💡 10. Sınıf Matematik: Analitik Geometri Test Soruları Çözümlü Örnekler

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için uzaklık formülünü kullanacağız.

• 1. Adım: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.
• A noktasının koordinatları: \( x_1 = 3, y_1 = 5 \)
• B noktasının koordinatları: \( x_2 = 7, y_2 = 1 \)
• 2. Adım: Uzaklık formülünü yazalım.

İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık \( d \) şu formülle bulunur:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
• 3. Adım: Formülde verilen değerleri yerine koyalım.
\[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \]
• 4. Adım: Hesaplamaları yapalım.
\[ d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 16} \] \[ d = \sqrt{32} \]
• 5. Adım: Karekökü sadeleştirelim.
\[ d = \sqrt{16 \times 2} \] \[ d = 4\sqrt{2} \]

Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. ✅

Bir noktanın x eksenine göre simetriği alındığında, x koordinatı aynı kalır, y koordinatının işareti değişir.

• 1. Adım: Noktanın koordinatlarını belirleyelim.

C noktasının koordinatları: \( x = 2, y = -3 \)

• 2. Adım: x eksenine göre simetri kuralını uygulayalım.

Simetri sonrası C' noktasının koordinatları \( (x, -y) \) şeklinde olur.

• 3. Adım: Yeni koordinatları hesaplayalım.

x koordinatı: \( 2 \)

y koordinatı: \( -(-3) = 3 \)

Bu durumda C' noktasının koordinatları \( (2, 3) \) olur. ✨

Bir noktanın y eksenine göre simetriği alındığında, y koordinatı aynı kalır, x koordinatının işareti değişir.

• 1. Adım: Noktanın koordinatlarını belirleyelim.

D noktasının koordinatları: \( x = -1, y = 4 \)

• 2. Adım: y eksenine göre simetri kuralını uygulayalım.

Simetri sonrası D' noktasının koordinatları \( (-x, y) \) şeklinde olur.

• 3. Adım: Yeni koordinatları hesaplayalım.

x koordinatı: \( -(-1) = 1 \)

y koordinatı: \( 4 \)

Bu durumda D' noktasının koordinatları \( (1, 4) \) olur. 👍

Bir noktanın orijine göre simetriği alındığında, hem x hem de y koordinatlarının işaretleri değişir.

• 1. Adım: Noktanın koordinatlarını belirleyelim.

E noktasının koordinatları: \( x = 4, y = -2 \)

• 2. Adım: Orijine göre simetri kuralını uygulayalım.

Simetri sonrası E' noktasının koordinatları \( (-x, -y) \) şeklinde olur.

• 3. Adım: Yeni koordinatları hesaplayalım.

x koordinatı: \( -(4) = -4 \)

y koordinatı: \( -(-2) = 2 \)

Bu durumda E' noktasının koordinatları \( (-4, 2) \) olur. 💯

Bu üçgenin alanını hesaplamak için farklı yöntemler kullanabiliriz. Taban ve yükseklik yöntemini kullanalım.

• 1. Adım: Noktaların konumlarını inceleyelim.

F(1, 2) ve G(5, 2) noktalarının y koordinatları aynıdır. Bu, FG kenarının x eksenine paralel olduğunu gösterir.

• 2. Adım: Taban uzunluğunu hesaplayalım.

FG kenarının uzunluğu, x koordinatları arasındaki farktır:

\[ \text{Taban} = |5 - 1| = 4 \text{ birim} \]
• 3. Adım: Yüksekliği belirleyelim.

Üçgenin yüksekliği, H noktasının y koordinatı ile tabanın y koordinatı arasındaki farktır:

\[ \text{Yükseklik} = |6 - 2| = 4 \text{ birim} \]
• 4. Adım: Üçgenin alan formülünü uygulayalım.

