💡 10. Sınıf Matematik: Analitik düşünme Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için küme mantığını kullanabiliriz. 💡

• Toplam öğrenci sayısı: 30
• Matematik dersinden başarılı olanlar (M): 15
• Fizik dersinden başarılı olanlar (F): 12
• Her iki dersten de başarılı olanlar (M ∩ F): 5

Öncelikle, en az bir dersten başarılı olan öğrenci sayısını bulalım: M ∪ F = M + F - (M ∩ F) M ∪ F = 15 + 12 - 5 M ∪ F = 27 - 5 M ∪ F = 22 öğrenci. ✅ Bu, 22 öğrencinin en az bir dersten başarılı olduğu anlamına gelir. Şimdi, her iki dersten de başarısız olan öğrenci sayısını bulmak için toplam öğrenci sayısından en az bir dersten başarılı olan öğrenci sayısını çıkaralım: Başarısız Olanlar = Toplam Öğrenci - (M ∪ F) Başarısız Olanlar = 30 - 22 Başarısız Olanlar = 8 öğrenci. 👉 Sonuç olarak, her iki dersten de başarısız olan 8 öğrenci vardır.

Bu problemi iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz. 🤔

• Otomobil sayısına 'o', motosiklet sayısına 'm' diyelim.
• Bir otomobilin 4 tekerleği, bir motosikletin ise 2 tekerleği vardır.

Denklem 1 (Araç Sayısı): o + m = 40
Denklem 2 (Tekerlek Sayısı): 4o + 2m = 110
Şimdi bu denklem sistemini çözelim: Denklem 1'den 'o'yu çekelim: o = 40 - m
Bu 'o' değerini Denklem 2'de yerine koyalım: 4(40 - m) + 2m = 110
160 - 4m + 2m = 110
160 - 2m = 110
160 - 110 = 2m
50 = 2m
m = 25 ✅ Şimdi 'm' değerini Denklem 1'de yerine koyarak 'o'yu bulalım: o + 25 = 40
o = 40 - 25
o = 15 👉 Sonuç olarak, otoparkta 15 otomobil ve 25 motosiklet bulunmaktadır.

Her iki kampanyanın da son fiyatını P cinsinden hesaplayarak karşılaştırma yapalım. 🧐

• Etiket Fiyatı: P TL

Kampanya A:

1. Önce %20 indirim: P - 0.20P = 0.80P TL
2. Ardından 100 TL ek ücret: 0.80P + 100 TL

Kampanya A Son Fiyatı: \( 0.80P + 100 \) TL. Kampanya B:

1. Önce 100 TL indirim: P - 100 TL
2. Kalan tutara %10 vergi: (P - 100) + 0.10(P - 100) = 1.10(P - 100) TL
3. Dağıtımı yaparsak: 1.10P - 110 TL

Kampanya B Son Fiyatı: \( 1.10P - 110 \) TL. Şimdi iki fiyatı karşılaştıralım: \( 0.80P + 100 \) vs \( 1.10P - 110 \) Hangi kampanyanın daha ucuz olduğunu bulmak için farklarına bakalım: (Kampanya A Fiyatı) - (Kampanya B Fiyatı) \( (0.80P + 100) - (1.10P - 110) \) \( 0.80P + 100 - 1.10P + 110 \) \( -0.30P + 210 \) Bu farkın pozitif mi, negatif mi olduğunu P'nin değerine göre belirlemeliyiz. Eğer \( -0.30P + 210 > 0 \) ise Kampanya A daha ucuzdur. \( 210 > 0.30P \) \( P < \frac{210}{0.30} \) \( P < 700 \) TL. Eğer \( -0.30P + 210 < 0 \) ise Kampanya B daha ucuzdur. \( 210 < 0.30P \) \( P > 700 \) TL. Eğer \( P = 700 \) TL ise fiyatlar eşittir. Sonuç:

• Eğer telefonun etiket fiyatı 700 TL'den az ise Kampanya A daha ucuzdur.
• Eğer telefonun etiket fiyatı 700 TL'den fazla ise Kampanya B daha ucuzdur.
• Eğer telefonun etiket fiyatı tam olarak 700 TL ise iki kampanya da aynı fiyattadır.

Bu, analitik düşünmenin fiyat karşılaştırmalarında nasıl kullanıldığına dair güzel bir örnektir. 💡

İki paketin maliyetini gün sayısına göre bir denklemle ifade edelim. ✈️

• Kişi sayısı: 1 (soru tek kişi üzerinden soruluyor)
• Gün sayısına 'g' diyelim.

Paket 1 Maliyeti: Sabit ücret + (Günlük konaklama ücreti * Gün sayısı) \( 500 + (100 \times g) \) TL. Paket 2 Maliyeti: Her şey dahil toplam ücret \( 800 \) TL. İki paketin maliyetinin eşit olduğu durumu arıyoruz: Paket 1 Maliyeti = Paket 2 Maliyeti \( 500 + 100g = 800 \)
Şimdi bu denklemi 'g' için çözelim: \( 100g = 800 - 500 \)
\( 100g = 300 \)
\( g = \frac{300}{100} \)
\( g = 3 \) gün. ✅ Sonuç olarak, bir kişi bu turda 3 gün kaldığında iki paketin maliyeti eşit olur. Eğer 3 günden az kalırsa Paket 1 daha ucuz, 3 günden fazla kalırsa Paket 2 daha ucuz olacaktır. 👉

Bu problemi adım adım çözerek tarlanın tamamının alanını bulalım. 🌾

• Tarlanın tamamının alanına T diyelim.

