💡 10. Sınıf Matematik: Artan, Azalan, Örten ve Birebir Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Artan bir fonksiyon, tanım kümesindeki her x_1 ve x_2 değeri için x_1 < x_2 iken f(x_1) < f(x_2) olmasını sağlayan fonksiyondur.

• Fonksiyonumuz f(x) = 2x + 3.
• Tanım kümesinden rastgele iki farklı değer seçelim: x_1 ve x_2.
• x_1 < x_2 kabul edelim.
• Bu durumda 2x_1 < 2x_2 olur.
• Her iki tarafa 3 eklersek, 2x_1 + 3 < 2x_2 + 3 elde ederiz.
• Bu da f(x_1) < f(x_2) anlamına gelir.

Sonuç olarak, x_1 < x_2 iken f(x_1) < f(x_2) olduğundan, f(x) = 2x + 3 fonksiyonu artan bir fonksiyondur. ✅

Azalan bir fonksiyon, tanım kümesindeki her x_1 ve x_2 değeri için x_1 < x_2 iken f(x_1) > f(x_2) olmasını sağlayan fonksiyondur.

• Fonksiyonumuz g(x) = -x + 5.
• Tanım kümesinden x_1 < x_2 olacak şekilde iki değer seçelim.
• Eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarparsak, eşitsizlik yön değiştirir: -x_1 > -x_2.
• Her iki tarafa 5 ekleyelim: -x_1 + 5 > -x_2 + 5.
• Bu da g(x_1) > g(x_2) anlamına gelir.

Dolayısıyla, x_1 < x_2 iken g(x_1) > g(x_2) olduğundan, g(x) = -x + 5 fonksiyonu azalan bir fonksiyondur. 👍

Birebir fonksiyon, tanım kümesindeki farklı her elemanın değer kümesinde farklı bir görüntüye sahip olması demektir. Yani, x_1 \neq x_2 iken h(x_1) \neq h(x_2) olmalıdır.

• Fonksiyonumuz h(x) = x^2.
• Tanım kümesinden x_1 = -2 ve x_2 = 2 değerlerini alalım.
• Görüyoruz ki x_1 \neq x_2 (yani -2 \neq 2).
• Şimdi görüntülerini hesaplayalım:
• h(x_1) = h(-2) = (-2)^2 = 4.
• h(x_2) = h(2) = (2)^2 = 4.
• Burada h(x_1) = h(x_2) (yani 4 = 4) olmasına rağmen x_1 \neq x_2'dir.

Bu durum, birebir fonksiyon tanımını sağlamaz. Bu nedenle, h(x) = x^2 fonksiyonu birebir değildir. ❌

Örten fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması demektir. Yani, fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit olmalıdır.

• Fonksiyonumuz k(x) = |x|.
• Fonksiyonun görüntü kümesi G_k = [0, \infty)'dur. Çünkü mutlak değerin sonucu asla negatif olamaz.
• Fonksiyonun değer kümesi ise \mathbb{R} (tüm reel sayılar)'dir.
• Görüntü kümesi [0, \infty) iken, değer kümesi (-\infty, \infty)'dur.
• Değer kümesindeki negatif reel sayılar (örneğin -3), fonksiyonun görüntü kümesinde yer almamaktadır.

Bu nedenle, k(x) = |x| fonksiyonu örten değildir. 👎

Fonksiyonun birebir olup olmadığını kontrol edelim:

• Tanım kümesindeki farklı elemanlar: 100, 200, 300.
• Bu elemanların görüntüleri: f(100) = 150, f(200) = 100, f(300) = 50.
• Her farklı elemanın görüntüsü de farklıdır.

Dolayısıyla, fonksiyon birebirdir. ✅ Fonksiyonun örten olup olmadığını kontrol edelim:

• Değer kümesi: \{50, 100, 150\}.
• Görüntü kümesi: \{f(100), f(200), f(300)\} = \{150, 100, 50\}.
• Görüntü kümesi ile değer kümesi aynıdır.

