💡 10. Sınıf Matematik: Analitik İnceleme Föyü Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. Formül şu şekildedir: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Noktalarımız A(3, 5) ve B(7, 1) olduğuna göre:

• \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \)
• \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 1 \)

Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \] \[ d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 16} \] \[ d = \sqrt{32} \] Kök dışına çıkarırsak: \[ d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \] Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. 💡

İki noktanın orta noktasının koordinatlarını bulmak için orta nokta formülünü kullanırız. Formül: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Verilen noktalar C(-2, 4) ve D(6, -2). Bu durumda:

• \( x_1 = -2 \), \( y_1 = 4 \)
• \( x_2 = 6 \), \( y_2 = -2 \)

Şimdi formülde yerine koyalım:

• Orta noktanın x koordinatı: \( \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• Orta noktanın y koordinatı: \( \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Bu nedenle, C ve D noktalarının orta noktası E(2, 1) noktasıdır. ✅

Bir doğrunun eğimini bulmak için iki nokta arasındaki değişim oranını kullanırız. Eğim formülü: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Noktalarımız E(1, 2) ve F(5, 8). Buradan:

• \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \)
• \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 8 \)

Formülü uygulayalım: \[ m = \frac{8 - 2}{5 - 1} \] \[ m = \frac{6}{4} \] Kesri sadeleştirirsek: \[ m = \frac{3}{2} \] Dolayısıyla, E ve F noktalarından geçen doğrunun eğimi \( \frac{3}{2} \) olur. 👉

Paralel doğruların eğimleri eşittir. Verilen doğrunun denklemi \( y = 3x + 5 \). Bu denklem \( y = mx + n \) formatındadır.

• Buradan, verilen doğrunun eğimi \( m = 3 \) olarak bulunur.
• Paralel olan yeni doğrunun eğimi de \( m = 3 \) olacaktır.

Yeni doğrunun denklemini \( y = mx + n \) şeklinde yazabiliriz: \( y = 3x + n \). Bu doğru A(2, -1) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır. Noktayı denklemde yerine koyalım: \[ -1 = 3(2) + n \] \[ -1 = 6 + n \] Şimdi \( n \) değerini bulalım: \[ n = -1 - 6 \] \[ n = -7 \] Böylece, aradığımız doğrunun denklemi \( y = 3x - 7 \) olur. 📌

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı -1'dir. Verilen doğrunun denklemi \( y = -2x + 4 \).

• Bu doğrunun eğimi \( m_1 = -2 \) 'dir.
• Dik olan yeni doğrunun eğimi \( m_2 \) olsun. O halde \( m_1 \times m_2 = -1 \) olmalıdır.
• \( -2 \times m_2 = -1 \)
• \( m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \)

Yeni doğrunun eğimi \( m_2 = \frac{1}{2} \) ve B(1, 3) noktasından geçmektedir. Doğrunun denklemini \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülü ile bulabiliriz. \[ y - 3 = \frac{1}{2}(x - 1) \] Denklemi düzenleyelim: \[ 2(y - 3) = x - 1 \] \[ 2y - 6 = x - 1 \] \[ 2y = x + 5 \] Veya \( y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \) şeklinde de yazılabilir. ✅

Bu problemde, iki nokta arasındaki doğru parçasını temsil eden doğrunun denklemini bulmamız gerekiyor.

1. Eğimi Bulma: Önce A(1, 2) ve B(5, 10) noktalarından geçen doğrunun eğimini hesaplayalım.
   \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{10 - 2}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 \]
2. Doğru Denklemini Yazma: Eğim \( m = 2 \) ve A(1, 2) noktasını kullanarak doğru denklemini \( y - y_1 = m(x - x_1) \) formülüyle yazalım.
   \[ y - 2 = 2(x - 1) \] \[ y - 2 = 2x - 2 \] \[ y = 2x \] Bu, aracın gittiği yolun analitik düzlemdeki denklemidir.
3. Genel Formül: Bu doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları, \( x \) yerine herhangi bir reel sayı koyarak \( y \) değerini bulduğumuzda elde edilir. Ancak, aracın A'dan B'ye gittiği yol düşünüldüğünde, \( x \) değeri 1 ile 5 arasında olmalıdır. Bu yol üzerindeki bir noktanın koordinatları genel olarak \( (x, 2x) \) şeklinde ifade edilebilir, burada \( 1 \le x \le 5 \) olmalıdır.

Dolayısıyla, aracın gittiği yolun denklemi \( y = 2x \) ve bu yol üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları \( (x, 2x) \) olarak verilebilir ( \( 1 \le x \le 5 \) koşuluyla). 💡

Bu soruda, O(0, 0) ve P(8, 6) noktaları arasındaki uzaklığı bularak temel alanının köşegen uzunluğunu hesaplayacağız. Bu, iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile yapılır.

