💡 10. Sınıf Matematik: Açılar Çözümlü Örnekler

Düzgün çokgenlerde açı özelliklerini kullanarak adım adım çözelim: 📐

• Adım 1: Düzgün bir çokgenin dış açısını bulma formülü: \[ \alpha = \frac{360^\circ}{n} \] Burada \( n \) kenar sayısıdır. Sekizgen için \( n = 8 \) yazalım: \[ \alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \] Düzgün sekizgenin bir dış açısı \( 45^\circ \) olarak bulunur.
• Adım 2: Bir iç açı ile bir dış açının toplamı her zaman \( 180^\circ \) derecedir. Buna göre iç açıyı bulalım: \[ \text{İç Açı} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \]
• Adım 3: Bizden istenen, iç açı ile dış açı arasındaki farktır: \[ 135^\circ - 45^\circ = 90^\circ \]

✅ Cevap: Düzgün sekizgenin bir iç açısı ile dış açısı arasındaki fark \( 90^\circ \) derecedir.

Düzgün beşgen ve eşkenar üçgenin kenar özelliklerini birleştirerek çözüme ulaşalım: 💡

• Adım 1: Düzgün beşgenin bir iç açısı: \[ \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = 108^\circ \] Eşkenar üçgenin (AFB) tüm iç açıları ise \( 60^\circ \)'dir.
• Adım 2: Beşgenin tüm kenarları birbirine eşittir: \( AB = BC = CD = DE = EA \).
  Eşkenar üçgenin de tüm kenarları eşittir: \( AB = AF = BF \).
  Buradan \( AE = AF \) ve \( BC = BF \) olduğu görülür. Yani AEF ve BFC üçgenleri birer ikizkenar üçgendir.
• Adım 3: \( \widehat{EAF} \) açısını bulalım: \[ \widehat{EAF} = \widehat{EAB} - \widehat{FAB} = 108^\circ - 60^\circ = 48^\circ \] AEF ikizkenar üçgeninde taban açıları eşit olduğundan: \[ \widehat{AFE} = \frac{180^\circ - 48^\circ}{2} = 66^\circ \]
• Adım 4: Aynı simetrik durum BFC üçgeni için de geçerlidir. Dolayısıyla: \[ \widehat{BFC} = 66^\circ \]
• Adım 5: F noktası etrafındaki tam açı \( 360^\circ \)'dir. \( \widehat{EFC} \) açısını bulmak için F etrafındaki diğer açıları toplayıp \( 360^\circ \)'den çıkaralım: \[ \widehat{AFB} + \widehat{AFE} + \widehat{BFC} = 60^\circ + 66^\circ + 66^\circ = 192^\circ \] \[ \widehat{EFC} = 360^\circ - 192^\circ = 168^\circ \]

✅ Cevap: EFC açısının ölçüsü \( 168^\circ \) derecedir.

Dörtgenlerin iç açılar toplamı kuralını kullanarak çözüme gidelim: 📝

• Adım 1: Bir dörtgenin iç açılarının toplamı \( 360^\circ \)'dir. \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ \] Verilen değerleri yerine yazalım: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + 110^\circ + 70^\circ = 360^\circ \] \[ \widehat{A} + \widehat{B} + 180^\circ = 360^\circ \implies \widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ \]
• Adım 2: Açıortaylar açıyı iki eşit parçaya böler. APB üçgeninin içindeki taban açıları: \[ \widehat{PAB} = \frac{\widehat{A}}{2} \quad \text{ve} \quad \widehat{PBA} = \frac{\widehat{B}}{2} \]
• Adım 3: APB üçgeninin iç açılar toplamını yazalım: \[ \widehat{APB} + \frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{B}}{2} = 180^\circ \] \[ \widehat{APB} + \frac{\widehat{A} + \widehat{B}}{2} = 180^\circ \]
• Adım 4: Bulduğumuz \( \widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ \) değerini yerine koyalım: \[ \widehat{APB} + \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ \] \[ \widehat{APB} + 90^\circ = 180^\circ \implies \widehat{APB} = 90^\circ \]

✅ Cevap: APB açısının ölçüsü \( 90^\circ \) derecedir.

Yamukta paralellik ve ikizkenar üçgen özelliklerini birleştirerek çözelim: 🚀

• Adım 1: \( AD = DC \) verildiği için ADC üçgeni bir ikizkenar üçgendir. Tepe açısı \( \widehat{ADC} = 100^\circ \)'dir.
• Adım 2: İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir: \[ \widehat{DAC} = \widehat{DCA} \] Üçgenin iç açılar toplamından: \[ \widehat{DAC} + \widehat{DCA} + 100^\circ = 180^\circ \] \[ 2 \times \widehat{DCA} = 80^\circ \implies \widehat{DCA} = 40^\circ \]
• Adım 3: [AB] // [CD] olduğundan, iç ters açılar (Z kuralı) gereği: \[ \widehat{CAB} = \widehat{DCA} \] Buradan doğrudan: \[ \widehat{CAB} = 40^\circ \] bulunur.

