparız: \( 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30 \) Dolayısıyla, asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan en küçük pozitif tam sayı 30'dur. 🌟

180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 180 = 18 \times 10 = (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) Bir sayının tek bölenleri, o sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinde sadece tek olan asal çarpanların üsleri kullanılarak bulunur. Yani 2'nin üssünü dikkate almayız. Tek bölenleri bulmak için 3 ve 5'in üslerini birer artırıp çarparız: \( (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6 \) 180 sayısının pozitif tam bölenlerinden 6 tanesi tek sayıdır. 💯

Bu soruda, çiftçinin kutuları gruplandırabileceği farklı grup sayıları, 144 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısına eşittir. Öncelikle 144 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 144 = 12 \times 12 = (2^2 \times 3) \times (2^2 \times 3) = 2^4 \times 3^2 \) Pozitif tam bölen sayısını bulmak için üsleri birer artırıp çarparız: \( (4+1) \times (2+1) = 5 \times 3 = 15 \) Yani çiftçi, 144 kutuyu 15 farklı şekilde gruplandırabilir. 👨‍🌾

İki sayının EBOB'u 12 ise, bu sayılar 12'nin katları şeklinde yazılabilir. Sayılarımız \( 12a \) ve \( 12b \) olsun, burada \( a \) ve \( b \) aralarında asal sayılardır. Verilen bilgiye göre: \( 12a + 12b = 60 \) Denklemi 12'ye bölelim: \( a + b = 5 \) Şimdi \( a \) ve \( b \) için aralarında asal olan ve toplamları 5 olan sayı çiftlerini bulalım:

• \( a=1, b=4 \): Aralarında asaldır. Sayılar: \( 12 \times 1 = 12 \) ve \( 12 \times 4 = 48 \). Toplamları \( 12 + 48 = 60 \).
• \( a=2, b=3 \): Aralarında asaldır. Sayılar: \( 12 \times 2 = 24 \) ve \( 12 \times 3 = 36 \). Toplamları \( 24 + 36 = 60 \).

Bu nedenle, bu iki sayı 12 ve 48 veya 24 ve 36 olabilir. ✅

Bu soruda, manavın her pakette en fazla sayıda meyve olmasını istemesi, 96 ve 120 sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız gerektiği anlamına gelir. Öncelikle sayıları asal çarpanlarına ayıralım: \( 96 = 2^5 \times 3^1 \) \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) EBOB'u bulmak için ortak olan asal çarpanların en küçük üslerini alırız: EBOB(96, 120) = \( 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \) Manav, her pakette en fazla 24 meyve olmasını sağlamalıdır. Bu durumda 96 elmadan \( 96 \div 24 = 4 \) paket ve 120 portakaldan \( 120 \div 24 = 5 \) paket elde eder. 📦

Bu problemde, hem 48'in hem de 60'ın böleni olan ve en az sayıda öğrenci içeren grupları bulmak için bu iki sayının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerekir. Ancak soruda "en az kaç olmalıdır" yerine "eşit sayıda öğrenci içeren gruplar oluşturmak" ve "tam olarak gruplara ayrılabilsin" deniyor. Bu, aslında gruplardaki öğrenci sayısının hem 48'in hem de 60'ın bir böleni olması gerektiğini ve bu bölenlerin en büyüğünü aradığımızı gösterir. Yani EBOB'u bulmalıyız. 48 ve 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: \( 48 = 2^4 \times 3^1 \) \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \) EBOB(48, 60) = \( 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \) Yani, her grupta en az 12 öğrenci olmalıdır ki, hem koro hem de orkestra tam olarak gruplara ayrılabilsin. Bu durumda 48 kişilik korodan \( 48 \div 12 = 4 \) grup ve 60 kişilik orkestradan \( 60 \div 12 = 5 \) grup oluşur. 🎼