• Noktalarımız \( O(x_1, y_1) = (0, 0) \) ve \( P(x_2, y_2) = (8, 6) \).
• Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

Değerleri yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(8 - 0)^2 + (6 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{8^2 + 6^2} \] \[ d = \sqrt{64 + 36} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Temel alanının köşegen uzunluğu 10 birimdir. Bu, inşaat mühendisinin planlamasında önemli bir bilgidir. 🏗️

Orta nokta formülünü kullanarak bu soruyu çözebiliriz. Orta nokta M'nin koordinatları şu şekilde bulunur: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Verilenler:

• A noktasının koordinatları: \( (k, 3) \)
• B noktasının koordinatları: \( (5, k+1) \)
• Orta noktanın koordinatları: \( M(3, 5) \)

Şimdi orta nokta formülündeki x ve y koordinatlarını ayrı ayrı eşitleyerek denklemler kuralım:

1. x-koordinatı için:
\[ \frac{k + 5}{2} = 3 \] Denklemi çözelim: \[ k + 5 = 2 \times 3 \] \[ k + 5 = 6 \] \[ k = 6 - 5 \] \[ k = 1 \]
2. y-koordinatı için:
\[ \frac{3 + (k+1)}{2} = 5 \] Denklemi çözelim: \[ 3 + k + 1 = 2 \times 5 \] \[ 4 + k = 10 \] \[ k = 10 - 4 \] \[ k = 6 \]

Burada bir tutarsızlık görüyoruz. Orta noktanın hem x hem de y koordinatından farklı k değerleri elde ettik. Bu durum, soruda verilen noktalar veya orta nokta koordinatlarında bir hata olduğunu gösterir. Ancak, eğer soruda verilen bilgiler doğru kabul edilirse, bu noktalarla M(3,5) orta noktası oluşturulamaz. Eğer soruda bir yazım hatası olsaydı ve örneğin orta nokta M(3, 4) olsaydı:

1. x-koordinatı için:
\[ \frac{k + 5}{2} = 3 \implies k = 1 \]
2. y-koordinatı için:
\[ \frac{3 + (k+1)}{2} = 4 \] \[ 4 + k = 8 \] \[ k = 4 \] Yine farklı k değerleri elde edilir. Eğer orta nokta M(4, 5) olsaydı:
1. x-koordinatı için:
\[ \frac{k + 5}{2} = 4 \] \[ k + 5 = 8 \] \[ k = 3 \]
2. y-koordinatı için:
\[ \frac{3 + (k+1)}{2} = 5 \] \[ 4 + k = 10 \] \[ k = 6 \] Yine farklı k değerleri elde edilir. Sorunun orijinal haliyle devam edersek ve varsayımsal olarak ilk denklemi doğru kabul edersek (k=1): Eğer \( k = 1 \) ise, A noktasının koordinatları \( (1, 3) \) olur. B noktasının koordinatları \( (5, 1+1) = (5, 2) \) olur. Bu iki noktanın orta noktası \( \left(\frac{1+5}{2}, \frac{3+2}{2}\right) = \left(\frac{6}{2}, \frac{5}{2}\right) = (3, 2.5) \) olur. Bu, verilen M(3, 5) ile uyuşmaz. Varsayımsal olarak ikinci denklemi doğru kabul edersek (k=6): Eğer \( k = 6 \) ise, A noktasının koordinatları \( (6, 3) \) olur. B noktasının koordinatları \( (5, 6+1) = (5, 7) \) olur. Bu iki noktanın orta noktası \( \left(\frac{6+5}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = \left(\frac{11}{2}, \frac{10}{2}\right) = (5.5, 5) \) olur. Bu da verilen M(3, 5) ile uyuşmaz. Bu nedenle, verilen bilgilerle tutarlı bir çözüm mümkün değildir. Bu tür durumlarda sorunun kontrol edilmesi önemlidir. ⚠️

Bu problemde hem iki nokta arasındaki uzaklığı hem de bu iki noktanın orta noktasını bulmamız gerekiyor.

1. İki Şehir Arasındaki Uzaklık (En Kısa Mesafe):
   A(2, 7) ve B(10, 1) noktaları arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanırız:
   \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Değerleri yerine koyalım:
   \[ d = \sqrt{(10 - 2)^2 + (1 - 7)^2} \] \[ d = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \] \[ d = \sqrt{64 + 36} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] İki şehir arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir.
2. C Noktasının Koordinatları (Orta Nokta):
   C noktasının koordinatlarını bulmak için orta nokta formülünü kullanırız:
   \[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Değerleri yerine koyalım:
   
   • x-koordinatı: \( \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
   • y-koordinatı: \( \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
   C noktasının koordinatları (6, 4)'tür.

Bu, harita üzerinde iki şehir arasındaki mesafeyi ve tam ortasındaki bir noktayı belirlemek için analitik geometrinin nasıl kullanılabileceğine dair güzel bir örnektir. 🗺️