💡 10. Sınıf Matematik: Analitik Nokta Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanırız. Formül şöyledir: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Verilen noktalarımız A(3, 5) ve B(7, 1). Bu durumda:

• \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \)
• \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 1 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \] Hesaplamaları yapalım: \[ d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 16} \] \[ d = \sqrt{32} \] Kök dışına çıkarırsak: \[ d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \] Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. ✅

İki noktanın orta noktasının koordinatlarını bulmak için orta nokta formülünü kullanırız. Formül şöyledir: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Verilen noktalarımız C(-2, 4) ve D(6, -2). Bu durumda:

• \( x_1 = -2 \), \( y_1 = 4 \)
• \( x_2 = 6 \), \( y_2 = -2 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ M_x = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ M_y = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Orta noktanın koordinatları (2, 1)'dir. 👉

İki noktadan geçen doğrunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanırız. Formül şöyledir: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Verilen noktalarımız E(1, 2) ve F(5, 10). Bu durumda:

• \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \)
• \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 10 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{10 - 2}{5 - 1} \] Hesaplamaları yapalım: \[ m = \frac{8}{4} \] \[ m = 2 \] E ve F noktalarından geçen doğrunun eğimi 2'dir. 👍

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü ve verilen bilgileri kullanarak 'a' değerini bulacağız. Uzaklık formülü: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Verilenler:

• K(a, 3) => \( x_1 = a \), \( y_1 = 3 \)
• L(5, 7) => \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 7 \)
• Uzaklık \( d = \sqrt{20} \)

Formülde yerine koyalım: \[ \sqrt{20} = \sqrt{(5 - a)^2 + (7 - 3)^2} \] Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulalım: \[ 20 = (5 - a)^2 + (4)^2 \] \[ 20 = (5 - a)^2 + 16 \] Şimdi \( (5 - a)^2 \) terimini yalnız bırakalım: \[ (5 - a)^2 = 20 - 16 \] \[ (5 - a)^2 = 4 \] Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ 5 - a = \pm 2 \] İki olası durum vardır:

1. \( 5 - a = 2 \) => \( a = 5 - 2 = 3 \)
2. \( 5 - a = -2 \) => \( a = 5 - (-2) = 7 \)

Bu nedenle 'a' değeri 3 veya 7 olabilir. ✨

Bu problemi bir doğru denklemi ile modelleyebiliriz. Başlangıçta 50 litre yakıtımız var, bu bizim y-kesenimizdir ( \( b = 50 \) ). Her 100 kilometrede 8 litre yakıt tüketiliyor. Bu, eğimi temsil eder. Eğim, gidilen her kilometre başına yakıt tüketimini gösterir. Eğim \( m \): \[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-8 \text{ litre}}{100 \text{ km}} = -0.08 \text{ litre/km} \] Doğru denklemi \( y = mx + b \) formundadır. Burada:

• \( y \): Depodaki yakıt miktarı (litre)
• \( x \): Gidilen mesafe (km)
• \( m \): Eğim (-0.08 litre/km)
• \( b \): Y-kesen (başlangıç yakıt miktarı, 50 litre)

Bu değerleri yerine koyarak analitik modeli oluşturalım: \[ y = -0.08x + 50 \] Bu denklem, aracın deposundaki yakıt miktarını gidilen mesafeye göre gösterir. Örneğin, 200 km gidildiğinde depoda ne kadar yakıt kalacağını bulmak için \( x = 200 \) koyarız: \[ y = -0.08(200) + 50 = -16 + 50 = 34 \text{ litre} \] Araç 200 km gittikten sonra depoda 34 litre yakıt kalır. ⛽

Bu durumu da bir doğru denklemi ile modelleyebiliriz. Taban fiyat 200.000 TL'dir, bu y-kesenimizdir ( \( b = 200000 \) ). Her metrekare için 1.500 TL ekleniyor, bu da eğimimizdir ( \( m = 1500 \) ). Doğru denklemi \( F = mm + b \) formundadır. Burada:

• \( F \): Evin fiyatı (TL)
• \( m \): Evin metrekaresi
• \( m \): Eğim (1.500 TL/m²)
• \( b \): Y-kesen (taban fiyat, 200.000 TL)

Bu değerleri yerine koyarak analitik modeli oluşturalım: \[ F = 1500m + 200000 \] Bu denklem, evin metrekaresi bilindiğinde fiyatını hesaplamamızı sağlar. Örneğin, 120 metrekarelik bir evin fiyatını bulmak için \( m = 120 \) koyarız: \[ F = 1500(120) + 200000 = 180000 + 200000 = 380000 \text{ TL} \] 120 metrekarelik bir evin fiyatı 380.000 TL olur. 💰

Noktaların doğrusal olması demek, bu noktaların aynı doğru üzerinde bulunması demektir. Bu durumda, herhangi iki nokta arasındaki eğim, diğer herhangi iki nokta arasındaki eğime eşit olmalıdır. Önce A(1, -1) ve B(5, 3) noktaları arasındaki eğimi hesaplayalım: \[ m_{AB} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-1)}{5 - 1} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Şimdi B(5, 3) ve C(x, 7) noktaları arasındaki eğimi hesaplayalım: \[ m_{BC} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 3}{x - 5} = \frac{4}{x - 5} \] Noktalar doğrusal olduğu için \( m_{AB} = m_{BC} \) olmalıdır: \[ 1 = \frac{4}{x - 5} \] Bu denklemi çözerek x değerini bulalım: \[ x - 5 = 4 \] \[ x = 4 + 5 \] \[ x = 9 \] Bu nedenle x değeri 9'dur. ✅

Bu soruyu iki adımda çözeceğiz:

1. Önce P ve Q noktalarını birleştiren doğru parçasının eğimini bulacağız.
2. Ardından bu doğruya dik olan doğrunun eğimini hesaplayacağız.

Adım 1: PQ doğru parçasının eğimi Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) Verilen noktalar: P(2, 6) ve Q(8, 2) \[ m_{PQ} = \frac{2 - 6}{8 - 2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] Adım 2: Dik doğrunun eğimi İki doğru birbirine dik ise, eğimleri çarpımı -1'dir. Yani, \( m_1 \times m_2 = -1 \) Bizim bulduğumuz eğim \( m_{PQ} = -\frac{2}{3} \). Dik olan doğrunun eğimine \( m_{\text{dik}} \) diyelim. \[ m_{PQ} \times m_{\text{dik}} = -1 \] \[ -\frac{2}{3} \times m_{\text{dik}} = -1 \] Şimdi \( m_{\text{dik}} \) değerini bulalım: \[ m_{\text{dik}} = \frac{-1}{-\frac{2}{3}} = -1 \times \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \] Bu nedenle, P ve Q noktalarını birleştiren doğru parçasına dik olan doğrunun eğimi \( \frac{3}{2} \)'dir. 📐