✅ Cevap: CAB açısının ölçüsü \( 40^\circ \) derecedir.

Katlama ve kesme sorularında düzgün çokgenlerin simetri özelliklerini kullanırız: 💡

• Adım 1: Düzgün altıgenin bir iç açısı \( 120^\circ \)'dir.
• Adım 2: Altıgen en uzun köşegeni boyunca kesildiğinde, bu köşegen aynı zamanda köşelerdeki açıların açıortayı olur. Dolayısıyla köşelerdeki \( 120^\circ \)'lik açılar iki eş parçaya bölünür: \[ \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \]
• Adım 3: Oluşan yeni yamuğun iç açılarını inceleyelim:
  • Kesilmeyen üst köşelerdeki açılar orijinal altıgenin açılarıdır: \( 120^\circ \) ve \( 120^\circ \)
  • Kesim hattında oluşan taban köşelerindeki açılar ise bölünmüş açılardır: \( 60^\circ \) ve \( 60^\circ \)
• Adım 4: Yamuğun en büyük iç açısı \( 120^\circ \), en küçük iç açısı ise \( 60^\circ \) olur. Aralarındaki fark: \[ 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ \]

✅ Cevap: En büyük ve en küçük iç açılar arasındaki fark \( 60^\circ \) derecedir.

Günlük hayattaki yön değiştirme soruları geometride dış açı kavramına karşılık gelir: 🧭

• Adım 1: Bir kişinin bir köşede yönünü değiştirme miktarı, o köşedeki çokgenin dış açısının ölçüsüne eşittir.
• Adım 2: Tüm düzgün çokgenlerin dış açılarının toplamı her zaman \( 360^\circ \)'dir.
• Adım 3: Yürüyüş yolu düzgün beşgen şeklinde olduğundan kenar sayısı \( n = 5 \)'tir. Bir dış açının ölçüsünü bulalım: \[ \text{Dış Açı} = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \]
• Adım 4: Bu kişi her köşeye ulaştığında tam olarak \( 72^\circ \) yön değiştirerek düzgün beşgen rotasını takip eder.

✅ Cevap: Yürüyüş yapan kişi her köşede yönünü \( 72^\circ \) değiştirir.

Paralelkenarın ardışık açılarının özelliklerini kullanarak ispat niteliğinde bir çözüm yapalım: 🔍

• Adım 1: Paralelkenarda ardışık iki açının (komşu açılar) toplamı her zaman \( 180^\circ \)'dir. \[ \widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \]
• Adım 2: [AK] ve [DK] açıortay olduğundan, oluşturdukları iç açılar: \[ \widehat{KAD} = \frac{\widehat{A}}{2} \quad \text{ve} \quad \widehat{KDA} = \frac{\widehat{D}}{2} \]
• Adım 3: AKD üçgeninin iç açılarının toplamı \( 180^\circ \)'dir: \[ \widehat{AKD} + \widehat{KAD} + \widehat{KDA} = 180^\circ \] \[ \widehat{AKD} + \frac{\widehat{A}}{2} + \frac{\widehat{D}}{2} = 180^\circ \] \[ \widehat{AKD} + \frac{\widehat{A} + \widehat{D}}{2} = 180^\circ \]
• Adım 4: \( \widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ \) eşitliğini yerine yazalım: \[ \widehat{AKD} + \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ \] \[ \widehat{AKD} + 90^\circ = 180^\circ \implies \widehat{AKD} = 90^\circ \]

✅ Cevap: AKD açısının ölçüsü her zaman \( 90^\circ \) derecedir (dik açıdır).

Deltoid geometrik şeklinin simetri ve açı özelliklerini uygulayalım: 💎

• Adım 1: Deltoidde, farklı uzunluktaki kenarların birleştiği karşılıklı yan açılar birbirine eşittir. Yani, \( \widehat{ABC} = \widehat{ADC} \) olur. Bu açılara \( x \) diyelim.
• Adım 2: Deltoid bir dörtgen olduğundan, tüm iç açılarının toplamı \( 360^\circ \)'dir. \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360^\circ \]
• Adım 3: Bilinen değerleri denklemde yerine yazalım: \[ 80^\circ + x + 40^\circ + x = 360^\circ \] \[ 120^\circ + 2x = 360^\circ \]
• Adım 4: Bilinmeyeni yalnız bırakarak denklemi çözelim: \[ 2x = 360^\circ - 120^\circ \] \[ 2x = 240^\circ \implies x = 120^\circ \]

✅ Cevap: Uçurtmanın B köşesindeki iç açısının ölçüsü \( 120^\circ \) derecedir.