🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Analitik Geometri Soruları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Analitik Geometri Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, 5) ve B(7, 1) noktaları veriliyor.
Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulunuz. 💡
Bu iki nokta arasındaki uzaklığı bulunuz. 💡
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilen noktalarımız: \( x_1 = 3, y_1 = 5 \) ve \( x_2 = 7, y_2 = 1 \)
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \)
- Hesaplamaları yapalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \)
- \( d = \sqrt{16 + 16} \)
- \( d = \sqrt{32} \)
- Sadeleştirelim: \( d = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)
Örnek 2:
Analitik düzlemde C(2, -3) noktasının, x-eksenine olan uzaklığı ile y-eksenine olan uzaklığının toplamı kaçtır? 🤔
Çözüm:
- Bir noktanın x-eksenine olan uzaklığı, noktanın y-katsayısının mutlak değeridir.
- C(2, -3) noktasının x-eksenine uzaklığı: \( |-3| = 3 \) birim.
- Bir noktanın y-eksenine olan uzaklığı, noktanın x-katsayısının mutlak değeridir.
- C(2, -3) noktasının y-eksenine uzaklığı: \( |2| = 2 \) birim.
- Bu iki uzaklığın toplamı: \( 3 + 2 = 5 \) birim.
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(k, 4) ve B(1, k) noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{13} \) birimdir.
Buna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? ➕
Buna göre, k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? ➕
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanalım: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilenler: \( d = \sqrt{13}, x_1 = k, y_1 = 4, x_2 = 1, y_2 = k \)
- Formülde yerine koyalım: \( \sqrt{13} = \sqrt{(1 - k)^2 + (k - 4)^2} \)
- Her iki tarafın karesini alalım: \( 13 = (1 - k)^2 + (k - 4)^2 \)
- Parantezleri açalım: \( 13 = (1 - 2k + k^2) + (k^2 - 8k + 16) \)
- Denklemi düzenleyelim: \( 13 = 2k^2 - 10k + 17 \)
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2k^2 - 10k + 4 = 0 \)
- Denklemi sadeleştirelim (2'ye bölelim): \( k^2 - 5k + 2 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemin kökler toplamı soruluyor. Kökler toplamı formülü: \( k_1 + k_2 = -b/a \)
- Burada \( a = 1, b = -5, c = 2 \)
- Kökler toplamı: \( -(-5)/1 = 5 \)
Örnek 4:
Analitik düzlemde A(-2, 3) noktasının, \( 2x - y + 5 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? 📏
Çözüm:
- Bir noktanın bir doğruya olan uzaklık formülü: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)
- Burada \( (x_0, y_0) \) noktanın koordinatlarıdır: \( x_0 = -2, y_0 = 3 \)
- Doğrunun denklemi: \( 2x - y + 5 = 0 \). Buradan \( A = 2, B = -1, C = 5 \)
- Formülde yerine koyalım: \( d = \frac{|2(-2) + (-1)(3) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \)
- Pay kısmını hesaplayalım: \( | -4 - 3 + 5 | = |-2| = 2 \)
- Payda kısmını hesaplayalım: \( \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \)
- Uzaklık: \( d = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
- Paydayı rasyonel yapalım: \( d = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
Örnek 5:
Bir araç navigasyon cihazı, aracın konumunu analitik düzlemde bir nokta olarak göstermektedir.
Aracı şu anda P(4, 6) noktasında bulunmaktadır.
Cihaz, aracın A(1, 2) noktasına olan uzaklığının, B(7, 10) noktasına olan uzaklığının kaç katı olduğunu hesaplamak istiyor.
Bu oran kaçtır? 🚗
Aracı şu anda P(4, 6) noktasında bulunmaktadır.
Cihaz, aracın A(1, 2) noktasına olan uzaklığının, B(7, 10) noktasına olan uzaklığının kaç katı olduğunu hesaplamak istiyor.
Bu oran kaçtır? 🚗
Çözüm:
- Önce P noktasının A noktasına olan uzaklığını hesaplayalım (d_PA):
- \( d_{PA} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Şimdi P noktasının B noktasına olan uzaklığını hesaplayalım (d_PB):
- \( d_{PB} = \sqrt{(4 - 7)^2 + (6 - 10)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Oranı bulalım: \( \frac{d_{PA}}{d_{PB}} = \frac{5}{5} = 1 \)
Örnek 6:
Bir harita uygulamasında, eviniz A(2, 3) noktasında, market ise B(8, 11) noktasında gösterilmektedir.
Eğer siz şu anda C(5, 7) noktasında iseniz, markete gitmek için kaç birim yol yürümeniz gerekir? 🛒
Eğer siz şu anda C(5, 7) noktasında iseniz, markete gitmek için kaç birim yol yürümeniz gerekir? 🛒
Çözüm:
- Yürümeniz gereken yol, bulunduğunuz C noktasından marketin bulunduğu B noktasına olan uzaklıktır.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Noktalarımız: \( C(x_1, y_1) = (5, 7) \) ve \( B(x_2, y_2) = (8, 11) \)
- Formülde yerine koyalım: \( d = \sqrt{(8 - 5)^2 + (11 - 7)^2} \)
- Hesaplamaları yapalım: \( d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
- \( d = \sqrt{9 + 16} \)
- \( d = \sqrt{25} \)
- \( d = 5 \)
Örnek 7:
Analitik düzlemde \( y = 2x + 1 \) doğrusunun y-eksenini kestiği noktanın koordinatları nedir? ➕
Çözüm:
- Bir doğrunun y-eksenini kestiği nokta, x-katsayısının 0 olduğu noktadır.
- Doğrunun denkleminde \( x = 0 \) alalım: \( y = 2(0) + 1 \)
- \( y = 0 + 1 \)
- \( y = 1 \)
- Bu durumda, doğrunun y-eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (0, 1) \) olur.
Örnek 8:
Analitik düzlemde \( 3x - 4y + 12 = 0 \) doğrusunun x-eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? 🎯
Çözüm:
- Bir doğrunun x-eksenini kestiği nokta, y-katsayısının 0 olduğu noktadır.
- Doğrunun denkleminde \( y = 0 \) alalım: \( 3x - 4(0) + 12 = 0 \)
- \( 3x - 0 + 12 = 0 \)
- \( 3x + 12 = 0 \)
- \( 3x = -12 \)
- \( x = \frac{-12}{3} \)
- \( x = -4 \)
- Doğru, x-eksenini \( (-4, 0) \) noktasında keser. Bu noktanın apsisi -4'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-analitik-geometri-sorulari/sorular