🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlar ve Bölenler Arasındaki İlişki Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlar ve Bölenler Arasındaki İlişki Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
120 sayısının asal çarpanlarını bulunuz. 💡
Çözüm:
- 120 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için algoritma yöntemini kullanalım:
- \( 120 = 2 \times 60 \)
- \( 60 = 2 \times 30 \)
- \( 30 = 2 \times 15 \)
- \( 15 = 3 \times 5 \)
- Bu durumda \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \) olarak yazılır.
- Asal çarpanlar: 2, 3 ve 5 sayılarıdır. ✅
Örnek 2:
72 sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulunuz. 📌
Çözüm:
- Önce 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2 \).
- Pozitif tam bölen sayısı formülü: Üsleri birer artırıp çarpıyoruz.
- Üsler: 3 ve 2.
- Pozitif tam bölen sayısı \( = (3+1) \times (2+1) = 4 \times 3 = 12 \).
- Sonuç: 12 tane pozitif tam böleni vardır. ✅
Örnek 3:
\( A = 2^a \times 3^b \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan bir A sayısının 12 tane pozitif tam böleni olduğu biliniyor. \( a+b = 5 \) ise, A sayısı kaçtır? 🤔
Çözüm:
- Pozitif tam bölen sayısı formülünden: \( (a+1) \times (b+1) = 12 \).
- Verilen bilgi: \( a+b = 5 \).
- Çarpımları 12, toplamları 5 olan iki sayı bulalım: 3 ve 2.
- Bu durumda \( a=2, b=3 \) veya \( a=3, b=2 \) olabilir.
- Eğer \( a=2, b=3 \) ise \( A = 2^2 \times 3^3 = 4 \times 27 = 108 \).
- Eğer \( a=3, b=2 \) ise \( A = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72 \).
- A sayısı 72 veya 108 olabilir. ✅
Örnek 4:
180 sayısının kaç tane tam sayı böleni vardır? 🔍
Çözüm:
- Önce 180'i asal çarpanlarına ayıralım: \( 180 = 18 \times 10 = 2 \times 9 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \).
- Pozitif tam bölen sayısı \( = (2+1) \times (2+1) \times (1+1) = 3 \times 3 \times 2 = 18 \).
- Tam sayı bölenleri hem pozitif hem de negatif olduğu için toplam bölen sayısı pozitiflerin 2 katıdır.
- Tam sayı bölen sayısı \( = 18 \times 2 = 36 \). ✅
Örnek 5:
Bir kütüphanede raflara kitaplar dizilecektir. 60 tane kitabı, her rafta eşit sayıda ve 5'ten fazla olacak şekilde kaç farklı biçimde dizebiliriz? 📚
Çözüm:
- 60'ın bölenlerini bulalım: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
- Soruda "5'ten fazla" dediği için 5'i ve daha küçükleri eliyoruz.
- Geriye kalanlar: 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
- Toplam 7 farklı şekilde dizilim yapılabilir. ✅
Örnek 6:
Bir çiçekçi elindeki 48 gülü, her bir demette eşit sayıda gül olacak şekilde paketlemek istiyor. Bir demetteki gül sayısı 3'ten fazla ve 20'den az olduğuna göre, kaç farklı paketleme seçeneği vardır? 🌹
Çözüm:
- 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- Koşul: 3 < x < 20.
- Bu aralıktaki bölenler: 4, 6, 8, 12, 16.
- Toplam 5 farklı seçenek mevcuttur. ✅
Örnek 7:
\( 120 \times x \) ifadesinin bir tam sayının karesi olması için x'in alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri nedir? 🔢
Çözüm:
- 120'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \).
- Bir sayının tam kare olması için tüm asal çarpanların üslerinin çift olması gerekir.
- \( 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times x = k^2 \).
- Üsleri çift yapmak için: \( x = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 \) olmalıdır.
- \( x = 2 \times 3 \times 5 = 30 \).
- Cevap: 30. ✅
Örnek 8:
Bir dijital saatte, saat ve dakika kısımları çarpıldığında sonuç 72 çıkmaktadır. Bu saatte gün içinde kaç farklı zaman dilimi (saat:dakika) görülebilir? ⏰
Çözüm:
- Saat (S) ve Dakika (D) değerleri için \( S \times D = 72 \) olmalıdır.
- S değeri 00 ile 23 arasında, D değeri 00 ile 59 arasında olmalıdır.
- Olası durumlar:
- S=12, D=6 (12:06)
- S=18, D=4 (18:04)
- S=24 olamaz (en fazla 23).
- S=9, D=8 (09:08)
- S=8, D=9 (08:09)
- S=6, D=12 (06:12)
- S=4, D=18 (04:18)
- S=3, D=24 (03:24)
- S=2, D=36 (02:36)
- S=1, D=72 (Dakika 60'ı geçemez, elendi).
- Toplam 8 farklı zaman dilimi vardır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-asal-carpanlar-ve-bolenler-arasindaki-iliski/sorular