🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Analitik geometri uzaklık Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Analitik geometri uzaklık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için analitik geometride iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü şöyledir: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımızı formülde yerine koyalım: A( \(x_1=2\), \(y_1=3\) ) ve B( \(x_2=5\), \(y_2=7\) )
- Uzaklığı hesaplayalım: \( d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \)
- İşlemleri yapalım: \( d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{9 + 16} \)
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{25} \)
- Karekökten çıkaralım: \( d = 5 \)
Örnek 2:
Analitik düzlemde C(-1, 4) ve D(3, -2) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📍
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bu soruyu da kolayca çözebiliriz.
- Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: C( \(x_1=-1\), \(y_1=4\) ) ve D( \(x_2=3\), \(y_2=-2\) )
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} \)
- Farkları hesaplayalım: \( d = \sqrt{(3 + 1)^2 + (-6)^2} \)
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} \)
- \( d = \sqrt{16 + 36} \)
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{52} \)
- Karekökü sadeleştirelim: \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \)
Örnek 3:
Orijin (başlangıç noktası) O(0, 0) ile P(6, 8) noktası arasındaki uzaklığı hesaplayınız. 🚀
Çözüm:
Orijin ile bir nokta arasındaki uzaklık, o noktanın orijine olan mesafesidir. Yine uzaklık formülünü kullanacağız.
- Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: O( \(x_1=0\), \(y_1=0\) ) ve P( \(x_2=6\), \(y_2=8\) )
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} \)
- İşlemleri yapalım: \( d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{36 + 64} \)
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{100} \)
- Karekökten çıkaralım: \( d = 10 \)
Örnek 4:
Bir parkın krokisi analitik düzlemde verilmiştir. Parkın giriş kapısı A(-3, 5) noktasında, bank ise B(1, 2) noktasındadır. Bir kişi kapıdan banka doğru en kısa yoldan yürüyecektir. Yürüyeceği mesafe kaç metredir? (Her birim 10 metreye karşılık gelmektedir.) 🌳🚶
Çözüm:
Bu soruda, parkın kapısı ile bank arasındaki mesafeyi bulmak için analitik düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. Sonrasında bu mesafeyi verilen ölçeğe göre metreye çevireceğiz.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: A( \(x_1=-3\), \(y_1=5\) ) ve B( \(x_2=1\), \(y_2=2\) )
- Uzaklığı hesaplayalım: \( d = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - 5)^2} \)
- Farkları hesaplayalım: \( d = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3)^2} \)
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
- \( d = \sqrt{16 + 9} \)
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{25} \)
- Karekökten çıkaralım: \( d = 5 \)
- Bu uzaklık 5 birimdir. Soruda her birimin 10 metre olduğu belirtilmiş.
- Metre cinsinden mesafeyi bulalım: \( 5 \text{ birim} \times 10 \text{ metre/birim} = 50 \text{ metre} \)
Örnek 5:
Analitik düzlemde K(a, 2) ve L(4, -1) noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{13} \) birimdir. Buna göre 'a' değerinin alabileceği değerleri bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruda, verilen uzaklık ve nokta koordinatlarını kullanarak bilinmeyen 'a' değerini bulacağız.
- Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: K( \(x_1=a\), \(y_1=2\) ) ve L( \(x_2=4\), \(y_2=-1\) )
- Verilen uzaklık: \( d = \sqrt{13} \)
- Formülde yerine koyalım: \( \sqrt{13} = \sqrt{(4 - a)^2 + (-1 - 2)^2} \)
- Karekökleri kaldırmak için her iki tarafın karesini alalım: \( 13 = (4 - a)^2 + (-3)^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 13 = (4 - a)^2 + 9 \)
- \( (4 - a)^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( (4 - a)^2 = 13 - 9 \)
- \( (4 - a)^2 = 4 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( 4 - a = \pm \sqrt{4} \)
- Bu bize iki olası denklem verir:
- Durum 1: \( 4 - a = 2 \) => \( a = 4 - 2 \) => \( a = 2 \)
- Durum 2: \( 4 - a = -2 \) => \( a = 4 - (-2) \) => \( a = 4 + 2 \) => \( a = 6 \)
Örnek 6:
Bir harita uygulamasında, eviniz A(1, 1) noktasında, arkadaşınızın evi ise B(7, 9) noktasında gösteriliyor. Harita üzerinde birimler kilometre olarak ifade edilmektedir. Evler arasındaki kuş uçuşu mesafe kaç kilometredir? 🗺️🚗
Çözüm:
Bu, günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir durumdur. Harita üzerindeki koordinatları kullanarak iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayabiliriz.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: Eviniz A( \(x_1=1\), \(y_1=1\) ) ve arkadaşınızın evi B( \(x_2=7\), \(y_2=9\) )
- Uzaklığı hesaplayalım: \( d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (9 - 1)^2} \)
- Farkları hesaplayalım: \( d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
- Kareleri alalım: \( d = \sqrt{36 + 64} \)
- Toplama işlemini yapalım: \( d = \sqrt{100} \)
- Karekökten çıkaralım: \( d = 10 \)
Örnek 7:
Analitik düzlemde M(x, 5) noktasının N(-2, 1) noktasına olan uzaklığı 5 birimdir. Buna göre x'in alabileceği değerleri bulunuz. 🔢
Çözüm:
Bu soruda da verilen uzaklık ve nokta koordinatlarını kullanarak bilinmeyen 'x' değerini bulacağız.
- Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: M( \(x_1=x\), \(y_1=5\) ) ve N( \(x_2=-2\), \(y_2=1\) )
- Verilen uzaklık: \( d = 5 \)
- Formülde yerine koyalım: \( 5 = \sqrt{(-2 - x)^2 + (1 - 5)^2} \)
- Karekökleri kaldırmak için her iki tarafın karesini alalım: \( 25 = (-2 - x)^2 + (-4)^2 \)
- Kareleri hesaplayalım: \( 25 = (-2 - x)^2 + 16 \)
- \( (-2 - x)^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( (-2 - x)^2 = 25 - 16 \)
- \( (-2 - x)^2 = 9 \)
- Her iki tarafın karekökünü alalım: \( -2 - x = \pm \sqrt{9} \)
- Bu bize iki olası denklem verir:
- Durum 1: \( -2 - x = 3 \) => \( -x = 3 + 2 \) => \( -x = 5 \) => \( x = -5 \)
- Durum 2: \( -2 - x = -3 \) => \( -x = -3 + 2 \) => \( -x = -1 \) => \( x = 1 \)
Örnek 8:
Bir robot, başlangıç noktası (0, 0) olan bir alanda hareket etmektedir. Robot önce (4, 0) noktasına gidiyor, ardından (4, 3) noktasına ulaşıyor. Robotun kat ettiği toplam yol kaç birimdir? 🤖
Çözüm:
Robotun kat ettiği toplam yolu bulmak için, gittiği her bir bölümün uzunluğunu hesaplayıp bu uzunlukları toplamamız gerekiyor.
- Robotun ilk hareketi: Başlangıç noktası O(0, 0) ile (4, 0) noktası arasındaki uzaklık.
- Bu uzaklık yatay bir çizgidir. Y eksenindeki değişim sıfırdır.
- Uzaklık: \( d_1 = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \) birim.
- Robotun ikinci hareketi: (4, 0) noktası ile (4, 3) noktası arasındaki uzaklık.
- Bu uzaklık dikey bir çizgidir. X eksenindeki değişim sıfırdır.
- Uzaklık: \( d_2 = \sqrt{(4 - 4)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \) birim.
- Robotun kat ettiği toplam yol bu iki mesafenin toplamıdır.
- Toplam Yol = \( d_1 + d_2 = 4 + 3 = 7 \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-analitik-geometri-uzaklik/sorular