Üçgenin alanı \( A \) şu formülle bulunur:

\[ A = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \] \[ A = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \] \[ A = \frac{1}{2} \times 16 \] \[ A = 8 \]

Bu durumda, belirtilen üçgenin alanı 8 birim karedir. 🏆

Hareketli, K(2, 3) noktasından başlayarak adım adım simetri dönüşümlerini uygulasın.

• 1. Adım: x eksenine göre simetri.

K(2, 3) noktasının x eksenine göre simetriği \( K_1 \) noktasıdır:

\( K_1 = (2, -3) \)

• 2. Adım: Elde edilen noktanın y eksenine göre simetriği.

\( K_1(2, -3) \) noktasının y eksenine göre simetriği \( K_2 \) noktasıdır:

\( K_2 = (-2, -3) \)

• 3. Adım: Son olarak bu noktanın orijine göre simetriği.

\( K_2(-2, -3) \) noktasının orijine göre simetriği \( K_3 \) noktasıdır:

\( K_3 = (-(-2), -(-3)) = (2, 3) \)

Hareketli, tüm bu dönüşümlerden sonra başlangıç noktası olan K(2, 3) noktasına geri döner. 🔁

Bu soruda, harita üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak için analitik düzlemdeki uzaklık formülünü kullanacağız.

• 1. Adım: Noktaların koordinatlarını belirleyelim.

A noktasının koordinatları: \( x_1 = 10, y_1 = 20 \)

B noktasının koordinatları: \( x_2 = 50, y_2 = 80 \)

• 2. Adım: Uzaklık formülünü uygulayalım.

İki nokta arasındaki uzaklık \( d \) şu formülle bulunur:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
• 3. Adım: Değerleri formüle yerleştirip hesaplayalım.
\[ d = \sqrt{(50 - 10)^2 + (80 - 20)^2} \] \[ d = \sqrt{(40)^2 + (60)^2} \] \[ d = \sqrt{1600 + 3600} \] \[ d = \sqrt{5200} \]
• 4. Adım: Karekökü sadeleştirelim.

\( \sqrt{5200} = \sqrt{400 \times 13} = 20\sqrt{13} \)

Harita üzerindeki bu iki konum arasındaki kuş uçuşu mesafe \( 20\sqrt{13} \) birimdir. Bu değer, haritanın ölçeğine göre gerçek mesafeye karşılık gelir. 📏

M ve N noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{20} \) birim olarak verilmiş. Uzaklık formülünü kullanarak a'nın değerlerini bulacağız.

• 1. Adım: Noktaların koordinatlarını ve uzaklığı belirleyelim.

M noktasının koordinatları: \( x_1 = a, y_1 = 3 \)

N noktasının koordinatları: \( x_2 = 5, y_2 = a \)

Uzaklık \( d = \sqrt{20} \)

• 2. Adım: Uzaklık formülünü yazalım ve verilen değerleri yerine koyalım.
\[ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \] \[ (\sqrt{20})^2 = (5 - a)^2 + (a - 3)^2 \] \[ 20 = (25 - 10a + a^2) + (a^2 - 6a + 9) \]
• 3. Adım: Denklemi düzenleyerek a'ya bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
\[ 20 = 2a^2 - 16a + 34 \] \[ 0 = 2a^2 - 16a + 14 \]
• 4. Adım: Denklemi sadeleştirelim.

Denklemin her iki tarafını 2'ye bölelim:

\[ 0 = a^2 - 8a + 7 \]
• 5. Adım: Elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin köklerini (a'nın değerlerini) bulalım.

Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz:

\[ (a - 1)(a - 7) = 0 \]

Buradan a'nın alabileceği değerler:

\( a - 1 = 0 \implies a = 1 \)

\( a - 7 = 0 \implies a = 7 \)

• 6. Adım: a'nın alabileceği değerler toplamını hesaplayalım.

a'nın değerleri 1 ve 7'dir. Toplamları:

\[ 1 + 7 = 8 \]

a'nın alabileceği değerler toplamı 8'dir. 💡