Adım 1: Buğday ekilen alan Tarlanın yarısı buğday ekildiğine göre, buğday ekilen alan \( \frac{T}{2} \) olur. Adım 2: Arpa ekilen alan Kalan kısım \( T - \frac{T}{2} = \frac{T}{2} \) 'dir. Bu kalan kısmın üçte biri arpa ekildiğine göre, arpa ekilen alan \( \frac{1}{3} \times \frac{T}{2} = \frac{T}{6} \) olur. Adım 3: Ekilmeyen alan Tarlanın tamamından buğday ve arpa ekilen alanları çıkarırsak ekilmeyen alanı buluruz: Ekilmeyen Alan = T - (Buğday Ekilen Alan + Arpa Ekilen Alan) Ekilmeyen Alan = \( T - (\frac{T}{2} + \frac{T}{6}) \) Kesirleri toplamak için paydaları eşitleyelim: \( \frac{T}{2} + \frac{T}{6} = \frac{3T}{6} + \frac{T}{6} = \frac{4T}{6} = \frac{2T}{3} \) Şimdi ekilmeyen alanı hesaplayalım: Ekilmeyen Alan = \( T - \frac{2T}{3} = \frac{3T}{3} - \frac{2T}{3} = \frac{T}{3} \) Adım 4: Toplam alanı bulma Soruda ekilmeyen alanın 200 metrekare olduğu verilmiş. \( \frac{T}{3} = 200 \)
\( T = 200 \times 3 \)
\( T = 600 \) metrekare. ✅ Sonuç olarak, tarlanın tamamı 600 metrekaredir. 👉

Bu problemi çözmek için verilen bilgileri bir denklemle ifade edelim. 🔢

• Bilinmeyen sayımız 'x' olsun.

Verilenleri denkleme dökelim: "Bir sayının 3 katının 5 fazlası": \( 3x + 5 \) "Aynı sayının 2 katının 10 eksiği": \( 2x - 10 \) Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre: \( 3x + 5 = 2x - 10 \)
Şimdi denklemi 'x' için çözelim: x'leri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım: \( 3x - 2x = -10 - 5 \)
\( x = -15 \) ✅ Sonuç olarak, aradığımız sayı -15'tir. 👉 Kontrol edelim: Sayının 3 katının 5 fazlası: \( 3 \times (-15) + 5 = -45 + 5 = -40 \) Sayının 2 katının 10 eksiği: \( 2 \times (-15) - 10 = -30 - 10 = -40 \) İki sonuç da eşit çıktı. 👍

Bu problemi, başlangıçtaki ürün miktarını 100 birim kabul ederek daha kolay çözebiliriz. 📦

• Başlangıçtaki ürün miktarı: 100 birim (%100)

1. Gün Satışları:

1. İlk gün ürünlerin %40'ı satılmış: \( 100 \times \frac{40}{100} = 40 \) birim.
2. 1. gün sonunda kalan ürünler: \( 100 - 40 = 60 \) birim.

2. Gün Satışları:

1. Kalan ürünlerin %50'si satılmış. Kalan ürün 60 birim olduğuna göre: \( 60 \times \frac{50}{100} = 30 \) birim.
2. 2. gün sonunda kalan ürünler: \( 60 - 30 = 30 \) birim.

Sonuç: Satıcının elinde başlangıçtaki ürünlerin %30'u kalmıştır. ✅ (Çünkü 30 birim, başlangıçtaki 100 birimin %30'udur.) 👉 Bu, yüzdelerle çalışırken kalan miktarları takip etmenin önemini gösterir. 💡

Bu tür problemler, işçi sayısı, çalışma süresi ve iş miktarı arasındaki ilişkiyi kullanarak çözülür. Bu ilişkide, işçi sayısı ile gün sayısı ters orantılı, çalışma süresi ile gün sayısı ters orantılıdır. 🏗️

• Başlangıçtaki işçi sayısı: \( I_1 = 10 \)
• Başlangıçtaki çalışma süresi (günde): \( S_1 = 8 \) saat
• Başlangıçtaki işin bitme süresi (gün): \( G_1 = 30 \) gün
• Yeni işçi sayısı: \( I_2 = 12 \)
• Yeni çalışma süresi (günde): \( S_2 = 6 \) saat
• Yeni işin bitme süresi (gün): \( G_2 = ? \)

Toplam iş miktarı (işçi-saat-gün olarak düşünülebilir): Toplam İş = İşçi Sayısı × Çalışma Süresi × Gün Sayısı \( \text{Toplam İş} = I \times S \times G \) Aynı iş yapıldığı için, başlangıçtaki toplam iş miktarı ile yeni durumdaki toplam iş miktarı eşit olmalıdır. \( I_1 \times S_1 \times G_1 = I_2 \times S_2 \times G_2 \)
Şimdi bilinen değerleri formüle yerleştirelim: \( 10 \times 8 \times 30 = 12 \times 6 \times G_2 \)
\( 80 \times 30 = 72 \times G_2 \)
\( 2400 = 72 \times G_2 \)
Şimdi \( G_2 \) 'yi bulalım: \( G_2 = \frac{2400}{72} \)
Kesri sadeleştirelim: \( G_2 = \frac{2400 \div 24}{72 \div 24} = \frac{100}{3} \)
\( G_2 = 33.33... \) gün. ✅ Sonuç olarak, aynı işi 12 işçiyle ve her işçi günde 6 saat çalışarak bitirmek isterlerse, iş \( \frac{100}{3} \) gün (yaklaşık 33.33 gün) sürer. 👉 Bu, iş planlamasında kaynakların (işçi, zaman) nasıl optimize edilebileceğini gösteren bir örnektir. 💡