Dolayısıyla, fonksiyon örtendir. ✅ Sonuç olarak, bu fonksiyon hem birebir hem de örtendir. 👉

Bu durumu bir fonksiyon olarak modelleyelim:

• Tanım kümesi: Otobüsün koltuk numaraları kümesi, yani \{1, 2, ..., 50\}.
• Değer kümesi: Otobüsteki yolcuların adları kümesi.
• Fonksiyon B, koltuk numarasını yolcu adıyla eşliyor.

"Her koltukta farklı bir yolcu oturuyor" ifadesi, tanım kümesindeki farklı her koltuk numarasının, değer kümesinde farklı bir yolcu adına karşılık geldiğini söyler. Bu, fonksiyonun birebir olduğu anlamına gelir. 📌 "Tüm koltuklar dolu" ifadesi, değer kümesindeki her yolcu adının, tanım kümesindeki bir koltuk numarasına karşılık geldiğini ima eder (çünkü her yolcu bir koltukta oturuyor). Bu, fonksiyonun örten olduğu anlamına gelir. 💯 Sonuç olarak, bu fonksiyon hem birebir hem de örtendir.

Bu fonksiyonun artan veya azalan olup olmadığını anlamak için türevini kullanabiliriz (ancak 10. sınıf müfredatında türev olmadığı için farklı bir yaklaşım kullanalım). Bir fonksiyonun artan veya azalanlığını anlamak için tanım kümesinden farklı değerler alıp sonuçları karşılaştırabiliriz.

• Fonksiyonumuz f(x) = x^3 - x.
• x_1 = -2 alalım: f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6.
• x_2 = -1 alalım: f(-1) = (-1)^3 - (-1) = -1 + 1 = 0.
• x_3 = 0 alalım: f(0) = (0)^3 - 0 = 0.
• x_4 = 1 alalım: f(1) = (1)^3 - 1 = 1 - 1 = 0.
• x_5 = 2 alalım: f(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6.

Şimdi bu değerleri karşılaştıralım:

• -2 < -1 iken f(-2) = -6 < f(-1) = 0. Bu artanlık gösterir.
• -1 < 0 iken f(-1) = 0 = f(0). Bu ne artanlık ne de azalanlık gösterir.
• 0 < 1 iken f(0) = 0 = f(1). Bu da aynı şekilde.
• 1 < 2 iken f(1) = 0 < f(2) = 6. Bu artanlık gösterir.

Fonksiyonun tanım kümesinde hem artış gösterdiği hem de sabit kaldığı aralıklar bulunmaktadır. Bu nedenle, fonksiyon ne kesin olarak artandır ne de kesin olarak azalandır. Fonksiyonun bazı aralıklarda artan, bazı aralıklarda ise sabit kaldığı veya azalan olduğu durumlar olabilir. 🤷

Fonksiyonumuz f(x) = 2x ve tanım/değer kümesi pozitif tam sayılar kümesi \mathbb{Z}^+. Birebirlik Kontrolü:

• Tanım kümesinden rastgele iki farklı pozitif tam sayı alalım: x_1 ve x_2.
• x_1 \neq x_2 kabul edelim.
• Eğer x_1 \neq x_2 ise, her iki tarafı 2 ile çarptığımızda 2x_1 \neq 2x_2 olur.
• Bu da f(x_1) \neq f(x_2) anlamına gelir.

Tanım kümesindeki farklı her elemanın görüntüsü değer kümesinde farklı olduğundan, fonksiyon birebirdir. ✅ Örtenlik Kontrolü:

• Fonksiyonun görüntü kümesini inceleyelim. f(x) = 2x olduğundan, görüntü kümesi çift pozitif tam sayılardan oluşur: \{2, 4, 6, 8, ...\}.
• Fonksiyonun değer kümesi ise tüm pozitif tam sayılardır: \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}.
• Değer kümesindeki tek pozitif tam sayılar (örneğin 1, 3, 5, ...) fonksiyonun görüntü kümesinde yer almamaktadır.

Bu nedenle, fonksiyon örten değildir. ❌